第十六章 Fourier级数 习题16.1函数的 Fourier级数展开 1.设交流电的变化规律为 E()= A sin ot,将它转变为直流电 的整流过程有两种类型: (1)半波整流(图16.1.5(a) f(=n(sin ot +sin ot D); (2)全波整流(图16.1.5(b) f,(0)=Asin ot: 现取o=1,试将f(x)和f2(x)在 [-x,z展开为 Fourier级数。 解(12x,(=24 图16.1.5 2A f(x)cos nxd (n=2,4.6,…) a=11(k0,(n=135…) b f(x) f(xsin ndx=0 2,3,4, A A、cos2kxr f(x)-2+sinx-2∑ 4A (2 ∫f(x) cosnxdx= x(n2-D)(n=2,4,6…), a=1∫(x)snk=0(n=1353 b=[,( x)sin ndx=0,(n=123…)。 2A 4A f2(x) 丌rk=14k2-1 2.将下列函数在[-z,上展开成 Fourier级数: (1) f(x)=sgx (2)f(x)= cos x I
第十六章 Fourier 级数 习题 16.1 函数的 Fourier 级数展开 (a) (b) 图 16.1.5 ⒈设交流电的变化规律为 ，将它转变为直流电 的整流过程有两种类型： E t( ) = Asin ωt ⑴ 半波整流（图 16.1.5(a)） f t A 1 2 ( ) = (sin f t A t 2 ( ) |sin | ωt t +|sinω |)； ⑵ 全波整流（图 16.1.5(b)） = ω ) x) ； 现取 ω = 1 ，试将 f x 1( 和 f 2 ( 在 [−π ,π ]展开为 Fourier 级数。 解 （1） 0 a = 1 1 f ( ) x dx π π ∫−π 2A π = ， an = 1 1 f ( ) x n cos xdx 2 2 ( 1 A π n = − − ) ( n = 2, 4,6,"), π π ∫−π n a = 1 1 f ( ) x cos nxdx 0 π π −π = ∫ ，（n = 1,3,5,"）； 1 b = 1 1 ( )sin 2 A f x xdx π π −π = ∫ ， bn = 1 1 f ( ) x sin nxdx 0 π π −π = ∫ ，( n = 2,3, 4,")。 1f ( ) x ∼ 2 1 2 cos 2 sin 2 4 k 1 A A A x π π k ∞ = + − kx − ∑ 。 （2） 0 a = 2 1 f ( ) x dx π π ∫−π 4A π = ， an = 2 1 f ( ) x n cos xdx 2 4 ( 1 A π n = − − ) ( n = 2, 4,6,…), π π ∫−π n a = 2 1 f x( ) cos nxdx 0 π π −π = ∫ （n = 1,3,5,…）； bn = 2 1 f ( ) x sin nxdx 0 π π −π = ∫ ，( n =1, 2,3,")。 2f ( ) x ∼ ∑ ∞ = − − 1 2 4 1 2 4 cos 2 k k A A kx π π 。 ⒉ 将下列函数在[−π ,π ]上展开成 Fourier 级数： ⑴ f (x) = sgn x ; ⑵ f x( ) = |cos x |; 1
(3)f(x) (4)f(x) ∫x,x∈-z,0) [O,丌) ax,x∈[-丌,0) (5)f(x) 解(1)f(x)为奇函数,所以an=0,(n=0,1,2,), b,=-/(x)sinnxdx 2(1-cos(n丌) (n=1,2,3…)。 f(x) 4si(2k-1)x (2)f(x)为偶函数,所以bn=0,(n=1,2,3…) 4 f(x)cos (n=2,4,6…) 丌(n ∫(xosn=0,(n=13.5…) f(x) cos 2kx o 丌xk=14k (3)f(x)为偶函数,所以bn=0,(n=1,2,3…), f(x)d f(x)cos nxd (n=1,2,3 n f(x)--2x2+∑ cost。 f(x)dx 2 f(x) coSn (n=1,2,3…) f∫(x) sin ndx= os(nT) ,(n=1,2,3…) f(x)--z+2cs2k州+(1 sIn nx。 (2k+1) (5)a4=1(xk=zb=a
