《生物统计学》课程教学资源（讲义）兽医学研究方法

基础兽医学研究方法 操老师—一试验设计与统计分析(基础兽医学部研究生学位课)16学时 第一节生物统计与试验设计基础 生物统计学的原理能指导我们在从事科学研究中,从被动走向主动,从盲目走向理智,用最小的工作量完 成科学研究,并使研究结果正确可靠。 一、试验结果的表达方法及有效数字的确定 在表达科学数据结果时,既要把握数据的准确度,又要把握其精确度(准确度表示按近事物真值的程度 精确度,观测值彼此接近的程度)在科学实验中,总是在保证准确度的条件下,来提高精确度。有时不注意事物 的准确性,而过于考虑其精确性是无意义的,甚至是不客观的,要出笑话的 平均数有效数安的确定: 原则:平均数的有效位数的确定(有效位数取决于样本的变差)。原则根据1/3标准差的第一位而定。 如:36152±920.8g1/3S=920.8/3=3069g。第一位是0.3kg平均 因此:36152±920.8g-36±0.9kg 例:36152+210.3g1/3S=0.0701kg→3.62±0.21kg 二、随机变量的数字特征 1、数学期望 为了描述某一组事物的大致情况,实践中经常使用平均值这个概念。 数学期望的定义:随机变量ξ能取各个值,以取这些值的概率为加权数的加权平均来计量随机变量ξ平均 取值,则称这种平均值为随机变量ξ的数学期望,用E(ξ)表示。 例:设ξ为离散型随机变量,它们的分布密度用表格表示为 概率|P1 则规定的数学期望E(5)为:E(5)=ZaP 对于ξ的函数f()的数学期望的定义 如果:zf(a1)p绝对收敛,则 EF(5)=(a1)p1其中P=P{E=a}(=12,…) 设ξ为连续型随机变量,它的分布密度为f(x),规定ξ的数学期望Eξ为: Es= co xf(x)d 方差与标准差 随机变量的特征除了数学期望外,还有方差与标准差。方差和标准差是反应随机变量各变数变异与离数程 度大小的一个指标。 方差和标准差就是用来反映随机变量ξ的离散程度大小的一个特征值。 在数理统计中,通常用(ξ-Eξ)2来计量ξ与Eξ的偏差,这里取平方的目的是避免正负偏差相互抵消情 况(离均差和为零) 如 4 其均值为X=3:则Σ(X1-X)=(1-3)+(2-3)+(3-3)+ ∑(-E5)(4-3)+(5-3)=0 在概率论中通常用(5-E5)2的数学期望定义为方差,用σ2()表示,即规定 )=E(ξ-Eξ 根据数学期望的性质,由于E(ξ)是一个常数,因此 02(5)=(5E)2=E[22(E)+(E5)2 =E2-2(E5)(E)+(E5)2 =E52-(E5)2 根据连续型随机变量的数学期望公式E5=∫=(x

1 基础兽医学研究方法 操老师——试验设计与统计分析（基础兽医学部研究生学位课） 16 学时 第一节 生物统计与试验设计基础 生物统计学的原理能指导我们在从事科学研究中，从被动走向主动，从盲目走向理智，用最小的工作量完 成科学研究，并使研究结果正确可靠。 一、试验结果的表达方法及有效数字的确定 0.034m≠3.40cm 在表达科学数据结果时，既要把握数据的准确度，又要把握其精确度（准确度表示按近事物真值的程度， 精确度，观测值彼此接近的程度）在科学实验中，总是在保证准确度的条件下，来提高精确度。有时不注意事物 的准确性，而过于考虑其精确性是无意义的，甚至是不客观的，要出笑话的。 平均数有效数安的确定： 原则：平均数的有效位数的确定（有效位数取决于样本的变差）。原则根据 1/3 标准差的第一位而定。 如：3615.2±920.8g 1/3S=920.8/3=306.9g。第一位是 0.3kg 平均： 因此：3615.2±920.8g→3.6±0.9kg 例:3615.2+210.3g 1/3S=0.0701kg →3.62±0.21kg 二、随机变量的数字特征 1、数学期望 为了描述某一组事物的大致情况，实践中经常使用平均值这个概念。 