动和波 中7.12恢复力与弹性力 国南着定理:一维保守力在稳定平衡位置附近一定是准弹性力 科)证:设f(x)是保守力,则它具有势能(x)。 把势能函数I(x)在平衡点x附近作泰勒展开 学技术大学杨维 (x)=+(x-x0)+ l d-v dx 22/(x- Mo 因F(x)=-dat,x是平衡点,在该点有F(x0)=0,故 V(x)=V0+ x一x0)+ 2 dx (x)=d d-v -x+ dx dx x-0
7.1.2 恢复力与弹性力 定理：一维保守力在稳定平衡位置附近一定是准弹性力。 证：设 F(x) 是保守力，则它具有势能 V(x) 。 把势能函数 V(x) 在平衡点 x0 附近作泰勒展开 = + − + − + = = 2 2 0 2 0 0 ( ) 2 1 ( ) ( ) 0 0 x x dx d V x x dx dV V x V x x x x 因F(x) =﹣dV /dt, x0 是平衡点，在该点有F(x0 ) = 0，故 = + − + = 2 2 0 2 0 ( ) 2 1 ( ) 0 x x dx d V V x V x x = − = − − + = ( ) ( ) 2 0 2 0 x x dx d V dx dV F x x x 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮
动和波 中7.12恢复力与弹性力 国 F() d v d2v (x-x0)+ 科 dx dx xo 学關令 d-v k 技 dx 由于x0是平衡点,故k>0。将(716)式代入(71.5),只 凶》保留第一项,得: 学 F=-k(x-x0) 可见,只要把平衡点x0取为原点,它的形式就与(71 杨□式完全一样了。这就证明了F()是准弹性力 维 [证毕] 纮
7.1.2 恢复力与弹性力 = − = − − + = ( ) ( ) 2 0 2 0 x x dx d V dx dV F x x x 令 0 2 2 x x dx d V k = = 由于 x0 是平衡点，故 k > 0。将(7.1.6)式代入(7.1.5)，只 保留第一项，得： ( ) 0 F = −k x − x 可见，只要把平衡点 x0 取为原点，它的形式就与(7.1.1) 式完全一样了。这就证明了 F(x) 是准弹性力。 [证毕] 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮
动和波 中7.12恢复力与弹性力 国着取16=0,x6=0,在(714)中只保留一项,得势能为 科 学 V(x)==kx2 E 技 势能的曲线示于图74。 术影由图可见,在一个严格的弹 ka 大湖性力作用下的质点只可能作 束缚运动,对任何大的能量 学國E,质点都不能作自由运动, 而只能在下列有限范围内运图7.4弹性力的势能曲线 杨动,即: 维 nin.s max 纮墨其中: 2E 12E x + in k k
7.1.2 恢复力与弹性力 取 V0 =0, x0 = 0，在(7.1.4)中只保留一项，得势能为： 2 2 1 V (x) = kx 势能的曲线示于图7.4。 由图可见，在一个严格的弹 性力作用下的质点只可能作 束缚运动，对任何大的能量 E，质点都不能作自由运动， 而只能在下列有限范围内运 动，即： min max x x x 其中： k E x k E x 2 , 2 min = − max = + 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮
第七拿动和波 中7.13简谐振动的描述 国1.简谐振动解 科 如图72所示,设弹簧振 学酬子的质量为m,弹簧的倔强 技系数为k,选取x轴,以平 术衡位置O为原点,则振子的图7.2弹簧振子 减测运动方程为: 大 mx==kx 学题令: k 杨解为:x=AcoS(Ot+) 维其中A9n为待定常数,由初始条件确定。称这种运 纮动为简谐振动
7.1.3 简谐振动的描述 1. 简谐振动解 如图7.2所示，设弹簧振 子的质量为 m，弹簧的倔强 系数为 k，选取 x 轴，以平 衡位置 O 为原点，则振子的 运动方程为： m x = −kx 令： m k = 2 解为： cos( ) = +0 x A t 其中 为待定常数，由初始条件确定。称这种运 动为简谐振动。 0 A, 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮
第七拿动和波 中7.13简谐振动的描述 国2.简谐振动的特征参量x=co(t+q) 科 学 描绘一个简谐振动的特征参量有三个:振幅、角频 技 率和相位。 术(1)振幅A 大 学 A代表质点偏离中心(平衡位置)的最大距离, 它正比于(E)2,即它的平方正比于系统的机械能, A2∝E; 杨 维 纮
7.1.3 简谐振动的描述 2. 简谐振动的特征参量 描绘一个简谐振动的特征参量有三个：振幅、角频 率和相位。 (1) 振幅 A cos( ) = +0 x A t A 代表质点偏离中心（平衡位置）的最大距离， 它正比于(E) 1/2，即它的平方正比于系统的机械能， A 2 ∝ E ； 中 国 科 学 技 术 大 学 杨 维 纮