志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 综合检测卷 (时间：120分钟满分：150分) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分 1.设a∈R,则“a=1”是“直线1：arx+21=0与直线2：x+(a+1)y+4=0平行”的() A充分不必要条件 B.必要不充分条件 C充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：A 解析：若直线h与2平行，则aa+1)-2×1-0, 即a=2或a=1, 故“a=1”是“直线h与直线h平行”的充分不必要条件. 2.己知方程x2+y2+x+ym=0表示一个圆，则实数m的取值范围是() A(2,+m) B(o,) c.(o D2,+) 答案：A 解析：由题意得1+1+4m>0,解得m>生 3双曲线品1的焦距是( 、2 A.4 B.22 C.8 D.4v2 答案C 解析：因为a2=m2+12,b2-4-m,所以c=√a2+b=√16-4，所以焦距2c=8. 4过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y24y=0所截得的弦长为() A.V3 B.2 C.√6 D.23 答案D 解析：直线方程为y=√3x,圆的方程可化为x2+02)2=22,则圆的半径=2，圆心为(0,2).于是圆心0,2)到 直线y=V3x的距离d3x0-L1.因而所求半弦长为V22=V5,故所求弦长为2V3 (W32+-1)2 5以双曲线兰-告-1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为洲） 1
1 综合检测卷 (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1.设 a∈R,则“a=1”是“直线 l1:ax+2y-1=0 与直线 l2:x+(a+1)y+4=0 平行”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:A 解析:若直线 l1 与 l2 平行,则 a(a+1)-2×1=0, 即 a=-2 或 a=1, 故“a=1”是“直线 l1 与直线 l2 平行”的充分不必要条件. 2.已知方程 x 2+y2+x+y-m=0 表示一个圆,则实数 m 的取值范围是( ) A.(- 1 2 , + ∞) B.(-∞,- 1 2 ) C.(-∞,- 1 2 ] D.[- 1 2 , + ∞) 答案:A 解析:由题意得 1+1+4m>0,解得 m>- 1 2 . 3.双曲线 𝑥 2 𝑚2+12 − 𝑦 2 4-𝑚2=1 的焦距是( ) A.4 B.2√2 C.8 D.4√2 答案:C 解析:因为 a 2=m2+12,b 2=4-m2 ,所以 c=√𝑎 2 + 𝑏 2 = √16=4,所以焦距 2c=8. 4.过原点且倾斜角为 60°的直线被圆 x 2+y2 -4y=0 所截得的弦长为( ) A.√3 B.2 C.√6 D.2√3 答案:D 解析:直线方程为 y=√3x,圆的方程可化为 x 2+(y-2)2=2 2 ,则圆的半径 r=2,圆心为(0,2).于是圆心(0,2)到 直线 y=√3x 的距离 d= |√3×0-2| √(√3) 2+(-1) 2 =1.因而所求半弦长为√2 2-1 2 = √3,故所求弦长为 2√3. 5.以双曲线𝑥 2 4 − 𝑦 2 12=-1 的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为( )
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志河。 http://www.zhyh.org A+到 B+后 c荒+片-1 学+ 答案D 解析：南号-台-1得酷-三-1园5双商线的焦点为004调点全标为02v同0,2可 故所水精圆方程为号+片1 6.已知圆C1:(x+2)2+0ym)2=9与圆C2:(x-m)2+y+1)2=4外切，则实数m的值为(） A.2 B.-5 C.2或-5 D.不确定 答案：C 解析：圆C1:(x+2)2+0ym)2=9的圆心为(-2，m,半径为3，圆C2:(x-m)2+0+1)2=4的圆心为(m,-1),半径为 2. 依题意有，(-2-m)2+(m+1)2=3+2,即m㎡2+3m-10=0,解得m=2或m=-5. 7.己知等边三角形ABC与等边三角形BCD所在的平面垂直，则二面角A-BD-C的正弦值为() A号 C2V5 5 答案：C C x/D 解析：取BC的中点O,连接AO,DO.如图所示，建立空间直角坐标系Oxz 设BC-1,则A(0.0,),(00）D停0.0 于是0丽=(0,0盟丽=(（0.2而=（停0 设平面ABD的法向量为n=(xJy,) 则n丽=0，即 +号=0， nBD=0” 9x+y=0 不妨取x=1,则y=V3,=1. 因而n=(1,V3,1)为平面ABD的一个法向量 2
