第三章离散时间系统 6 [x0,X1,X2,X3,x4,x3,x6] H→ [x0,X2,x4,x6,] [0,xo,x1,x2,x3,x4,x5,X6] H→[0，x,x3,x5 第一种情况下，输入经系统变换后每两个输入丢掉丢掉一个。下面一种情况下，输入延时一个单位，输 出同样每两个输入被丢掉一个，得到的输出并不是上面的输出延时一个单位。所以为时变系统。 §3.3冲激响应。 (离散)线性时不变系统可以用其冲激响应序列h(n)来唯一表征。而冲激响应h()就是系统对于 单位冲激输入δ(n)的响应。 1 当 n=0 6(n)= 0 当 n≠0 6(n) 6(n) H h(n) h(n) n n 因此，我们有： δ(n)→h(n) 或者说： {1,0,0,0}→h,h,h2,} 若系统是时不变系统，就意味单位冲激输入延时一段时间，（比如说，D单位时间），其冲激响应 输出将会是大小一样，但延时为D的输出h(n-D)。 6(n-D)→h(n-D) 其中D可以正，也可以负。 线性性就意味任意输入的线性组合将会产生同样的线性组合输出。 6(n)+6(n-l)+6(n-2)→h(n)+h(n-1)+h(n-2) 更一般性，三个输入的加权线性组合： x(0)6(n)+x1)6(n-1)+x(2)δ(n-2) 将会产生同样三个输出的加权线性组合： x(0)hn)+x(1)h(n-1)+x(2)h(n-2) 任意输入序列，{x0),x1),x(2),…}可以看作是延时并且权重为单位冲激函数的线性组合。 x(n)=x(0)(n)+x(1)6(n-1)+x(2)6(n-2)+… 上式中，=0则只有第一项不为零，其余各项为零。n=1则只有第二项不为零，其余各项为零等等。 因而得到
第三章 离散时间系统 6 [0, , , , , , , ] [0, , , , ] [ , , , , , , ] [ , , , , ] 1 3 5 H 0 1 4 5 6 0 2 4 6 H 0 1 4 5 6 L L L L x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ２ ３ ２ ３ → → 第一种情况下，输入经系统变换后每两个输入丢掉丢掉一个。下面一种情况下，输入延时一个单位，输 出同样每两个输入被丢掉一个，得到的输出并不是上面的输出延时一个单位。所以为时变系统。 §3.3 冲激响应。 （离散）线性时不变系统可以用其冲激响应序列 h(n)来唯一表征。而冲激响应 h(n)就是系统对于 单位冲激输入 δ（n）的响应。 ≠ = = 0 n 0 1 n 0 ( ) 当 当 δ n δ（n） δ（n） h(n) h(n) 0 n n H 因此，我们有： δ (n) ⇒ h(n) 或者说： {1，0，0，0，L}⇒ {h0 ,h1 ,h2 ,L} 若系统是时不变系统，就意味单位冲激输入延时一段时间，（比如说，D 单位时间），其冲激响应 输出将会是大小一样，但延时为 D 的输出 h(n-D)。 δ (n − D) ⇒ h(n − D) 其中 D 可以正，也可以负。 线性性就意味任意输入的线性组合将会产生同样的线性组合输出。 δ (n) +δ (n −1) +δ (n − 2) ⇒ h(n) + h(n −1) + h(n − 2) 更一般性，三个输入的加权线性组合： x(0)δ (n) + x(1)δ (n −1) + x(2)δ (n − 2) 将会产生同样三个输出的加权线性组合： x(0)h(n) + x(1)h(n −1) + x(2)h(n − 2) 任意输入序列，｛x(0)，x(1)，x(2)，…｝可以看作是延时并且权重为单位冲激函数的线性组合。 x(n) = x(0)δ (n) + x(1)δ (n −1) + x(2)δ (n − 2) +L 上式中，n=0 则只有第一项不为零，其余各项为零。n=1 则只有第二项不为零，其余各项为零等等。 因而得到
