2Eu,u-uZu-t=2=2DW=1=2(1.15)T因为当样本充分大时，有2Zi,(1.16)Ziu,-t=l(=21=2把（1.15）式中的有关项用上式中第2项代换7T22a. -22.ZiitDW~12t=2↑=2=2(1-(1.17))=2(1-p)TZi?2it=21=2因为p的取值范围是[-1,1]，所以DW统计量的取值范围是[0,4]。p与DW值的对应关系见表1.1。表 1.1p与DW值的对应关系及意义DWu的表现pDW=2P=0u非自相关DW=0p=1u完全正自相关DW=4P=-1u完全负自相关0<DW<20<p<1u有某种程度的正自相关2<DW<4-1<p<0u有某种程度的负自相关实际中DW=0,2,4的情形是很少见的。当DW取值在（0,2），（2,4）之间时，怎样判别误差项u是否存在自相关呢？推导统计量DW的精确抽样分布是困难的，因为DW是依据残差u,计算的，而ü,的值又与x的形式有关。DW检验与其它统计检验不同，它没有唯一的临界值用来制定判别规则。然而Durbin-Watson根据样本容量和被估参数个数，在给定的显著性水平下，给出了检验用的上、下两个临界值du和d。判别规则如下：不确不确拒绝Ho定区接受H。拒绝H。定区DW04d4-dwu4-d.图1.2（1）若DW取值在（O,d）之间，拒绝原假设Ho,认为u存在一阶正自相关。(2）若DW取值在（4-dl，4）之间，拒绝原假设Ho,认为ut存在一阶负自相关。(3）若DW取值在（du,4-du）之间，接受原假设Ho,认为ur非自相关。(4）若DW取值在（d.du）或（4-du.4-di）之间，这种检验没有结论，即不能判别u是否存在一阶自相关。判别规则可用图1.2表示。当DW值落在“不确定”区域时，有两种处理方法。①加大样本容量或重新选取样本，重作DW检验。有时DW值会离开不确定区。②选用其它检验方法。DW检验表4给出DW检验临界值。DW检验临界值与三个参数有关。①检验水平α，②样本容量T，③原回归模型中解释变量个数k（不包括常数项）。6
DW = ∑ ∑∑ ∑ = == = − −+ − T t t T t T t T t t t tt u uu uu 1 2 22 2 1 2 1 2 ˆ ˆˆ 2 ˆˆ (1.15) 因为当样本充分大时，有 ∑ ≈∑ ≈ (1.16) = T t t u 2 2 ˆ = − T t t u 2 2 1 ˆ ∑= T t t u 1 2 ˆ 把（1.15）式中的有关项用上式中第 2 项代换， DW ≈ ∑ ∑ ∑ = − = = − − − T t t T t T t t tt u u uu 2 2 1 2 2 1 2 1 ˆ 2 ˆ 2 ˆˆ = 2 (1 - ∑ ∑ = − = − T t t T t tt u uu 2 2 1 2 1 ˆ ˆˆ ) = 2 (1 - ρˆ ) (1.17) 因为 ρ 的取值范围是 [-1, 1]，所以 DW 统计量的取值范围是 [0, 4]。ρ 与 DW 值的对 应关系见表 1.1。 表 1.1 ρ 与 DW 值的对应关系及意义 ρ DW ut 的表现 ρ = 0 DW = 2 ut 非自相关 ρ = 1 DW = 0 ut 完全正自相关 ρ = -1 DW = 4 ut 完全负自相关 0 < ρ < 1 0 < DW < 2 ut 有某种程度的正自相关 -1 < ρ < 0 2 < DW < 4 ut 有某种程度的负自相关 实际中 DW = 0, 2, 4 的情形是很少见的。当 DW 取值在（0, 2），（2, 4）之间时，怎样判 别误差项 ut 是否存在自相关呢？推导统计量 DW 的精确抽样分布是困难的，因为 DW 是依 据残差 计算的，而 的值又与 xt 的形式有关。DW 检验与其它统计检验不同，它没有唯 一的临界值用来制定判别规则。然而 Durbin-Watson 根据样本容量和被估参数个数，在给定 的显著性水平下，给出了检验用的上、下两个临界值 dU和 dL 。判别规则如下： ut ˆ ut ˆ 图 1.2 (1) 若 DW 取值在（0, dL）之间，拒绝原假设 H0 ,认为 ut 存在一阶正自相关。 (2) 若 DW 取值在（4 - dL , 4）之间，拒绝原假设 H0 ,认为 ut 存在一阶负自相关。 (3) 若 DW 取值在（dU, 4- dU）之间，接受原假设 H0 ,认为 ut 非自相关。 (4) 若 DW 取值在（dL, dU）或（４- dU, 4 - dL）之间，这种检验没有结论，即不能判别 ut 是否存在一阶自相关。判别规则可用图 1.2 表示。 当 DW 值落在“不确定”区域时，有两种处理方法。①加大样本容量或重新选取样本， 重作 DW 检验。有时 DW 值会离开不确定区。②选用其它检验方法。 DW 检验表 4 给出 DW 检验临界值。DW 检验临界值与三个参数有关。①检验水平α， ②样本容量 T , ③原回归模型中解释变量个数 k（不包括常数项）。 6
注意：因为DW统计量是以解释变量非随机为条件得出的，所以当有滞后的内生变量作解释变量时，DW检验无效。这时的表现是DW值常常接近2。当估计式为yi=Bo+BiyiI+βx+ur时，Durbin认为应该用下面的h统计量检验一阶自相关。TTDWh=p(1(1-2i-T(Var(B)V1-T(Var(B,))Durbin已证明h统计量近似服从均值为零方差为1的标准正态分布。可以用标准正态分布临界值对h的显著性作出检验。注意：当T(Var(β,)>1 时检验无效。②不适用于联立方程模型中各方程的序列自相关检验。③DW统计量不适用于对高阶自相关的检验。(3）LM检验（亦称BG检验）法DW统计量只适用于一阶自相关检验，而对于高阶自相关检验并不适用。利用BG统计量可建立一个适用性更强的自相关检验方法，既可检验一阶自相关，也可检验高阶自相关。BG检验由Breusch-Godfrey提出。BG检验是通过一个辅助回归式完成的，具体步骤如下。对于多元回归模型(6.18)y=Bo+Bixi,+βx2,+ ... +βk-1x a-1t+u考虑误差项为n阶自回归形式(6.19)u,=pi u-I +... + Pn u-n + vt其中v，为随机项，符合各种假定条件。零假设为Ho: PI = P2 =...= Pn= 0这表明u不存在n阶自相关。用估计（6.18）式得到的残差建立辅助回归式i,=put--+...+pnitn+Bo+βixi,+βx2t+ ... +βk-1xk-li+v(6.20)上式中的i,是（6.18）式中u的估计值。估计上式，并计算可决系数R。构造LM统计量，LM=TR?(6.21)其中T表示（6.18）式的样本容量。R2为（6.20）式的可决系数。在零假设成立条件下，LM统计量渐近服从(m分布。其中n为（6.19）式中自回归阶数。如果零假设成立，LM统计量的值将很小，小于临界值。判别规则是，若LM=TR≤x(n)，接受Ho;若LM=TR>(m)，拒绝Ho;(4)回归检验法回归检验法的优点是，（1）适合于任何形式的自相关检验，（2）若结论是存在自相关，则同时能提供出自相关的具体形式与参数的估计值。缺点是计算量大。回归检验法的步骤如下：①用给定样本估计模型并计算残差u,。②对残差序列i,，（t=1,2，…，T）用普通最小二乘法进行不同形式的回归拟合。如u,=p u,-i+viu,=pi u,-1+p2 i,-2+v7
注意： ①因为 DW 统计量是以解释变量非随机为条件得出的，所以当有滞后的内生变量作解 释变量时，DW 检验无效。这时的表现是 DW 值常常接近 2。当估计式为 yt = β0 + β1 yt-1 + β2 xt + ut 时，Durbin 认为应该用下面的 h 统计量检验一阶自相关。 h = ρˆ = (1- 2 DW ) )) ˆ ((1 VarT β1 T )) − ˆ ((1 VarT β1 T − Durbin 已证明 h 统计量近似服从均值为零方差为 1 的标准正态分布。可以用标准正态 分布临界值对 h 的显著性作出检验。注意：当 VarT (( β ˆ 1 )) >1 时检验无效。 ②不适用于联立方程模型中各方程的序列自相关检验。 ③DW 统计量不适用于对高阶自相关的检验。 (3) LM 检验（亦称 BG 检验）法 DW 统计量只适用于一阶自相关检验，而对于高阶自相关检验并不适用。