数学期望的定义：随机变量ξ能取各个值，以取这些值的概率为加权数的加权平均来计量随机变量ξ平均 取值，则称这种平均值为随机变量ξ的数学期望，用 E（ξ）表示。 例：设ξ为离散型随机变量，它们的分布密度用表格表示为： ξ a1 a2 … ai … 概率 P1 P2 … Pi … 则规定的数学期望 E（ξ）为：E（ξ）= Zai pi 对于ξ的函数 f（ξ）的数学期望的定义： 如果： ai pi Zf ( ) 绝对收敛，则 EF（ξ）= ai pi Zf ( ) 其中 Pi=P{ξ=ai} (I=1.2,…) 设ξ为连续型随机变量，它的分布密度为 f(x)，规定ξ的数学期望 Eξ为： E xf (x)dx    = − 2、方差与标准差： 随机变量的特征除了数学期望外，还有方差与标准差。方差和标准差是反应随机变量各变数变异与离数程 度大小的一个指标。 方差和标准差就是用来反映随机变量ξ的离散程度大小的一个特征值。 在数理统计中，通常用（ξ-Eξ）2 来计量ξ与 Eξ的偏差，这里取平方的目的是避免正负偏差相互抵消情 况（离均差和为零） 如 1. 2. 3. 5. 4. 其均值为 X =3；则∑（Xi- X ）=(1-3)+(2-3)+(3-3)＋ ∑(ξ-Eξ) (4-3)+(5-3)=0 在概率论中通常用（ξ-Eξ）2 的数学期望定义为方差，用σ2（ξ）表示，即规定 σ2（ξ）=E（ξ-Eξ）2 根据数学期望的性质，由于 E（ξ）是一个常数，因此 σ2（ξ）=E（ξ-Eξ）2=E[ξ2 -2（Eξ）ξ+（Eξ）2 ] =Eξ2 -2（Eξ）（Eξ）+（Eξ）2 =Eξ2 -（Eξ）2 根据连续型随机变量的数学期望公式 E xf (x)dx    = −

可知:2(5)=E(-)2=∫ -1D)-(x-)212a2d x-A 则 02(5)=re"ndt 2丌= 证明:任何随机变量经标准化转换后,数学期为0,方差与标准差恒为1 、实验研究中,可疑数据的取舍方法 在科学实验中,有时发现试验结果中某些数值特高或特低,异常高或异常低,我们称之为可疑值。可疑值的 取舍,除了根据专业知识决定取舍外,还可依据统计学原理(标准差特性)进行取舍,其方法如下 服从正态分布的随机变量,根据正态分布函数(概率密度函数)可知 P(X-10≤X≤X+10)=68.27% P(X-20≤X≤X+2o)=9545% P(X-30≤X≤X+30)=99.73% P(X-40≤X≤X+40)=9993% 第一步:首先计算出变数(不包括可疑值在内)在X±S 第二步:取舍原则 1、可疑值X在X±3S范围之内,X1来自抽样误差,尽管异常不应舍去; 2、可疑值X在X±3S范围之外,X出现的机率小于千分之三(100%-9973%),可结合专业知识决定取舍 3、可疑值Ⅹ在X1±4S范围之外,X1出现的机率小于十万分之七,(100%-99993%),应舍去 例:某一试验结果的X±S为2.5±04,现有一数据为42,在25±4×04范围(09~41)之外,出现的 机率小于十万分之七,应舍出。 第二节医学统计学显著性检验 、显著性检验的分类 显著性检验可分为参数检验与非参数检验两大类最常用的参数检验包括三大检验 1、t检验(Thet-test):检验的资料类型包括计量资料与计数资料(百分数差异检验) a.总体均数与样本均数b.非配对t检验c.配对t检验 d.总体百分数与样本百分数检验e.两样本百分数检验 共同特点是检验两组均数的差异性,两两比较 检验结果的描述P>0.05P≤0.05P≤001P>0.01 P≤0.05(即0.01<P<0.05) 过去统计结论用“差异显著,非常显著或不显著”的说法,含意不够确认,更不能使用诸如“两组均数相差 差别很大,非常大或不大”。 现在正规标准表达统计学结论应该如下:差别(异)有显著意义(P<0.05)表面效应由随机误差引起的概率小 于5%;差别(异)有显著意义(P<0.01)表面效应由随机误差引起的概率小于1%:差别(异)无显著意义(P>0.05) 表面效应由随机误差引起的概率大于5%; 2、卡方检验( The chi- squared test) a.检验资料类型为计数资料 b分独立性检验和适合性检验 c.可进行两两比较,也可进行多重比较(卡方分割) 3、方差分析( The variance analysis a.检验资料类型多为计量资料; b.分为单因素双因素与多因素方差分析 2