2 A. 𝑥 2 16 + 𝑦 2 12=1 B. 𝑥 2 12 + 𝑦 2 16=1 C. 𝑥 2 16 + 𝑦 2 4 =1 D. 𝑥 2 4 + 𝑦 2 16=1 答案:D 解析:由 𝑥 2 4 − 𝑦 2 12=-1,得 𝑦 2 12 − 𝑥 2 4 =1.因而双曲线的焦点为(0,4),(0,-4),顶点坐标为(0,2√3),(0,-2√3). 故所求椭圆方程为𝑥 2 4 + 𝑦 2 16=1. 6.已知圆 C1:(x+2)2+(y-m) 2=9 与圆 C2:(x-m) 2+(y+1)2=4 外切,则实数 m 的值为( ) A.2 B.-5 C.2 或-5 D.不确定 答案:C 解析:圆 C1:(x+2)2+(y-m) 2=9 的圆心为(-2,m),半径为 3,圆 C2:(x-m) 2+(y+1)2=4 的圆心为(m,-1),半径为 2. 依题意有√(-2-𝑚) 2 + (𝑚 + 1) 2=3+2,即 m2+3m-10=0,解得 m=2 或 m=-5. 7.已知等边三角形 ABC 与等边三角形 BCD 所在的平面垂直,则二面角 A-BD-C 的正弦值为( ) A. √5 5 B. √3 3 C. 2√5 5 D. √6 3 答案:C 解析:取 BC 的中点 O,连接 AO,DO.如图所示,建立空间直角坐标系 Oxyz. 设 BC=1,则 A(0,0, √3 2 ),B(0,- 1 2 ,0),D( √3 2 ,0,0). 于是𝑂𝐴⃗⃗⃗ = (0,0, √3 2 ) ,𝐵𝐴⃗⃗⃗ = (0, 1 2 , √3 2 ) ,𝐵𝐷⃗ ⃗ = ( √3 2 , 1 2 ,0). 设平面 ABD 的法向量为 n=(x,y,z). 则{ 𝑛·𝐵𝐴⃗⃗⃗ = 0, 𝑛·𝐵𝐷⃗ ⃗ = 0, 即{ 1 2 𝑦 + √3 2 𝑧 = 0, √3 2 𝑥 + 1 2 𝑦 = 0. 不妨取 x=1,则 y=-√3,z=1. 因而 n=(1,-√3,1)为平面 ABD 的一个法向量
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 又因为O=(00,为平面BCD的一个法向量。 所以cos<n0i=ng=5 0际=号月 因为<n,0i>∈[0，，所以sin<n,OA25 5 故二面角4-BD-C的正弦值为25 8以双曲线二-号-1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是(） A.y2=12x B.y2--12x C.)2=6x D.y2=-6x 答案：A 解析5-号-1，得-4-5，则c-+8-9 因此双曲线的右焦点的坐标为(3,0)， 于是抛物线的焦点坐标为(3,0)，顶点坐标为(0,0) 故抛物线的方程为y2=12x 9.若直线x-y=2被圆(x-a)2+y2-4所截得的弦长为2VZ,则实数a的值为 A.-1或V3 B1或3 C.-2或6 D.0或4 答案D 解析：因为圆心a0)到直线x-2的距离d2所以(V2+(色)-2，解得a=0或a=4 10已知F(3,0F以3,0是椭圆后+二1的两个焦点，点P在椭圆上，∠RPF=m当a受时，△FPA的 面积最大，则m+n的值是() A.41 B.15 C.9 D.1 答案：B 解析：由SA5P6=FFbm-3ml, 知当P为短轴端点时，△FPF的面积最大，此时∠FPF 因而a=Vm=2V3,b=√m=V3. 故m+n=(2V3)2+3)2-15. 3
