口MaXz=400X-100y 口S.t 0.3X-Y+0.03Y2≤10; X≤55;Y≤14; 20 18 0.3X-Y+0.03Y2=10 16 Y=14 A 可行域曲线上的目标值 14 X Z($) 12 33013333 10 402 15640 0.3X B 45 17627 8 50619293 55921193 可行域 4 X55 20 40 60 图8-2废水管理问题的可行域
Max Z＝400X-100Y S.t. 0.3X-Y + 0.03Y 2 ≤10； X≤55； Y≤14； 0.3X-Y≥0, X≥0, Y≥0 0 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6 1 8 2 0 0 2 0 4 0 6 0 X Y=14 X=55 0.3X-Y+0.03Y^2=10 可行域 A B C Y 0.3X-Y=0 可行域曲线上的目标值 X Y Z（$） 33 0 13333 40 2 15640 45 4 17627 50 6 19293 55 9 21193 图 8-2 废水管理问题的可行域
8.2线性规划的概念 口8.2.1线性规划问题 例xz上η闪陀化回咫时,以水处犁为例建立了最优化模型。该 例中,污水处理效率与负荷有关,所以可行域边界线有一段为曲线将例 8-1的问题稍作修改,如果污水处理厂的处理效率与废水处理量无关, 始终为=0.85,其他条件仍相同,该如何进行选择 解:设X:工厂的金属产量(×100kg/d) Y:送往废水处理设施处理的污染物量(×100kg/d); 建立的最优化模型成为: Max z=400X-100y St.0.3Xy+(1-0.85)Y≤10; X≤55; Y<14: 0.3X-y20,X≥0,Y0; 口8.2.2线性规划问题的标准形式
8.2 线性规划的概念 8.2.1 线性规划问题 例8-2 在上节讨论优化问题时,以水处理方案为例建立了最优化模型。该 例中, 污水处理效率与负荷有关,所以可行域边界线有一段为曲线.将例 8-1的问题稍作修改, 如果污水处理厂的处理效率与废水处理量无关， 始终为η=0.85，其他条件仍相同，该如何进行选择。 解：设X: 工厂的金属产量 (×100 kg/d)； Y: 送往废水处理设施处理的污染物量 (×100 kg/d)； 建立的最优化模型成为： Max Z＝ 400X-100Y S.t. 0.3X－Y +(1-0.85）Y ≤10； X≤55； Y≤14； 0.3X-Y≥0, X≥0, Y≥0； 8.2.2 线性规划问题的标准形式
例8-3农药管理问题。 口一个容积为100000m3的湖泊,湖水的平均停留时间为6个月,周围 有1000ha农田,农作物上施加的一部分农药会流失到湖中,并危害 l吃鱼的环俣泓门相知谙加何理农田才不致对鹰造成危害, 生物学的硏究证明湖水中的农药在食物链中被富集,并按几何级数增 长设湖水中的农药浓度为C1(ppm),湖水中的藻类中的农药浓 度为C2(ppm),食藻鱼体内浓度为C3(ppm),食鱼的鹰体内浓度为 C4(ppm),鹰的最大耐药浓度为100pm。在1000ha农田上种植 两种农作物,它们具有不同的收益和农药施加量具体数据如下 农药施加量农药流失率 作物收入作物费用 作物 (kg/ha) % S/ha S/ha 「蔬菜 300 1160 粮食 2.5 20 1150 50 口Maxz=140X1+100X2 目S.t.0.9X1+0.5X2≤632.5 口Ⅹ1+X2≤1000 口X1X2≥0
例8-3农药管理问题。 一个容积为 100000m3的湖泊,湖水的平均停留时间为6个月,周围 有1000ha 农田,农作物上施加的一部分农药会流失到湖中,并危害 到吃鱼的鹰。环保部门想知道如何管理农田才不致对鹰造成危害， 生物学的研究证明湖水中的农药在食物链中被富集,并按几何级数增 长。设湖水中的农药浓度为 C 1 (ppm),湖水中的藻类中的农药浓 度为C 2(ppm),食藻鱼体内浓度为C 3(ppm),食鱼的鹰体内浓度为 C 4(ppm),鹰的最大耐药浓度为100ppm。 在1000ha农田上种植 两种农作物,它们具有不同的收益和农药施加量具体数据如下： Max Z＝140X1+ 100X2 S.t. 0.9X1+ 0.5X2 ≤632.5 X1+ X2 ≤1000 X1,X2≥0 作物 农药施加量 (kg/ha) 农药流失率 % 作物收入 $/ha 作物费用 $/ha 蔬菜 6 15 300 160 粮食 2.5 20 150 50
8.2.2线性规划问题的标准形式 Max(Min)z=C x+c,x,+.+CnXn) St a1X1+a12X2+..+a1nX,≤,=,≥b X1+a22X,+….+a2X.≤,=,≥ (LP n二n a,,+aX,+…+anX,≤,=,2m m22 X1,X…X 2 0 如果将不等式约束条件,全部使用“≤”表示,称为线性规划问题的典则 形式。我们还可以将一般形式转化为线性规划问题的标准形式。线性规划问题的标 准形式可采用如下的矩阵表达式 Maxz=CX其中C=(c1,C2,Cn) aX=B X=(XnX,XnA st X≥0 B=(6 1:02…·:0m 71m2
8.2.2 线性规划问题的标准形式 ( ) ... ) 1 1 2 2 n Xn Max Min Z = c X + c X + + c + + + = + + + = + + + = m m m n n m n n n n a X a X a X b a X a X a X b a X a X a X b LP ... , , ... , , ... , , ( ) 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 ．．．．．．． X1 , X 2 ,..., X n 0 S.t. 如果将不等式约束条件，全部使用“≤”表示，称为线性规划问题的典则 形式。我们还可以将一般形式转化为线性规划问题的标准形式。线性规划问题的标 准形式可采用如下的矩阵表达式： = = 0 . . X AX B CX st MaxZ ( , ,..., ) ( , ,..., ) ( , ,..., ) 1 2 1 2 1 2 T m T n n b b b X X X c c c = = = B X C = m m mn n n a a a a a a a a a ... ... ... ... ... ... ... 1 2 21 22 2 11 12 1 A 其中
8.3图解法解二维线性规划问题 口在线性规划问题中,如果只含有两个变量时,称为二维线性规划问题,就可 以用图解法求解。 口8.3.1可行域和目标线 口线性规划问题图解法过程: 口根据线性规划问题的约束条件,画出约束条件函数线,围出满足全部约束条 件的解的可行域; 口根据线性规划问题的目标函数,对确定的z值(目标值可任意给定),画出 目标函数的投影线。变动z值,确定目标函数增大或减小的方向 口根据线性规划问题目标函数极大化或极小化要求,在线性规划题解的可行 域 移动目标函数投影线,找到平行线与可行域相接的最终边际点,确 定问题的最优解
8.3 图解法解二维线性规划问题 在线性规划问题中，如果只含有两个变量时，称为二维线性规划问题，就可 以用图解法求解。 8.3.1 可行域和目标线 线性规划问题图解法过程： 根据线性规划问题的约束条件，画出约束条件函数线，围出满足全部约束条 件的解的可行域； 根据线性规划问题的目标函数，对确定的 Z 值（目标值可任意给定），画出 目标函数的投影线。变动Z 值，确定目标函数增大或减小的方向； 根据线性规划问题目标函数极大化或极小化要求，在线性规划问题解的可行 域上平行移动目标函数投影线，找到平行线与可行域相接的最终边际点，确 定问题的最优解