2  2 2 2 2 / 2 2 2 ( ) / 2 2 2 2 2 2 [ ] } 2 2 ( ) 2 ( ) : ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2                      =  = = − + = − = − = − = + − − + − −  − −  − − −    t e e dt t e dt x t e x E t t t x d x 令 则 可知 证明：任何随机变量经标准化转换后，数学期为 0，方差与标准差恒为 1。 三、实验研究中，可疑数据的取舍方法 在科学实验中，有时发现试验结果中某些数值特高或特低，异常高或异常低，我们称之为可疑值。可疑值的 取舍，除了根据专业知识决定取舍外，还可依据统计学原理（标准差特性）进行取舍，其方法如下： 服从正态分布的随机变量，根据正态分布函数（概率密度函数）可知 P（ X -1σ≤X≤ X +1σ）=68.27% P（ X -2σ≤X≤ X +2σ）=95.45% P（ X -3σ≤X≤ X +3σ）=99.73% P（ X -4σ≤X≤ X +4σ）=99.993% 第一步：首先计算出变数（不包括可疑值在内）在 X ±S 第二步：取舍原则 1、可疑值 X1 在 X ±3S 范围之内，X1 来自抽样误差，尽管异常不应舍去； 2、可疑值 X1 在 X ±3S 范围之外，X1 出现的机率小于千分之三（100%-99.73%），可结合专业知识决定取舍； 3、可疑值 X1 在 X1±4S 范围之外，X1 出现的机率小于十万分之七，（100%-99.993%），应舍去。 例：某一试验结果的 X ±S 为 2.5±0.4，现有一数据为 4.2，在 2.5±4×0.4 范围（0.9~4.1）之外，出现的 机率小于十万分之七，应舍出。 第二节 医学统计学显著性检验 一、显著性检验的分类 显著性检验可分为参数检验与非参数检验两大类最常用的参数检验包括三大检验 1、 t 检验（The t-test）：检验的资料类型包括计量资料与计数资料（百分数差异检验） a. 总体均数与样本均数 b. 非配对 t 检验 c. 配对 t 检验 d. 总体百分数与样本百分数检验 e. 两样本百分数检验 共同特点是检验两组均数的差异性，两两比较 检验结果的描述 P＞0.05 P≤0.05 P≤0.01 P＞0.01 P≤0.05（即 0.01＜P＜0.05） 过去统计结论用“差异显著，非常显著或不显著”的说法，含意不够确认，更不能使用诸如“两组均数相差 差别很大，非常大或不大”。 现在正规标准表达统计学结论应该如下：差别（异）有显著意义(P＜0.05)表面效应由随机误差引起的概率小 于 5%；差别（异）有显著意义(P＜0.01)表面效应由随机误差引起的概率小于 1%；差别（异）无显著意义(P＞0.05) 表面效应由随机误差引起的概率大于 5%； 2、卡方检验（The chi-squared test） a. 检验资料类型为计数资料； b. 分独立性检验和适合性检验； c. 可进行两两比较，也可进行多重比较（卡方分割） 3、方差分析（The variance analysis） a. 检验资料类型多为计量资料； b. 分为单因素双因素与多因素方差分析；