3 又因为𝑂𝐴⃗⃗⃗ = (0,0, √3 2 )为平面 BCD 的一个法向量, 所以 cos<n,𝑂𝐴⃗⃗⃗ >= 𝑛·𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ |𝑛|·|𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ | = √5 5 . 因为<n,𝑂𝐴⃗⃗⃗ >∈[0,π],所以 sin<n,𝑂𝐴⃗⃗⃗ >=2√5 5 . 故二面角 A-BD-C 的正弦值为2√5 5 . 8.以双曲线𝑥 2 4 − 𝑦 2 5 =1 的中心为顶点,且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是( ) A.y 2=12x B.y 2=-12x C.y 2=6x D.y 2=-6x 答案:A 解析:由 𝑥 2 4 − 𝑦 2 5 =1,得 a 2=4,b 2=5,则 c 2=a2+b2=9. 因此双曲线的右焦点的坐标为(3,0). 于是抛物线的焦点坐标为(3,0),顶点坐标为(0,0). 故抛物线的方程为 y 2=12x. 9.若直线 x-y=2 被圆(x-a) 2+y2=4 所截得的弦长为 2√2,则实数 a 的值为( ) A.-1 或√3 B.1 或 3 C.-2 或 6 D.0 或 4 答案:D 解析:因为圆心(a,0)到直线 x-y=2 的距离 d=|𝑎-2| √2 ,所以(√2) 2+( |𝑎-2| √2 ) 2 =2 2 ,解得 a=0 或 a=4. 10.已知 F1(-3,0),F2(3,0)是椭圆𝑥 2 𝑚 + 𝑦 2 𝑛 =1 的两个焦点,点 P 在椭圆上,∠F1PF2=α.当 α= 2π 3 时,△F1PF2 的 面积最大,则 m+n 的值是( ) A.41 B.15 C.9 D.1 答案:B 解析:由𝑆△𝐹1𝑃𝐹2 = 1 2 |F1F2|·|yP|=3|yP|, 知当 P 为短轴端点时,△F1PF2的面积最大,此时∠F1PF2= 2π 3 . 因而 a=√𝑚=2√3,b=√𝑛 = √3. 故 m+n=(2√3) 2+(√3) 2=15
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 11.己知A,B为双曲线E的左、右顶点，点M在双曲线E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则 双曲线E的离心率为() A.5 B.2 C.3 D./2 答案D 解析：如围，设双商线E的方程为号- -(a>0,b>0),则l4B到=-2a由双曲线的对称性，可设点M1)在 2 第一象限内，过点M作MN⊥x轴，垂足为点N,则，点N(x,O) ,△ABM为等腰三角形，且∠ABM=120° ∴.lBM=AB=2a,∠MBN=60°. .·n=lMNM=BMIsin∠MBW=2asin60°=V3a, X1=OB|+BNI=OB]+BMIcos ZMBN=a+2acos 60=2a. .M2a,V3a). 将点M2a代入号-三-1，可得- .e-c= a2 12.已知三棱柱ABC-A1B1C的侧棱与底面垂直，体积为2，底面是边长为V3的正三角形.若P为底面 A1B1C的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为) A号 B明 c D 答案B 解析：如图所示，Sa4c×V3xV3xin号= 4 设点O是△ABC的中心， 则OP⊥平面ABC,∠OAP即为PA与平面ABC所成的角， 4
4 11.已知 A,B 为双曲线 E 的左、右顶点,点 M 在双曲线 E 上,△ABM 为等腰三角形,且顶角为 120°,则 双曲线 E 的离心率为( ) A.√5 B.2 C.√3 D.√2 答案:D 解析:如图,设双曲线 E 的方程为𝑥 2 𝑎2 − 𝑦 2 𝑏 2=1(a>0,b>0),则|AB|=2a.由双曲线的对称性,可设点 M(x1,y1)在 第一象限内,过点 M 作 MN⊥x 轴,垂足为点 N,则点 N(x1,0). ∵△ABM 为等腰三角形,且∠ABM=120°, ∴|BM|=|AB|=2a,∠MBN=60°. ∴y1=|MN|=|BM|sin ∠MBN=2asin 60°=√3a, x1=|OB|+|BN|=|OB|+|BM|cos ∠MBN=a+2acos 60°=2a. ∴M(2a,√3a). 将点 M(2a,√3a)代入𝑥 2 𝑎2 − 𝑦 2 𝑏 2=1,可得 a 2=b2 , ∴e= 𝑐 𝑎 = √𝑎2+𝑏 2 𝑎2 = √2. 12.已知三棱柱 ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,体积为9 4 ,底面是边长为√3的正三角形.若 P 为底面 A1B1C1 的中心,则 PA 与平面 ABC 所成角的大小为( ) A. 5π 12 B. π 3 C. π 4 D. π 6 答案:B 解析:如图所示,S△ABC= 1 2 × √3 × √3×sin π 3 = 3√3 4 . 设点 O 是△ABC 的中心, 则 OP⊥平面 ABC,∠OAP 即为 PA 与平面 ABC 所成的角