利用 BG 统计 量可建立一个适用性更强的自相关检验方法，既可检验一阶自相关，也可检验高阶自相关。 BG 检验由 Breusch-Godfrey 提出。BG 检验是通过一个辅助回归式完成的，具体步骤如下。 对于多元回归模型 yt = β0 + β1x1 t + β2 x2 t + . + β k –1 x k-1 t + ut (6.18) 考虑误差项为 n 阶自回归形式 ut = ρ1 ut-1 + . + ρn ut - n + vt (6.19) 其中 vt 为随机项，符合各种假定条件。零假设为 H0: ρ1 = ρ2 = .= ρn = 0 这表明 ut 不存在 n 阶自相关。用估计（6.18）式得到的残差建立辅助回归式， uˆt = 1 ρˆ 1 ˆ t− u + . + ρ n ˆ u −nt ˆ +β0 +β1x1 t +β2 x2 t + . + β k –1 x k-1 t + vt (6.20) 上式中的 是（6.18）式中 ut 的估计值。估计上式，并计算可决系数 R uˆt 2 。构造 LM 统计量， LM = T R2 (6.21) 其中 T 表示（6.18）式的样本容量。R2为（6.20）式的可决系数。在零假设成立条件下，LM 统计量渐近服从 χ 2 (n) 分布。其中 n 为（6.19）式中自回归阶数。如果零假设成立，LM 统计 量的值将很小，小于临界值。 判别规则是，若 LM = T R2 ≤ χ 2 (n)，接受 H0； 若 LM = T R2 > χ 2 (n)，拒绝 H0； (4) 回归检验法 回归检验法的优点是，（1）适合于任何形式的自相关检验，（2）若结论是存在自相关， 则同时能提供出自相关的具体形式与参数的估计值。缺点是计算量大。回归检验法的步骤如 下： ①用给定样本估计模型并计算残差 。ut ˆ ②对残差序列uˆt , (t = 1 ,2 ,. , T ) 用普通最小二乘法进行不同形式的回归拟合。如 ut ˆ = ρ – 1 + vt ut ˆ ut ˆ = ρ1 ut – 1 + ρ2 – 2 + vt ˆ ut ˆ 7
u,=pu,-1+vu,=pya-+v(3）对上述各种拟合形式进行显著性检验，从而确定误差项u，存在哪一种形式的自相关。5.克服自相关如果模型的误差项存在自相关，首先应分析产生自相关的原因。如果自相关是由于错误地设定模型的数学形式所致，那么就应当修改模型的数学形式。怎样查明自相关是由于模型数学形式不妥造成的？一种方法是用残差i，对解释变量的较高次幂进行回归，然后对新的残差作DW检验，如果此时自相关消失，则说明模型的数学形式不妥。如果自相关是由于模型中省略了重要解释变量造成的，那么解决办法就是找出略去的解释变量，把它做为重要解释变量列入模型。怎样查明自相关是由于略去重要解释变量引起的？一种方法是用残差t，对那些可能影响因变量但又未列入模型的解释变量回归，并作显著性检验，从而确定该解释变量的重要性。如果是重要解释变量，应该列入模型。只有当以上两种引起自相关的原因都消除后，才能认为误差项u“真正”存在自相关。在这种情况下，解决办法是变换原回归模型，使变换后的随机误差项消除自相关，进而利用普通最小二乘法估计回归参数。这种变换方法称作广义最小二乘法。下面介绍这种方法。设原回归模型是yi=βo+Bixir+Bx2t+.-+βkx k+u(1.19)(t=1, 2, ..., T)其中u具有一阶自回归形式u,=pu-i +vi其中v，满足通常的假定条件，把上式代入（1.19）式，(1.20)y=βo+Bix1++βx2,+... +oxkr+pur-1 + v求模型（1.19）的（t-1）期关系式，并在两侧同乘p(1.21)pyt-I=pβo+pβix1t-I+pβx21-I+...+pPexkt-1 +put-1用（1.19）式与上式相减得(1.22)yt-pyt-I=βo(1 -p) +Bi(xir-pxi-l)+...+Br(Xkt-pxkt-1)+ vt令(1.23)y*=yr-pyt-l,(1.24)x*=xi-pxt-, j=1,2,..kβ*=βo (1 -p),(1.25)则模型（1.22）表示如下，y*=B*+βx*+Bx2 *+... +βx*+V(1=2,3..T)(1.26)上述变换称作广义差分变换。