⑶ 2 2 2 ( ) = − π x f x ; ⑷ f x( ) ⎩ ⎨ ⎧ ∈ ∈ − = 0, [0, ); , [ ,0), π π x x x ⑸ f x( ) ⎩ ⎨ ⎧ ∈ ∈ − = , [0, ). , [ , 0), π π bx x ax x 解（1） f x( ) 为奇函数，所以 0 n a = ，（n = 0,1, 2,… ）， bn = 1 f ( ) x n sin xdx π π ∫−π 2(1 cos(n )) n π π − = ，( n =1, 2,3,")。 f x( ) ∼ ∑ ∞ = − − 1 2 1 4 sin(2 1) k k k x π 。 （2） f x( ) 为偶函数，所以 0 n b = ，（n =1, 2,3,"）， 0 a = 1 f ( ) x dx π π ∫−π 4 π = ， n a = 1 f ( ) x n cos xdx 2 2 4( 1) ( 1 n π n − = − − ) ，( n = 2, 4,6,"), π π ∫−π n a = 1 f x( ) cos nxdx 0 π π −π = ∫ ，（n = 1,3,5,"）。 f x( ) ∼ ∑ ∞ = − − − 1 2 cos 2 4 1 2 4 ( 1) k k kx π π k 。 （3） f x( ) 为偶函数，所以 0 n b = ，（n =1, 2,3,"）， 0 a = 1 f ( ) x dx π π ∫−π 5 2 3 = − π ， n a = 1 f ( ) x n cos xdx 2 2( 1) n n − = ( n =1, 2,3,")。 π π ∫−π f x( ) ∼ nx n n n cos 2( 1) 6 5 1 2 2 ∑ ∞ = − − π + 。 （4） 0 a = 1 f ( ) x dx π π ∫−π 2 π = − ， n a = 1 f ( ) x n cos xdx 2 1 ( 1) n π n − − = ，( n =1, 2,3,"), π π ∫−π bn = 1 f ( ) x n sin xdx π π ∫−π cos(n ) n π = − ，( n =1, 2,3,")。 f x( ) ∼ ∑ ∞ = + + − + 0 2 (2 1) 2 cos(2 1) 4 k k k x π π nx n n n sin ( 1) 1 1 ∑ ∞ = + − + 。 （5） 0 a = 1 f ( ) x dx π π ∫−π ( ) 2 π b a − = ， 2
f(x) dx (a-b)(1-(-1)”) ,(n=1,2,3,…) f(x)sin noda (a+b)cos(nz) n=1,2,3;…)。 f(x)--(a-b)_2(a-b)y cos(2k+1)x+(a+b)2 丌k(2k+1)2 3.将下列函数展开成正弦级数 (1)f(x)=丌+x,x∈[0,] (2)f(x)=e2,x 3)f(x)= [0,号) 4)f(x)=/份0,m}, [01) 丌,x∈[,z 0,x∈[1,2] 解(1)b=2(x)inh=2.1-2-,(n=123,-) fx)-21-2(- n (2)b,==f(r)sinned 2n[1-(-y n=12.3 r(4+n2) f(r) 小-(-1ye2] SIn nx (3)b,=2C/(x)sin ndx -2 nr(1)"-2sin nT n=1,2,3 f(x)~ 丌 (4)b=5/(x)sin xdx n-sin f∫(x) sin ndx=- ,(n=2,3,4, n n-sIn ∫(x)~- SIn-x+ 丌m=2n2-lsn-x。 4.将下列函数展开成余弦级数: (1)f(x)=x(π-x),x∈[0,];(2)f(x)=ex,x∈[0
n a = 1 f ( ) x n cos xdx π π ∫−π 2 ( )(1 ( 1) n a b π n − − − = ) ，( n =1, 2,3,"), bn = 1 f ( ) x n sin xdx ( ) a b cos(n n + π ) = − ，( n =1, 2,3,")。 π π ∫−π f x( ) ∼ ∑ ∞ = + − + + − − 0 2 (2 1) 2( ) cos(2 1) 4 ( ) k k a b a b k x π π nx n a b n n sin ( 1) ( ) 1 1 ∑ ∞ = + − + + 。 ⒊ 将下列函数展开成正弦级数： ⑴ f (x) = π + x , x ∈[0,π ]; ⑵ f x x ( ) = e−2 , x ∈[0,π ]; ⑶ f x( ) ⎩ ⎨ ⎧ ∈ ∈ = , [ , ]; 2 , [0, ), 2 2 π π π π x x x ⑷ f x( ) ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ∈ ∈ = 0, [1,2]. , [0,1), 2 cos x x πx 解（1）bn = 0 2 f ( ) x n sin xdx π π ∫ 1 2( 1) 2 n n − − = ⋅ ，( n =1, 2,3,")。 f x( ) ∼ 1 1 2( 1) 2 s n n nx n ∞ = − − ∑ in 。 （2）bn = 0 2 f ( ) x n sin xdx π π ∫ 2 2 2 1 ( 1) (4 ) n n e n π π − ⎡ − − ⎤ ⎣ ⎦ = + ，( n =1, 2,3,")。 