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 于是VE发柱ABcA,G,-Sa4BcOP-3平OP-号得OP-V3 :0A子4D1-4sin号=号×V3x号=1， tam∠0aP器=9=va 又0<∠OAP<∴.∠OAP号 二、填空题本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.经过点A(1,1)且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的直线方程 是 答案：xy=0或x+y-2=0 解析：当直线过原点时，满足要求，此时直线方程为y0,当直线不过原点时，设直线方程为后+台1，国 为点A(1,1)在直线上，所以a=2,此时直线方程为x+y-2=0.综上，所求直线方程为xy=0或x+y2=0. 14.设A为圆(x-2)2+0-2)2=1上一动点，则点A到直线xy-5=0的最大距离 为 答案兴1 解析：国为圆心(2,2)到直线5=0的距离d2-2-5y1,所以直线5=0与圈圆(x-2+0-2Y=1相 2 离。 所以点A到直线x少5=0的最大距离为y三1 2 15.已知椭圆号+兰-1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上若PF-4,则∠FPF= 答案：120° 解析：在精圆号+兰1中众心-9，公=2 又因为c2=2-b2=7,所以c=7 因为PF1=4,IPF1+PF=2a=6, 所以1PF2=6-4=2. 所以os∠FP:_7-月 2P F1P F2l 2×4×2 因为∠F1PF2∈(0°，180°)，所以∠F1PF2=120°， 16.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB-2,AD=A41=1,则直线BD1与平面BCC1B1所成角的正弦值 为
5 于是𝑉三棱柱𝐴𝐵𝐶-𝐴1𝐵1𝐶1 =S△ABC·OP=3√3 4 ·OP=9 4 ,得 OP=√3. ∵OA=2 3 |AD|=2 3 |AB|·sin π 3 = 2 3 × √3 × √3 2 =1, ∴tan∠OAP=𝑂𝑃 𝑂𝐴 = √3 1 = √3. 又 0<∠OAP<π 2 ,∴∠OAP=π 3 . 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.经过点 A(1,1)且在 x 轴上的截距等于在 y 轴上的截距的直线方程 是 . 答案:x-y=0 或 x+y-2=0 解析:当直线过原点时,满足要求,此时直线方程为 x-y=0;当直线不过原点时,设直线方程为𝑥 𝑎 + 𝑦 𝑎 =1,因 为点 A(1,1)在直线上,所以 a=2,此时直线方程为 x+y-2=0.综上,所求直线方程为 x-y=0 或 x+y-2=0. 14.设 A 为圆(x-2)2+(y-2)2=1 上一动点,则点 A 到直线 x-y-5=0 的最大距离 为 . 答案: 5√2 2 +1 解析:因为圆心(2,2)到直线 x-y-5=0 的距离 d=|2-2-5| √2 = 5√2 2 >1,所以直线 x-y-5=0 与圆(x-2)2+(y-2)2=1 相 离. 所以点 A 到直线 x-y-5=0 的最大距离为5√2 2 +1. 15.已知椭圆𝑥 2 9 + 𝑦 2 2 =1 的焦点为 F1,F2,点 P 在椭圆上,若|PF1|=4,则∠F1PF2= . 答案:120° 解析:在椭圆𝑥 2 9 + 𝑦 2 2 =1 中,a 2=9,b 2=2. 又因为 c 2=a2 -b 2=7,所以 c=√7. 因为|PF1|=4,|PF1|+|PF2|=2a=6, 所以|PF2|=6-4=2. 所以 cos ∠F1PF2= |𝑃𝐹1| 2+|𝑃𝐹2| 2 -|𝐹1𝐹2| 2 2|𝑃𝐹1||𝑃𝐹2| = 4 2+2 2 -(2√7) 2 2×4×2 =- 1 2 . 因为∠F1PF2∈(0°,180°),所以∠F1PF2=120°. 16.在长方体 ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AD=AA1=1,则直线 BD1 与平面 BCC1B1所成角的正弦值 为