f(x)=ax2+bx+c(a≠0) a<0 图像 b 2a 2a 定义域 对称轴 b 顶点坐标 4ac-b 值域 4ac-b b 一0 递减 b递增 2 单调区间 +∞|递增 +∞递减 2 当△=b2-4ac>0时,二次函数的图像和x轴有两个交点M(x1,0),M(x2,O), 线段|M1M2|={x-x 当△=b2-4ac=0时,二次函数的图像和x轴有两个重合的交点M 特别地,当且仅当b=0时,二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)为偶函数 1.二次函数基本形式:y=ax2的性质 a的绝对值越大,抛物线的开口越小
( ) ( ) 2 f x ax bx c a = + + 0 a 0 a 0 图像 定义域 (− + , ) 对称轴 2 b x a = − 顶点坐标 2 4 , 2 4 b ac b a a − − 值域 2 4 , 4 ac b a − + 2 4 , 4 ac b a − − 单调区间 , 2 b a − − 递减 , 2 b a − + 递增 , 2 b a − − 递增 , 2 b a − + 递减 当 2 = − b ac 4 0 时，二次函数的图像和 x 轴有两个交点 M x 1 1 ( , 0) ， M x 2 2 ( , 0) ， 线段 2 1 2 1 2 b ac 4 M M x x a a − = − = = ． 当 2 = − = b ac 4 0 时，二次函数的图像和 x 轴有两个重合的交点 , 0 2 b M a − ． 特别地，当且仅当 b = 0 时，二次函数 ( ) ( ) 2 f x ax bx c a = + + 0 为偶函数． 1. 二次函数基本形式： 2 y ax = 的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2 b x a = − 2 b x a = −
a的符号开口方向顶点坐标|对称轴 0 向上(0,0) P轴/x>0时,y随x的增大而增大:x<0时,y随 x的增大而减小;x=0时,y有最小值0 0 向下 (0 y轴|x>0时,y随x的增大而减小:x<0时,y随 x的增大而增大;x=0时,y有最大值0 2.y=ax2+c的性质: 上加下减。 a的符号开口方向顶点坐标对称轴 性质 0 向上(0,c)/y轴x>0时,y随x的增大而增大:x<0时,y随 x的增大而减小;x=0时,y有最小值c a<0 向下|(,)|y轴|x20时,y随x的增大而减小:x<0时,y随 x的增大而增大;x=0时,y有最大值c 3.y=a(x-)的性质: 左加右减。 a的符号开口方向顶点坐标|对称轴 性质 x>h时,y随x的增大而增大;x<h时, a>0 向上(h,0)xh 随x的增大而减小:x=h时,y有最小值0 x>h时,y随x的增大而减小;x<h时,y 0 向下 X=h 随x的增大而增大;x=h时,y有最大值0 4.y=a(x-h)2+k的性质: a的符号|开口方向顶点坐标对称轴 向上|(h,k) x>h时,y随x的增大而增大 r<h 随x的增大而减小;x=h时,y有最小值k 向下(h,k) x>h时,y随x的增大而减小;x<h时,y 0 随x的增大而增大;x=h时,y有最大值k 三、二次函数图象的平移 平移步骤 方法一:()将抛物线解析式转化成顶点式y=a(x-b)+k,确定其顶点坐标(h,k)
2. 2 y ax c = + 的性质： 上加下减。 3. ( ) 2 y a x h = − 的性质： 左加右减。 4. ( ) 2 y a x h k = − + 的性 质： 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 ( ) 2 y a x h k = − + ，确定其顶点坐标 (h k ， ) ； a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 a 0 向上 (0 0 ， ) y 轴 x 0 时， y 随 x 的增大而增大； x 0 时， y 随 x 的增大而减小； x = 0 时， y 有最小值 0 ． a 0 向下 (0 0 ， ) y 轴 x 0 时， y 随 x 的增大而减小； x 0 时， y 随 x 的增大而增大； x = 0 时， y 有最大值 0 ． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 a 0 向上 (0，c) y 轴 x 0 时， y 随 x 的增大而增大； x 0 时， y 随 x 的增大而减小； x = 0 时， y 有最小值 c ． a 0 向下 (0，c) y 轴 x 0 时， y 随 x 的增大而减小； x 0 时， y 随 x 的增大而增大； x = 0 时， y 有最大值 c ． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 a 0 向上 (h，0) X=h x h 时， y 随 x 的增大而增大； x h 时， y 随 x 的增大而减小； x h = 时， y 有最小值 0 ． a 0 向下 (h，0) X=h x h 时， y 随 x 的增大而减小； x h 时， y 随 x 的增大而增大； x h = 时， y 有最大值 0 ． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 a 0 向上 (h k ， ) X=h x h 时， y 随 x 的增大而增大； x h 时， y 随 x 的增大而减小； x h = 时， y 有最小值 k ． a 0 向下 (h k ， ) X=h x h 时， y 随 x 的增大而减小； x h 时， y 随 x 的增大而增大； x h = 时， y 有最大值 k ．
2)保持抛物线y=ax2的形状不变,将其顶点平移到(h,k)处,具体平移方法如下: 向上(k>0)【或向下(k<0)】平移k个单位 向右(h>0)【或左(h×0】 向右(>0)【或左(h<0)】 平移k个单位 向右(h>0)【或左(h<0)】 平移k个单位 平移k个单位 向上(k>0)【或下(k<0)】 平移k个单位 向上k>0)【或下(k<0)】平移个单位 y=a(r 2.平移规律 在原有函数的基础上“h值正右移,负左移:k值正上移,负下移” 概括成八个字“左加右减,上加下减” 方法二: (1)y=ax2+bx+c沿y轴平移:向上(下)平移m个单位,y=ax2+bx+c变成 y=ax+bx+c+m (Ey=ax + bx+c-m) (2)y=ax2+bx+c沿轴平移:向左(右)平移m个单位,y=ax-2+bx+c变成 y=a(+m)+b(x+m)+c(ay=a(r-m)+b(x-m)+c) 四、二次函数y=a(x-b)+k与y=ax2+bx+c的比较 从解析式上看,y=a(x-h)2+k与y=a2+bx+c是两种不同的表达形式,后者通过配 方可以得到前者,即y=4x+b)+4-=b,其中h=一b,k=40=b 五、二次函数y=ax2+bx+c图象的画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数y=ax2+bx+c化为顶点式y=a(x-h)2+k,确定 其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们
⑵ 保持抛物线 2 y ax = 的形状不变，将其顶点平移到 (h k ， ) 处，具体平移方法如下： 向右(h>0)【或左(h<0)】 平移 |k|个单位 向上(k>0)【或下(k<0)】 平移|k|个单位 向右(h>0)【或左(h<0)】 平移|k|个单位 向右(h>0)【或左(h<0)】 平移|k|个单位 向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位 向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位 y=a(x-h) 2+k y=a(x-h) 2 y=ax y=ax 2+k 2 2. 平移规律 在原有函数的基础上“ h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴ y = ax + bx + c 2 沿 y 轴平移:向上（下）平移 m 个单位， y = ax + bx + c 2 变成 y = ax + bx + c + m 2 （或 y = ax + bx + c − m 2 ） ⑵ y = ax + bx + c 2 沿轴平移：向左（右）平移 m 个单位， y = ax + bx + c 2 变成 y = a(x + m) + b(x + m) + c 2 （或 y = a(x − m) + b(x − m) + c 2 ） 四、二次函数 ( ) 2 y a x h k = − + 与 2 y ax bx c = + + 的比较 从解析式上看， ( ) 2 y a x h k = − + 与 2 y ax bx c = + + 是两种不同的表达形式，后者通过配 方可以得到前者，即 2 2 4 2 4 b ac b y a x a a − = + + ，其中 2 4 2 4 b ac b h k a a − = − = ， ． 五、二次函数 2 y ax bx c = + + 图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数 2 y ax bx c = + + 化为顶点式 2 y a x h k = − + ( ) ，确定 其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们