f x( ) ∼ [ ] nx n n e n n sin 4 2 1 ( 1) 1 2 2 ∑ ∞ = − + − − π π 。 （3）bn = 0 2 f ( ) x n sin xdx π π ∫ 2 2 ( 1) 2sin 2 n n n n π π π ⎡ ⎤ − − − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ = ，( n =1, 2,3,")。 f x( ) ∼ nx n n n n n sin 2 sin 4 ( 1) 2 1 2 1 ∑ ∞ = + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + π π 。 （4） 1 b = 2 0 2 1 ( )sin 2 f x xdx π = ∫ ， bn = 2 0 2 ( )sin 2 f x nxdx ∫ 2 2( sin ) 2 ( 1) n n n π π − = − ，( n = 2,3, 4,")。 f x( ) ∼ x n n n n x n 2 sin 1 2 sin 2 2 sin 1 2 2 π π π π π ∑ ∞ = − − + 。 ⒋ 将下列函数展开成余弦级数： ⑴ f x( ) = x(π − x) , x ∈[0,π ]; ⑵ f x x ( ) = e , x ∈[0,π ]; 3
(3)f(x)= in2x,x∈[O,) (4)f(x)=x-7+x-,x∈[O,n 1,x∈, 解(1)a=(x)=3, f∫(x) cos ndx= 2(1+(-1)) ,(n=1,2,3:)。 cos 2kx (2) f(x)dx=-(e-1) 2|e(-1) (n=1,2,3…)。 n (e-1) 丌旧n2+1 CoS nx。 (3)a==2f(x) 2 a,=-12f(x)cos 2xx= f(x)cos 2nxdx sIn 2,3,4, (n2-1)n 2、1 f(x)-(+2丌 --cOS 2x cOS n (4)a=2f(x)k=, n 4(-1)-cos f∫(x) cos nxo ,(n=1,2,3…) coS osnx o 5.求定义在任意一个长度为2x的区间[aa+2x]上的函数f(x)的 Fourier级数及其系数的计算公式
⑶ f x( ) ⎩ ⎨ ⎧ ∈ ∈ = 1, [ , ]; sin 2 , [0, ), 4 2 4 π π π x x x ⑷ 2 2 ( ) π π f x = x − + x − , x ∈[0,π ]. 解（1） 0 a = 0 2 f ( ) x dx π π ∫ 2 3 π = ， n a = 0 2 f ( ) x n cos xdx π π ∫ 2 2(1 ( 1) ) n n + − = − ，( n =1, 2,3,")。 f x( ) ∼ ∑ ∞ = − 1 2 2 cos 2 6 k k π kx 。 （2） 0 a = 0 2 f ( ) x dx π π ∫ 2 (e 1 π π = − )， n a = 0 2 f ( ) x n cos xdx π π ∫ 2 2 ( 1) 1 (1 ) n e n π π ⎡ ⎤ − − ⎣ ⎦ = + ，( n =1, 2,3,")。 f x( ) ∼ ( 1) 1 − π π e [ ] nx n e n n cos 1 2 ( 1) 1 1 ∑ 2 ∞ = + − − + π π 。 （3） 0 a = 2 0 4 f ( ) x dx π π ∫ 2 π π + = ， 1 a = 2 0 4 f ( ) x x cos 2 dx π π ∫ 1 π = − ， n a = 2 0 4 f ( ) x n cos 2 xdx π π ∫ 2 2 sin ( 1) 2 n n n n π π ⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠，( n = 2,3,4,")。 f x( ) ∼ 1 1 1 ( ) cos 2 2 2 2 1 1 sin 1 cos 2 n 1 2 n nx n n π π ∞ = ⎛ ⎞ − − ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ ∑ 。 2 x π π + − （4） 0 a = 0 2 f ( ) x dx π π ∫ 2 π = ， n a = 0 2 f ( ) x n cos xdx π π ∫ 2 4 ( 1) cos 2 n n n π π ⎡ ⎤ − − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ = ，( n =1, 2,3,")。 f x( ) ∼ nx n n n n cos 2 ( 1) cos 4 4 1 ∑ 2 ∞ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − + π π π 。 ⒌ 求定义在任意一个长度为 2π 的区间[a, a + 2π ] 上的函数 的 Fourier 级数及其系数的计算公式。 f x( ) 4