上式中的误差项v是非自相关的，满足假定条件，所以可对上式应用最小二乘法估计回归参数。所得估计量具有最佳线性无偏性。上式中的β..限就是原模型（1.19）中的βi..，而B*与模型（1.19）中的β有如下关系β*=βo(1 -p),βo=β* / (1-p)(1.27)注意：（1）对（1.19）式进行OLS估计得到的β.B，，β的估计量称作普通最小二乘估计量；对（1.26）式进行OLS估计得到的B,β，，，β的估计量称作广义最小二乘估计量。8
ut ˆ = ρ - 1 2 ut + v t ˆ ut ˆ = ρ 1 ˆut− + vt . (3) 对上述各种拟合形式进行显著性检验，从而确定误差项 ut 存在哪一种形式的自相 关。 5. 克服自相关 如果模型的误差项存在自相关，首先应分析产生自相关的原因。如果自相关是由于错误 地设定模型的数学形式所致，那么就应当修改模型的数学形式。怎样查明自相关是由于模型 数学形式不妥造成的？一种方法是用残差 对解释变量的较高次幂进行回归，然后对新的 残差作 DW 检验，如果此时自相关消失，则说明模型的数学形式不妥。 ut ˆ 如果自相关是由于模型中省略了重要解释变量造成的，那么解决办法就是找出略去的解 释变量，把它做为重要解释变量列入模型。怎样查明自相关是由于略去重要解释变量引起 的？一种方法是用残差 对那些可能影响因变量但又未列入模型的解释变量回归，并作显 著性检验，从而确定该解释变量的重要性。如果是重要解释变量，应该列入模型。 ut ˆ 只有当以上两种引起自相关的原因都消除后，才能认为误差项 ut “真正”存在自相关。 在这种情况下，解决办法是变换原回归模型，使变换后的随机误差项消除自相关，进而利用 普通最小二乘法估计回归参数。这种变换方法称作广义最小二乘法。下面介绍这种方法。 设原回归模型是 yt = β0 + β1x1 t + β2 x2 t+ . + β k x k t + ut (t = 1, 2, ., T ) (1.19) 其中 ut 具有一阶自回归形式 ut = ρ ut-1 + vt 其中 vt 满足通常的假定条件，把上式代入（1.19）式， yt = β0 + β1 x1 t +β2 x2 t + . + β0 xk t + ρ ut - 1 + vt (1.20) 求模型（1.19）的 (t - 1) 期关系式，并在两侧同乘 ρ， ρ yt -1= ρ β0 + ρ β1 x1 t -1 + ρ β2 x2 t -1 + . + ρ βk xk t - 1 + ρ ut - 1 (1.21) 用（1.19）式与上式相减得 yt - ρ yt -1 = β0 (1 - ρ) + β1 (x1t - ρ x1 t-1) +. + βk ( xk t - ρ xk t -1) + vt (1.22) 令 yt* = yt - ρ yt -1 , (1.23) xj t* = xj t - ρ xj t - 1, j = 1 , 2 , . k (1.24) β0* = β0 (1 - ρ ), (1.25) 则模型（1.22）表示如下， yt* = β0*+ β1 x1 t* + β2 x2 t* +. + βk xk t* + vt ( t = 2 , 3 ,. T ) (1.26) 上述变换称作广义差分变换。上式中的误差项 vt是非自相关的，满足假定条件，所以可 对上式应用最小二乘法估计回归参数。所得估计量具有最佳线性无偏性。上式中的 β1 . βk 就是原模型（1.19）中的 β1 . βk，而 β0* 与模型（1.19）中的 β0 有如下关系， β0* = β0 (1 - ρ), β0 = β0* / (1 - ρ) (1.27) 注意： （1）对（1.19）式进行 OLS 估计得到的β0, β1, . , β k的估计量称作普通最小二乘估计 量；对（1.26）式进行 OLS 估计得到的β0, β1, , . , β k的估计量称作广义最小二乘估计量。 8