700300=7000105940-70236)=24993 丙的受益相当于七千份递延二十年的标准永久期末年 金,现值为: 70000107 20|.07 )=7000-10.5940)=25842 0.07 结论:从而从现值的角度看,甲乙丙的受益比例近似 为:49%、25%和26% 注○因为1000002=25842,所以丙相当于在 二十年后完全继承了十万元。 北京大学金融数学系 利息理论应用 第2章-26
北京大学金融数学系 利息理论应用 第2章 — 26 20 | .07 10 | .07 7000(a a - =) 7000( 10.5940-7.0236 ) = 24993 丙的受益相当于七千份递延二十年的标准永久期末年 金 现值为 | .07 20 | .07 1 7000( ) 7000( -10.5940 ) = 25842 0.07 a a ¥ - = 结论 从而从现值的角度看 甲乙丙的受益比例近似 为 49% 25% 和 26% 注C 因为 100000(1.07)-20 = 25842 所以丙相当于在 二十年后完全继承了十万元
剩余付款期不是标准时间单位的计算 问题的提出: 现值为取整的货币量,年金值也为取整的货币量,当 两者不能平衡的时候,如何对零碎的部分进行处理? 例:原始投入500元,年金为100元,年利率3%。 若年金为5年期,则上述年金的现值为45797,与原 始投入不平衡; 若年金为6年期,则上述年金的现值为541.72,与原 始投入也不平衡。 北京大学金融数学系 利息理论应用 第2章-27
北京大学金融数学系 利息理论应用 第2章 — 27 剩余付款期不是标准时间单位的计算 问题的提出 现值为取整的货币量 年金值也为取整的货币量 当 两者不能平衡的时候 如何对零碎的部分进行处理 例 原始投入 500 元 年金为 100 元 年利率 3% 若年金为 5 年期 则上述年金的现值为 457.97 与原 始投入不平衡 若年金为 6 年期 则上述年金的现值为 541.72 与原 始投入也不平衡
☆解决方案一:最后一次付款额度上浮 第5次付款额度由原先的100元上浮为 100+42.03×(1+3%)=48.72 令解决方案二:最后一次付款额度扣减 第6次付款额度由原先的100元扣减为 100-41.72×(1+3%)°=50.18 ☆解决方案三:从模型的内在一致性出发,在时刻 5与时刻6之间再增加一次付款(额度小于100元), 使得所有付款的现值之和恰好等于500元 思考:什么时刻付款额度多少可以达到上述要求? 北京大学金融数学系 利息理论应用 第2章-28
北京大学金融数学系 利息理论应用 第2章 — 28 v解决方案一 最后一次付款额度上浮 第 5 次付款额度由原先的 100 元上浮为 5 100+42.03´ (1+3%) = 48.72 v解决方案二 最后一次付款额度扣减 第 6 次付款额度由原先的 100 元扣减为 6 100-41.72´ (1+3%) = 50.18 v解决方案三 从模型的内在一致性出发 在时刻 5 与时刻 6 之间再增加一次付款 额度小于 100 元 使得所有付款的现值之和恰好等于 500 元 思考 什么时刻付款 额度多少可以达到上述要求
定义:对于任意的t(0≤t≤1),形式上定义下面 的计算: n+t =+m+r(1+-1 n+t 上式右边的第二项表示:在时刻n+t的不足一个货 币单位的年金金额 (1+i)-1 在0时刻的现值 注数学形式上的一致性 北京大学金融数学系 利息理论应用 第2章-29
北京大学金融数学系 利息理论应用 第2章 — 29 定义 对于任意的 t 0 1 £ £t 形式上定义下面 的计算 |i |i 1 (1)1 [ ] n t t n t n t n i a a v i i n + + + - + - = = + 上式右边的第二项表示 在时刻n t + 的不足一个货 币单位的年金金额 (1)1 t i i + - 在 0 时刻的现值 注C 数学形式上的一致性
例:在上例中,设最后一次付款时间为5+t,则由 500=100a =100 5+t|0.03 0.03,=0.9709 可解出 t≈0.5 相应最后一次的付款额度应为 1004+0031249.63 0.03 北京大学金融数学系 利息理论应用 第2章-30
北京大学金融数学系 利息理论应用 第2章 — 30 例 在上例中 设最后一次付款时间为 5+t 则由 5 5 |0.03 1 500 100 100 , 0.9709 0.03 t t a v n + + - = = = 可解出 t » 0.5 相应最后一次的付款额度应为 (1 0.03) 1 100 49.63 0.03 t + - =