解设f(x)~+∑( a coS nx+ b sin nx),则 f(x)cos mdo an cos nx+b in n )cos mda ao [a+2r a+2丌 +2丌 cos mdx∑(a cos nx cos mxdx +b sin nx cos mdx) 「"八)mm12+m+如o小m ∫。 sin mxd+∑(aJ。 cos nisin mxd+∫ sin nx sin mxdx) br(m=1,2.), 所以 f(x)cos ndx (n=0,1, 2,) b,=o f(x)sin ndx (n=1, 2, .) 6.将下列函数在指定区间展开成 Fourier级数 (1)f(x)= 兀-x,x∈[O,2x], (2)f(x)=x2,x∈[0,2r] (3)f(x)=x,x∈[0,1 0,x∈[O,1); (5)f(x)= C,x∈[-7,0) (C是常数) 0,x∈[0,7) 解(1)an f(x) cos ndx=0,(n=0,1,2;…) b.=∫/()smnx=1,(n=123…) f∫(x) (2) 。f(x)d =-丌, f(x) cos ndx=,(n=1,2,3…) f∫(x) sin nxdx =1.2.3 f(x)-r2+4y/1 cOs丌、2 sInx
解 设 f x( ) ~ a a nx b n n n n 0 2 1 + + = ∞ ∑( cos sin x)，则 2 2 0 1 ( ) cos ( cos sin ) cos 2 a a n n a a n a f x mxdx a nx b nx mxdx π π ∞ + + = ⎡ ⎤ = + + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ ∫ ∑ 2 2 2 0 1 cos ( cos cos sin cos ) 2 a a a n n a a a n a mxdx a nx mxdx b nx mxdx π π π ∞ + + + = = +∑ + ∫ ∫ ∫ m = a π ，( m = 0,1, 2,…), 2 2 0 1 ( )sin ( cos sin ) sin 2 a a n n a a n a f x mxdx a nx b nx mxd π π ∞ + + = ⎡ ⎤ = + + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ ∫ ∑ x 2 2 2 0 1 sin ( cos sin sin sin ) 2 a a a n n a a a n a mxdx a nx mxdx b nx mxdx π π π ∞ + + + = = +∑ + ∫ ∫ ∫ m = b π ，( m = 1, 2,…), 所以 an = ∫ + π π 2 ( ) cos 1 a a f x nxdx ( n = 0,1,2,"), bn = ∫ + π π 2 ( )sin 1 a a f x nxdx ( n = 1,2,")。 ⒍ 将下列函数在指定区间展开成 Fourier 级数： ⑴ 2 ( ) x f x − = π , x ∈[0, 2π ]; ⑵ f x( ) = x 2 , x ∈[0, 2π ]; ⑶ f (x) = x , x ∈[ , 0 1]; ⑷ f x( ) ⎩ ⎨ ⎧ ∈ ∈ − = 0, [0,1); e , [ 1,0), 3 x x x ⑸ f x( ) ⎩ ⎨ ⎧ ∈ ∈ − = 0, [0, ) , [ ,0), x T C x T (C 是常数). 解（1） n a = 2 0 1 f ( ) x cos nxdx 0 π π = ∫ ，( n = 0,1, 2,"), bn = 2 0 1 f ( ) x n sin xdx π π ∫ 1 n = ，( n =1, 2,3,")。 f x( ) ∼ nx n n sin 1 1 ∑ ∞ = 。 （2） 0 a = 2 2 0 1 8 ( ) 3 f x dx π π π = ∫ ， n a = 2 0 1 f ( ) x n cos xdx π π ∫ 2 4 n = ，( n =1, 2,3,"), bn = 2 0 1 f ( ) x n sin xdx π π ∫ 4 n π = − ，( n =1, 2,3,")。 f x( ) ∼ ∑ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − 1 2 2 cos sin 1 4 3 4 n nx n nx n π π 。 5