证明:[H,Px]=i 2、设[qp]=请(q)是q的可微函数,证明 (1)a,pf(q)=2ihpf, 方 (2) p, pf(q)=.p'f 3、证明 LA, B, C+B, C,A+IC,lA, B=o 4、如果,A,B是厄密算符 (1)证明(+B,的是尼密算符, (2)求出AB是厄密算符的条件。 5、证明: [+[[,A]+[[.[ 6、如果A,B与它们的对易子A,都对易,证明 A+B+ e.e =e 提示,考虑()=2.cB.c(+,证明=2,然后积分) 7、设是一小量,算符A和A_1存在,求证 (A-2B)-=A-+2A-BA-+2A-+2A-BA-BA-+ 如uni是能量En的本征函数(i为简并指标),证明 ∫um(p3+p、x)ad=0
5 证明： , x V [H,P ] i x = , p [H,x] i x = − 2、设 q,p= i,f(q)是q 的可微函数，证明 （1） q,p f(q) 2ihpf , 2 = （2） p f ; i p,p f(q) = 2 2 3、证明 + + B]] 0 ˆ A, ˆ C,[ ˆ A]] [ ˆ C, ˆ B,[ ˆ C]] [ ˆ B, ˆ A,[ ˆ [ 4、如果， A B ˆ , ˆ 是厄密算符 （1）证明 ( ) B ˆ A, ˆ B ,i A ˆ ˆ n + 是厄密算符； （2）求出 A ˆ B ˆ 是厄密算符的条件。 5、证明： − = + + + L ˆ ,L ˆ ,L ˆ ,A ˆ + ! A, ˆ L, ˆ L, ˆ ! A ˆ L, A ˆ Ae ˆ e L Lˆ 3 1 2 1 6、如果 A,B 与它们的对易子 B ˆ A, ˆ 都对易，证明 B ˆ A, A ˆ B ˆ A B ˆ e e e 2 1 + + = （提示，考虑 ( ) f( ) e e e , A ˆ B ˆ − A ˆ +B ˆ = 证明 A,Bf d df = 然后积分） 7、设 是一小量，算符 −1 A ˆ 和A ˆ 存在，求证 (A ˆ − B ˆ ) −1 = A ˆ −1 + A ˆ −1B ˆ A ˆ −1 + 2A ˆ −1 + 2A ˆ −1B ˆ A ˆ −1B ˆ A ˆ −1 + 8、如 uni 是能量 En 的本征函数（ i为简并指标 ），证明 ( + ) = uni xpx pxx unjdx 0
从而证明:订umP1xrs方 9、一维谐振子处在基态 a-a l/2 求:(1)势能的平均值A=-m2X2; (2)动能的平均值T=P/2m; (3)动量的几率分布函数 n 其中a V h 10、若I+=Lx土讧,证明 (1)Lz,Ll=土L士 12,+1=[02,L|=0 Im =C1Ylm+ L Y=CY (3)L 十 1l、设粒子处于Y1m(,q)状态,利用上题结果求△lx,A 12、利用力学量的平均值随时间的变化,求证一维自由运动的△X2随时间的变 化为: x-(x)+2[G+x-+r (注:自由粒子Px,Px与时间无关)
6 从而证明： = unipxxunjd ij i 2 9、一维谐振子处在基态 ( ) 2 1 2 2 2 a x / / e a x − = 求： （1）势能的平均值 A m X ; 2 2 2 1 = （2）动能的平均值 T P / m; x 2 2 = （3）动量的几率分布函数 其中 = m a 10、若 L = Lx iLy ,证明 (1) = L ˆ L ] ˆ L , ˆ [ z 0 2 2 [L ˆ ,L ˆ + ] = [L ˆ ,L ˆ − ] = (2) + 1 +1 L Ylm = C Ylm ˆ − 2 −1 L Ylm = C Ylm ˆ (3) ( ) − = + + + −L− L ˆ L ˆ L ˆ L ˆ L ˆ ˆ x y 2 2 2 1 11、设粒子处于 Y ( , ) lm 状态，利用上题结果求 2 2 x y l ,l 12、利用力学量的平均值随时间的变化，求证一维自由运动的 2 X 随时间的变 化为： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0 0 0 0 2 2 1 2 2 1 X X XP p X x p P t x t t X X x + + − = + （注：自由粒子 2 x Px P , 与时间无关）