c.平均数多重比较分析(多重比较要求用邓肯( Duncan氏)氏新复极差检验) 显著性检验之间的关系 t检验与方差分析:方差分析是t检验的扩大,t检验是方差分析的特殊形式t检验是进行两两比较,方差分 析是进行多组均值分析比较 a.解决均数K为2个差异显著性检验-t检验:解决均数大于2个以上的差异性检验即K>2,只能用方差分 析;在K>2时,即有K个时就有K-D个差异性,如K=2有一个差异性一x 如K=3有三个差异性X1-X2X1-X3Xx2Xx3,如K=7则有×7×(71)=21个差异性 b.t检验只能由2(n-1)自由度估计(假设n1=n≥=n),而不能以K(n-1)个自由度估计:要用t检验方法来 代替方差分析多重比较,误差估计的精确度降低 X1X2X3比较可以用t检验完成,但? .t检验两两检验的方法会随均数个数K的增大而加大增加犯I型错误的概率,(以a=005水平作显著性检 如在用t检验检验两组均数的差异性时,获得正确结论的概率是(1-a)=0.95,1代表一个差异 但对5个差异的比较用t检验,则获得正确结论的概率只是(1-a)=0.95=0.77 即5个比较中至少作出一个错误结论的概率为10.77=023 2、t检验与X2检验 检验的资料类型为计量资料,其理论分布属于正态分布类型。 但在样本百分数检验时,资料为次数资料。n充分大时,其二次分布逐渐逼迫正态分布,即在n充分大时 计数百分资料可以用t检验中的两样本百分数差异显著性检验进行统计分析,也即计数资料卡方检验,在样本数 充分大时(120左右)可用t检验代替:但样本含量较小的计数资料不得使用t检验,只能使用ⅹ检验 由于样本数较大(计数资料)因此可使用t检验: 、有关百分率效应差异比较分析试验设计(样本含量确定) 某次药效试验研究,甲药组10人,治愈6人,乙药组10人,治愈3人,试比较两药的疗效 a统计分析方法的选定,由于样本数较小,不能选用两个百分数差异显著性检验中的t检验,只能选用计 数资料Ⅹ2检验中的独立性检验,Ⅹ2×2表检验法 b.统计分析 药物 治愈 未愈 甲乙Z 3 7 10 11 x2=(6×7-3×4)-202×20 10×10×9×11 0.8080 X2=08080(384故P)005,甲乙两药效疗差异无显著意义(P)005) c.统计结果分析:检验结果表明,虽然甲药痊愈率为60%,乙药30%,但统计结果表明:两药疗效一致。 试验设计与统计检验出了什么问题:①统计分析无误;②试验设计有误(样本数太少,不能说明问题):③解决 问题办法,扩大试验样本数 第三节回归分析方法 利用最小二乘法原理,我们很容易找到直线方程y=bx+a系数ba的表达式: b ∑Xy2-XEyn a=y+bx ∑X2-(X)2/n 、加权回归分析法( Analysis of Weighted Regression) 一般回归分析是指自变量和因变量都没有重复的回归分析,自变量和因变量是一一对应的。权重等于1的 回归,如果各组因变量有不同的方差,即S1,S2,S3…Sk间差异有显著意义,这时每组因变量平均有权重 Wi=n/S2,即权重与重复次数成正比,与样本方差S2成反比,加权直线回归分析同样可利用最小二乘法( Methad

3 c. 平均数多重比较分析（多重比较要求用邓肯（Duncan 氏）氏新复极差检验）。 二、显著性检验之间的关系 1、t 检验与方差分析：方差分析是 t 检验的扩大，t 检验是方差分析的特殊形式, t 检验是进行两两比较，方差分 析是进行多组均值分析比较。 a. 解决均数 K 为 2 个差异显著性检验- t 检验；解决均数大于 2 个以上的差异性检验即 K＞2，只能用方差分 析；在 K＞2 时，即有 K 个 X 时就有 ( 1) 2 1 K K − 个差异性， 如 K=2 有一个差异性 X1 − X2 ， 如 K=3 有三个差异性 X1 − X2 X1 − X3 X2-X3 ， 如 K=7 则有 2 1 ×7×（7-1）=21 个差异性 b. t 检验只能由 2（n-1）自由度估计（假设 n1=n2=n），而不能以 K（n-1）个自由度估计：要用 t 检验方法来 代替方差分析多重比较，误差估计的精确度降低。 X1 X2 X3 比较可以用 t 检验完成，但？ c. t 检验两两检验的方法会随均数个数 K 的增大而加大增加犯Ⅰ型错误的概率，（以 a=0.05 水平作显著性检 验） 如在用 t 检验检验两组均数的差异性时，获得正确结论的概率是（1-a）=0.95， 1 代表一个差异 但对 5 个差异的比较用 t 检验，则获得正确结论的概率只是（1-a）=0.955=0.77 即 5 个比较中至少作出一个错误结论的概率为 1-0.77=0.23 2、t 检验与 X2 检验 t 检验的资料类型为计量资料，其理论分布属于正态分布类型。 但在样本百分数检验时，资料为次数资料。n 充分大时，其二次分布逐渐逼迫正态分布，即在 n 充分大时， 计数百分资料可以用 t 检验中的两样本百分数差异显著性检验进行统计分析，也即计数资料卡方检验，在样本数 充分大时（120 左右）可用 t 检验代替；但样本含量较小的计数资料不得使用 t 检验，只能使用 X2 检验。 由于样本数较大（计数资料）因此可使用 t 检验： 三、有关百分率效应差异比较分析试验设计（样本含量确定） 某次药效试验研究，甲药组 10 人，治愈 6 人，乙药组 10 人，治愈 3 人，试比较两药的疗效。 a. 统计分析方法的选定， 由于样本数较小，不能选用两个百分数差异显著性检验中的 t 检验，只能选用计 数资料 X2 检验中的独立性检验，X2 2×2 表检验法。 b. 统计分析 药物 治愈 未愈 Z 甲 6 4 10 乙 3 7 10 Z 9 11 N=20 0.8080 3.84 0.05, ( 0.05) 0.8080 10 10 9 11 [(6 7 3 4) 20 / 2] 20 2 2 2 =    =     −  −  = X P P X 故 甲乙两药效疗差异无显著意义 c. 统计结果分析：检验结果表明，虽然甲药痊愈率为 60%，乙药 30%，但统计结果表明：两药疗效一致。 试验设计与统计检验出了什么问题：①统计分析无误；②试验设计有误（样本数太少，不能说明问题）；③解决 问题办法，扩大试验样本数。 第三节 回归分析方法 利用最小二乘法原理，我们很容易找到直线方程 y=bx+a 系数 b,a 的表达式： a Y bx X Xi n X y X y n b i i i i i = +  −   −   = ( ) / / 2 2 一、加权回归分析法（Analysis of Weighted Regression） 一般回归分析是指自变量和因变量都没有重复的回归分析，自变量和因变量是一一对应的。权重等于 1 的 回归，如果各组因变量有不同的方差，即 2 2 3 2 2 2 1 , , S S S SK 间差异有显著意义，这时每组因变量平均有权重 Wi=n1/Si 2 ,即权重与重复次数成正比，与样本方差 Si 2 成反比，加权直线回归分析同样可利用最小二乘法（Methad

of least squares)使 ΣWi[y-(bxi+a)]=mn 分别对b和a求一阶导数,然后令导数函数为零,解出方程解b和a的表达式: ∑xy-∑x∑y/∑1 2-(∑x)2/ w1=n/S X=∑x/W, y/∑1 二、医学上常用曲线的拟合方法 1、量反应的直接变换——倒数变换法( Reciprocal transformation) 我们知道单位体积的酶催化反应速度V与底物浓度[S]的关系为 S+Km 即著名的米氏方程(双M方程: Michaelis-Menten方程) 米氏方程的重要性: 1、酶促反应动力学过程 2、药物受体作用动力学过程; 3、非线性药物动力学过程; Vm s S]+knV酶促反应速度,vm理论最大反应速度:S底物浓度,Km米氏常数 b.E=叫 e【4+faEm受体最大内在活性:E效应:A]药物浓度,KA受体配体结合解离常数 药物在体内的变化速率,Vm最大理论速度:X某部位的药量:Km达到最大消除 dt K+x dt 速度一半时的药物浓度。 Km:单位体积中酶促反应速度达到最大反应速度一半时的底物浓度。 