Introduction to Signal Processing y(n)=x(0)h(n)+x(1)h(n-1)+x(2)h(n-2)+… 或写作： n)=∑xm)hn-m) (LT1Fom)(3.3.2) 上式又称为输出函数的LTI形式。其实就是输入序列xn)与滤波器冲激响应序列(n)的离散时间卷积。 也可以说，LTI(线性时不变系统)就是一个卷积器。 一般说来，上式中的求和m值可以扩展到负数，主要取决于输入信号。改变求和式当中求和项的 次序，也可以写成另一种形式： y(n)=∑h(m)x(n-m) (Direct Form)(3.3.3) 图3.3.3线性组合的响应 §3.4FIR和IIR滤波器 离散时不变系统根据其冲激响应是否是有限延时还是无限延时可以分成F(有限冲激响应)和 R(无限冲激响应)两类。 FIR冲激响应 R冲激响应 FIR滤波器的冲激响应仅仅延续有限长时间，也就是说，Os≤M,其余均为零。 {h,h,h2,…,hw,0,0,0…} M称为滤波器的阶数。FIR滤波器冲激响应矢量h的长度为： Lh=M+1 冲激响应的系数，h,,…,}在不同的教科书上有不同的名称，比方说，滤波器系数、滤波器的权、 filters taps((滤波器的节拍)。式3.3.3又成为卷积的直接形式。当m>M和m<0时，h(m)都不存在，只有 0<m<M的项不为零。所以3.3.3式又可以写成为：
Introduction to Signal Processing 7 y(n) = x(0)h(n) + x(1)h(n −1) + x(2)h(n − 2) +L 或写作： = ∑ − m y(n) x(m)h(n m) (LTI Form)(3.3.2) 上式又称为输出函数的 LTI 形式。其实就是输入序列 x(n)与滤波器冲激响应序列 h(n)的离散时间卷积。 也可以说，LTI（线性时不变系统）就是一个卷积器。 一般说来，上式中的求和 m 值可以扩展到负数，主要取决于输入信号。改变求和式当中求和项的 次序，也可以写成另一种形式： = ∑ − m y(n) h(m)x(n m) (Direct Form)(3.3.3) 图 3.3.3 线性组合的响应 §3.4 FIR 和 IIR 滤波器 离散时不变系统根据其冲激响应是否是有限延时还是无限延时可以分成 FIR(有限冲激响应)和 IIR（无限冲激响应）两类。 FIR 冲激响应 IIR 冲激响应 FIR 滤波器的冲激响应仅仅延续有限长时间，也就是说，0≤n≤M，其余均为零。 {h0 ,h1 ,h2 ,L,hM ,0,0,0,L} M 称为滤波器的阶数。FIR 滤波器冲激响应矢量 h 的长度为： L h=M+1 冲激响应的系数{ 在不同的教科书上有不同的名称，比方说，滤波器系数、滤波器的权、 filters taps(滤波器的节拍)。式 3.3.3 又成为卷积的直接形式。当 m>M 和 m<0 时，h(m)都不存在，只有 0<m<M 的项不为零。所以 3.3.3 式又可以写成为： h0 ,h1,h2 ,L,hM }
第三章 离散时间系统 P y(n)=>∑h(m)x(n-m) FR卷积方程 3.4.1 或者写成显式表达式： y(m）=h0)x(n)）+h(1)x(n-1)+h(2)x(n-2)+…+h(M)x(n-M0 3.4.2 因此，I/O方程可以由当前的输入抽样xn)与过去的M个抽样x(n-1),x(n-2),·,x(n-M)的加权和得 到。 例3.4.1 y(n=2x(n)t3x(n-1)+4xn-2) 可以视为二阶滤波器，滤波器的系数h=[h,h,h]=[2,3,4] y(n)=hox(n)-hix(n-1)+h3x(n-2) 例3.4.3求下列FIR滤波器的冲激响应系数h。 y(n=2x(n)+3x(n-1+5x(n-2)+2xn-3) 滤波器系数：h=[ho,h,h2,h]=2,3,5,2]为一个三阶滤波器 y(n=x(n)-x(n-4) 滤波器系数：h=[1,0,0,0,-1]为一个四阶滤波器 当输入为冲激序列时x(n)尸8(n),输出也是冲激响应序列： h(n)=28(n)+38(n-1+58(n-2)+28(n-3) 和 h(n=6(n)-8(n-4) 另一方面，ⅡR滤波器冲激响应h(n)时限无限延长，0<n<o,(3.3.3)式的求和项无限多。 