華束狮免大学|数学科学学院 School of Mathematical Sciences.East China Normal University 专题选讲 定积分的近似计算 (数值积分) http://math.ecnu.edu.cn/-jypan
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为什么数值积分 为什么数值积分 If)=∫fx)dr 数学方法：Newton--Leibniz公式”f(x)dc=F(b)-F(a) ·但是在许多实际计算问题中 )表达式可能比较复杂，计算困难，如)= 1+x6 (2)Fx)难求！甚至有时不能用初等函数表示，如 f(x)= x,f(x)-ex sinx (3):)表达式未知，只有通过测量或实验得来的数据表 http://math.ecnu.edu.cn/~jypan
http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 2 为什么数值积分 为什么数值积分 数学方法：Newton-Leibniz 公式 ∫ = − b a f (x)dx F(b) F(a) ( ) ( ) d b a If fx x = ∫ 但是在许多实际计算问题中 (3) f (x) 表达式未知，只有通过测量或实验得来的数据表 (2) F(x) 难求！甚至有时不能用初等函数表示，如 sin 2 ( ) , ( ) x x fx fx e x − = = (1) F(x) 表达式可能比较复杂，计算困难，如 6 1 ( ) 1 f x x = +
数值积分非常重要 数值积分是计算数学的基础和核心，很多连续问题都需要通过数值 积分才能转化为离散问题。 口数值积分内容非常复杂，也非常丰富，特别是弱奇异积分，奇异积 分，超奇异积分，或者被积函数是急剧震荡或急剧衰减的。 口对于高维积分，由于维数效应，计算复杂度往往随维数指数增长， 如何高效地计算高维积分，仍然是计算数学的一大难题。 http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 3
http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 3 数值积分非常重要 数值积分是计算数学的基础和核心，很多连续问题都需要通过数值 积分才能转化为离散问题。 数值积分内容非常复杂，也非常丰富，特别是弱奇异积分，奇异积 分，超奇异积分，或者被积函数是急剧震荡或急剧衰减的。 对于高维积分，由于维数效应，计算复杂度往往随维数指数增长， 如何高效地计算高维积分，仍然是计算数学的一大难题
如何近似计算定积分 定积分的定义 ∫心fx)ak=lim ∑fG)Ax,5eK n-→o △x→0 i= △x1 △x2 Axi 1 X=0 2……-1 xn-1 b=xm △r,=x,-x-1,△r=max△c fx)*2f形，Ax (n充分大，△r充分小) 4 http://math.ecnu.edu.cn/~jypan
http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 4 ( ) b a f x dx ∫ 1 [ ,] i ii x x ∈ − ξ 0 x = 1 x 2 x n 1 x − n = x 1 ∆x 2 ∆x i 1 x − i ∆x n ∆x () , i i f x ξ ∆ 0 lim n x →∞ ∆ → i x 1 n i= = ∑ 定积分的定义 如何近似计算定积分 1 () ( ) n b i i a i f x dx f x = ∫ ≈ ξ∆ ∑ （n 充分大，∆x 充分小） 1 , i ii x xx ∆= − − max i i ∆= ∆ x x a b
矩形公式 fxf5,Ax 怎么选取：？不同的选取方法 不同的求积方法 矩 fcx)k≈2fxAe 左矩形公式，左点法 i=l 形 公 ∫fx)≈∑fc,A, 右矩形公式，右点法 式 fww2f(色A→ 中炬形公式，中点法 http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 5
http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 5 矩形公式 怎么选取 𝜉𝜉𝑖𝑖 ？不同的选取方法 不同的求积方法 矩 形 公 式 中矩形公式，中点法 1 () ( ) n b i i a i f x dx f x = ∫ ≈ ξ∆ ∑ 1 1 () ( ) n i i b a i f x dx f x x = ∫ ≈ ∆ ∑ − 1 () ( ) n b i a i i f x xd f x x = ∫ ≈ ∆ ∑ 1 1 2 ( ) i i n b i a i f f x x x dx x = − ≈ ∆ + ∫ ∑ 左矩形公式，左点法 右矩形公式，右点法