证明 =时 只有当Kn=[S] 2 [S]+K 等式成立 =rmS这一个双曲线方程不可能直接进行直线回归分析而求出F和K。 但可进行直线化。 Lineweaver Burk直线化 1[S]+K K V VMaxs vmax y b 则方程变成y=bx+a直线方程 回归分析时,以表示纵轴,表示横轴,于是直线在纵轴上的截距为。,斜率为%,这样根据 V和S]可求出 Michaelis常数Km和最大反应速度。 2、 logistic生长曲线 logistic生长曲线原系比利时数学家 PF Verhult于1838年推导出来的,但长期被淹没,直到上世纪20年代 才被 P Pearl和 L.J. Reed重新发现,目前已广泛应用于动植物的饲养,栽培、资源、生态、环境等方面的模拟硏 究。其特点是开始增长缓慢,而在以后的某一范围内迅速增长,达到某限度后,增长又缓慢下来,曲线略呈拉长 的“S"。因此,也叫S型曲线。 Logistic生长曲线方程为

4 of least squares）使 [ ( )] min 2 Wi yi − bxi + a = 分别对 b 和 a 求一阶导数，然后令导数函数为零，解出方程解 b 和 a 的表达式： a Y bx wi n s X wx w Y wy w wx wx w wxy wx wy w b i i = − = =   =    −    −    = / / ; / ( ) / / 2 2 2 二、医学上常用曲线的拟合方法 1、量反应的直接变换——倒数变换法（Reciprocal transformation） 我们知道单位体积的酶催化反应速度 V 与底物浓度[S]的关系为 S Km V S V + = [ ] [ ] max 即著名的米氏方程（双 M 方程：Michaelis-Menten 方程） 米氏方程的重要性： 1、酶促反应动力学过程； 2、药物受体作用动力学过程； 3、非线性药物动力学过程； a. S Km V S V + = [ ] [ ] max V 酶促反应速度，Vmax 理论最大反应速度；[S]底物浓度，Km 米氏常数。 b. A KA a A E + = [ ] [ ] a=Emax 受体最大内在活性；E 效应；[A]药物浓度，KA 受体配体结合解离常数。 c. dt dx K X V X dt dx m m + = 药物在体内的变化速率，Vm 最大理论速度；X 某部位的药量；Km达到最大消除 速度一半时的药物浓度。 Km：单位体积中酶促反应速度达到最大反应速度一半时的底物浓度。 证明： max时 2 1 V = V m m m m m V K S K V S V K S S K S S K V S V 这一个双曲线方程 不可能直接进行直线回归分析 而求出 和 等式成立 只有当 max max max max , , [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 2 1 [ ] [ ] 2 1 + = = + = + = 但可进行直线化。 Lineweaver Burk 直线化 X S b V K a V y V V S K V S V S K V m m MAX m = = = = = + + = [ ] 1 ; ; 1 1 [ ] 1 max 1 [ ] 1 [ ] max max max 令 ； 则方程变成 y=bx+a 直线方程 回归分析时，以 V 1 表示纵轴， [ ] 1 S 表示横轴，于是直线在纵轴上的截距为 max 1 V ，斜率为 Vmax Km ，这样根据 V 和[S]可求出 Michaelis 常数 Km和最大反应速度。 2、logistic 生长曲线 logistic 生长曲线原系比利时数学家 P.F.Verhult 于 1838 年推导出来的，但长期被淹没，直到上世纪 20 年代 才被 P.Pearl 和 L.J.Reed 重新发现，目前已广泛应用于动植物的饲养，栽培、资源、生态、环境等方面的模拟研 究。其特点是开始增长缓慢，而在以后的某一范围内迅速增长，达到某限度后，增长又缓慢下来，曲线略呈拉长 的“S”。因此，也叫 S 型曲线。Logistic 生长曲线方程为