y(n)=) mxn-m IR滤波方程 3.4.3 m=0 /O方程计算不可行，因为我们无法实现无限项求和。我们只能局限于一类承滤波器，这类滤波 器系数不是任意的，而是相互之间有藕合。这种系数与系数之间的耦合关系又称为常系数线性差分方程。 对于这一类R滤波器，(3.4.3)式承滤波方程)又可以重新排列为差分方程，差分方程允许我们 以递归方式计算y(n)。 例3.4.4一ⅡR滤波器冲激响应系数h(n)的耦合关系为以下差分方程： h(n)=h(n-1)+8 (n) 试求其输入输出的差分方程？ 解：令n=0,我们有h(0=h(-1)+8(0)=h(-1+1 假设初始条件为：h(-1=0,则h(0)尸1。>0时，冲激函数8(n)=0,因此差分方程为： h(n)=h(n-1),也就是说：h(0)=h(1)=h(2)==1。所有系数都是一样的。 因此我们有： h(n)=u(n)= n≥0 0 n≤-l
第三章 离散时间系统 8 ∑= = − M m y n h m x n m 0 ( ) ( ) ( ) FIR 卷积方程 3.4.1 或者写成显式表达式： y(n) = h(0)x(n) + h(1)x(n −1) + h(2)x(n − 2) +L+ h(M )x(n − M ) 3.4.2 因此，I/O 方程可以由当前的输入抽样 x(n)与过去的 M 个抽样 x(n-1),x(n-2),…,x(n-M)的加权和得 到。 例 3.4.1 y(n)=2x(n)+3x(n-1)+4x(n-2) 可以视为二阶滤波器，滤波器的系数 h=[h0，h1，h2]=[2，3，4] y(n)=h0x(n)-h1x(n-1)+h3x(n-2) 例 3.4.3 求下列 FIR 滤波器的冲激响应系数 h。 y(n)=2x(n)+3x(n-1)+5x(n-2)+2x(n-3) 滤波器系数：h=[h0,h1,h2,h3]=[2,3,5,2]为一个三阶滤波器 y(n)=x(n)-x(n-4) 滤波器系数：h=[1,0,0,0,-1]为一个四阶滤波器 当输入为冲激序列时 x(n)=δ(n)，输出也是冲激响应序列： h(n)=2δ(n)+3δ(n-1)+5δ(n-2)+2δ(n-3) 和 h(n)=δ(n)－δ(n-4) 另一方面，IIR 滤波器冲激响应 h(n)时限无限延长，0<n<∞，(3.3.3)式的求和项无限多。 ∑ ∞ = = − 0 ( ) ( ) ( ) m y n h m x n m IIR 滤波方程 3.4.3 I/O 方程计算不可行，因为我们无法实现无限项求和。我们只能局限于一类 IIR 滤波器，这类滤波 器系数不是任意的，而是相互之间有藕合。这种系数与系数之间的耦合关系又称为常系数线性差分方程。 对于这一类 IIR 滤波器，(3.4.3)式(IIR 滤波方程)又可以重新排列为差分方程，差分方程允许我们 以递归方式计算 y(n)。 例 3.4.4 一 IIR 滤波器冲激响应系数 h(n)的耦合关系为以下差分方程： h(n)=h(n-1)+δ(n) 试求其输入输出的差分方程？ 解：令 n=0，我们有 h(0)=h(-1)+δ(0)=h(-1)+1 假设初始条件为：h(-1)=0，则 h(0)=1。n>0 时，冲激函数δ(n)=0，因此差分方程为： h(n)=h(n-1)，也就是说：h(0)=h(1)=h(2)=…=1。所有系数都是一样的。 因此我们有： ≤ − ≥ = = 0 1 1 0 ( ) ( ) n n h n u n
Introduction to Signal Processing 9 其中，u()为高散时间单位阶跃序列。将上式代入卷积方程(3.4.3)，我们得到： m=2hMmx0n-m=至x0n-m m=0 m=0 或者写成： y(n)=x(n)+x(n-1)+x(n-2)+xn-3)+… 将n换成n-l,前一时刻的输出为： y(n-1)=x(n-1)+x(n-2)+x(n-3)+… 由此得到： y(m)-y(n-1)=x(nm） 因此，/O卷积方程等效于下列递归差分方程： y(n)=yn-1)+x(n) 这是一个累加器，或者叫做离散时间积分器。