K 直线化移项后得到 y(+ae) =k ae=K-y/y 两边取自然数后得到h(k-y)=ha-bx, 令h(k-y)=y,血a=a,-b=b 则y=a+bx 因此,可将每一y观测值转换为y,用y2与x进行直线回归分析即可求出a和b,b=-ba=e 在转换时,必须先确定K值,K值的确定方法有两种 (1)如果y是累积频率,y无限增大的终极量为100%,显然k=100 (2)当y是生长量或繁殖量时,可取3对等间距观测值(x1,y),(x,y2)和(x3,y3),并将其代入式 得到联立方程得 =ae -o =a y3 令X2=x+可得到 K=y2(y1+y3)-2yy2y3/y2-yy3 3、半数效量及其求解方法 半数效量包括LD50、ED50等 半数致死量( Median lethal dose)即给群体动物用药后,使半数动物死亡的剂量,是反映毒物(药物)的急 性毒性的指标。半数效量(质反应的敏感性)的敏感性作为生物质反应率的一个常用指标 一般的生物反应曲线为S型曲线,位于“S”曲线中间段Y对X的变化较快一一较敏感。所以取质的半数 反应量 在取对数剂量条件下,对反应率进行变换(机率变换 Probit变换)使S曲线变为一直线进行回归后即可找 出50%反应率的剂量值一一曲线配合法。 另外一大类方法是插值法:最常见的插值法有:a最大或然性法( bliss法) b.克贝尔法( Karber法,寇氏法) 为了启发研究者的思维,让我们看看前人是怎样着手研究,寻找出LDo的改良寇氏法(常用方法)的计算

5 ln( ) ln , / (1 ) 1 a bx y k y ae K y y y ae K ae y k y ae K y bx bx bx bx = − − = − + = = − + = − − − − 两边取自然数后得到 直线化移项后得到 y a b x y a a b b y k y ' ' ' ln( ) ', ln ', ' = + = = − = − 则 令 因此，可将每一 y 观测值转换为 y’,用 y’与 x 进行直线回归分析即可求出 a’和 b’，b=－b’ a=ea’ 在转换时，必须先确定 K 值，K 值的确定方法有两种； （1）如果 y 是累积频率，y 无限增大的终极量为 100%，显然 k=100； （2）当 y 是生长量或繁殖量时，可取 3 对等间距观测值(x1, y1)，(x2, y2)和(x3, y3)，并将其代入式 1 3 2 1 3 1 2 3 2 2 2 1 3 2 3 3 2 2 1 1 ( ) 2 / 2 3 2 1 K y y y y y y y y y x x X ae y k y ae y k y ae y k y ae y k y bx bx bx bx = + − − + = = − = − = − = − − − − − 令 可得到 得到联立方程得 3、半数效量及其求解方法 半数效量包括 LD50 、ED50 等 半数致死量（Median lethal dose）即给群体动物用药后，使半数动物死亡的剂量，是反映毒物（药物）的急 性毒性的指标。半数效量（质反应的敏感性）的敏感性作为生物质反应率的一个常用指标。 一般的生物反应曲线为 S 型曲线，位于“S”曲线中间段 Y 对 X 的变化较快——较敏感。所以取质的半数 反应量。 在取对数剂量条件下，对反应率进行变换（机率变换 Probit 变换）使 S 曲线变为一直线进行回归后即可找 出 50%反应率的剂量值——曲线配合法。 另外一大类方法是插值法：最常见的插值法有：a. 最大或然性法（Bliss 法） b. 克贝尔法（Karber 法，寇氏法） 为了启发研究者的思维，让我们看看前人是怎样着手研究，寻找出 LD50 的改良寇氏法（常用方法）的计算 5 0 10 0 0 LD 50 对 数 剂量