注意到I/O卷积方程（递归差分方程）与(n)的差 分方程具有相同的形式。实际上，冲激响应差分方程中，只要将y(n)=h(n)、x(n)=8(n)代入滤波器系数 所满足的差分方程，就可以得到递归差分方程。 例3.4.5设滤波器系数满足下列差分方程： h(n)=ahn-l)+δn） a为常数。求输出y(n)与输入xn)之间的差分方程。 解： h(0)=ah(-l)+6(0) h(1)=ah(0)+(I)=a1+0=a h(2)=ahI)+6(2)=aa+0=a2 h(3)=ah2)+63)=aa2+0=a3 以此类推，我们得到： h(n=a"u(n)= n≥0 0 n≤-l 代入卷积方程，得到： y(n)=x(n)+ax(n-1)+a2x(n-2)+ax(n-3)+. =x(n）+a[x(n-1)+ax(n-2)+a2x(n-3)+] y(n)=ay(n-1)+x(n) 可以看出，它所满足的方程正好是滤波器系数所满足的差分方程。 例3.4.6求满足下列I/O差分方程的ⅡR滤波器的卷积方程和冲激响应： y(n)=-0.8y(n-1)+x(m) 解：上述方程恰好是上例中a=一0.8。令x(n)=8(n)、y(n=h(n),我么就得到h(n)所满足的差 分方程： h(n)=-0.8h(n-l)+6(n)
Introduction to Signal Processing 9 ∑ ∑ ∞ = ∞ = = − = − 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) m m y n h m x n m x n m 其中，u(n)为离散时间单位阶跃序列。将上式代入卷积方程(3.4.3)，我们得到： 或者写成： y(n) = x(n) + x(n −1) + x(n − 2) + x(n − 3) +L 将 n 换成 n-1，前一时刻的输出为： y(n −1) = x(n −1) + x(n − 2) + x(n − 3) +L 由此得到： y(n) − y(n −1) = x(n) 因此，I/O 卷积方程等效于下列递归差分方程： y(n) = y(n −1) + x(n) 这是一个累加器，或者叫做离散时间积分器。注意到 I/O 卷积方程(递归差分方程)与 h(n)的差 分方程具有相同的形式。实际上，冲激响应差分方程中，只要将 y(n)=h(n)、x(n)=δ(n)代入滤波器系数 所满足的差分方程，就可以得到递归差分方程。 例 3.4.5 设滤波器系数满足下列差分方程： h(n) = ah(n −1) +δ (n) a 为常数。求输出 y(n)与输入 x(n)之间的差分方程。 解： h(0) = ah(−1) +δ (0) 2 3 2 (3) (2) (3) 0 (2) (1) (2) 0 (1) (0) (1) 1 0 h ah a a a h ah a a a h ah a a = + = ⋅ + = = + = ⋅ + = = + = ⋅ + = δ δ δ 以此类推，我们得到： ≤ − ≥ = = 0 1 0 ( ) ( ) n a n h n a u n n n 代入卷积方程，得到： ( ) ( 1) ( ) ( ) [ ( 1) ( 2) ( 3) ] ( ) ( ) ( 1) ( 2) ( 3) 2 2 3 y n ay n x n x n a x n ax n a x n y n x n ax n a x n a x n = − + = + − + − + − + = + − + − + − + L L 可以看出，它所满足的方程正好是滤波器系数所满足的差分方程。 例 3.4.6 求满足下列 I/O 差分方程的 IIR 滤波器的卷积方程和冲激响应： y(n) = −0.8y(n −1) + x(n) 解：上述方程恰好是上例中 a=－0.8。令 x(n)=δ(n)、y(n)=h(n)，我么就得到 h(n)所满足的差 分方程： h(n) = −0.8h(n −1) +δ (n)
第三章离散时间系统 10 设初始条件h(-1)）=O,对n作几次迭代，我们得到： h(n)=(-0.8)"(n= (-0.8)" n≥0 0 n≤1 将h(n)代入卷积方程(3.4.3)我们得到： y(n)=x(n)+(-0.8)x(n-1)+(-0.8)2x(n-2)+(-0.8)3x(n-3)+… 上式包括无限多项。 例3.4.7设滤波器的冲激响应为： 2 n=0 h(n)= 40.5)-1 n≥1 求y(n)和h(n)所满足的差分方程。 解：h(0)和h(I)为任意给定的。n≥2后，各系数可以递归计算。比如说： h(1)=4h(2)=0.5h(1)h(3)=0.5h(2)h(4)=0.5h(3)… 把以上系数代入卷积方程(3.4.3)，我们得到： yn =hoxn+hxn-1+h2xn-2+h3xn-3+... =2xn+4xm-1+2[xm-2+0.5xm-3+0.52xn-4+ 此前一个时刻的输出： yn-1=2xm-1+4xn-2+2[xn-3+0.5xn-4+0.52xn-5+ 方程两边同乘以0.5得到： 0.5ym1=xn-1+2[xm-2+0.5xn-3+0.52xn-4+0.53xn-5+] 用y(n)减去0.5y(n-1)得到： y(n)-0.5y(n-1)=2x(n)+3x(n-1)） 或者： yn)=0.5y(n-1)+2x(n)+3x(n-1) 既为输入和输出所满足的差分方程。 用h(n)替换y(n),8(n)替换xn),得到冲激响应所满足的差分方程： h(n)=0.5h(n-1)+26(m)+36n-1) 例3.4.8求满足下列差分方程的R滤波器的卷积和冲激响应。 yn)=0.25y(n-2)+x(n) 解：冲激响应满足下列差分方程： hn)=0.25h(n-2)+6(n) 设初始条件为零：h(-l)=h(-2)=0。滤波器前几项系数的迭代为：
第三章 离散时间系统 10 设初始条件 h(-1)=0，对 n 作几次迭代，我们得到： ≤ − ≥ = − = 0 1 ( 0.8) 0 ( ) ( 0.8) ( ) n n h n u n n n 将 h(n)代入卷积方程(3.4.3)我们得到： y(n) = x(n) + (−0.8)x(n −1) + (−0.8) 2 x(n − 2) + (−0.8) 3 x(n − 3) +L 上式包括无限多项。 例 3.4.7 设滤波器的冲激响应为： ≥ = = − 4(0.5) 1 2 0 ( ) 1 n n h n n 求 y(n)和 h(n)所满足的差分方程。 解：h(0)和 h(1)为任意给定的。n≥2 后，各系数可以递归计算。比如说： h(1)=4 h(2)=0.5h(1) h(3)=0.5h(2) h(4)=0.5h(3) … 把以上系数代入卷积方程(3.4.3)，我们得到： 2 4 2[ 0.5 0.5 ] 4 2 1 2 3 0 1 1 2 2 3 3 L L = + + + + + = + + + + − − − − − − − n n n n n n n n n n x x x x x y h x h x h x h x 此前一个时刻的输出： 2 4 2[ 0.5 0.5 ] 5 2 yn−1 = xn−1 + xn−2 + xn−3 + xn−4 + xn− +L 方程两边同乘以 0.5 得到： 0.5 2[ 0.5 0.5 0.5 ] 5 3 4 2 yn−1 = xn−1 + xn−2 + xn−3 + xn− + xn− +L 用 y(n)减去 0.5y(n-1)得到： y(n) − 0.5y(n −1) = 2x(n) + 3x(n −1) 或者： y(n) = 0.5y(n −1) + 2x(n) + 3x(n −1) 既为输入和输出所满足的差分方程。 用 h(n)替换 y(n)，δ(n)替换 x(n)，得到冲激响应所满足的差分方程： h(n) = 0.5h(n −1) + 2δ (n) + 3δ (n −1) 例 3.4.8 求满足下列差分方程的 IIR 滤波器的卷积和冲激响应。 y(n) = 0.25y(n − 2) + x(n) 解：冲激响应满足下列差分方程： h(n) = 0.25h(n − 2) +δ (n) 设初始条件为零：h(-1)=h(-2)=0。滤波器前几项系数的迭代为：