数在 下面来看这一极限过程的一些直观性质.由式(4.1.1)及 1951 中心极限定理可得： (1)X(t)服从均值为0，方差为o2t的正态分布 此外，由于随机游动的值在不相重叠的时间区间中的变 化是独立的，所以有 (2){X(t),t≥0}有独立增量 又因为随机游动在任一时间区间中的位置变化的分布只 7/41 依赖于区间的长度，可见 (3){X(t),t≥0}有平稳增量. GoBack FullScreen Close Quit
7/41 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit e°5w˘ò4ÅLßò Ü*5ü.d™(4.1.1)9 •%4Žnåµ (1)X(t)—l˛äè0,ê èσ 2 t©Ÿ. d ßduëÅiƒä3ÿÉUûm´m•C z¥’·ß§±k (2){X(t), t ≥ 0}k’·O˛. qœèëÅiƒ3?òûm´m•†òCz©Ÿê ù6u´m›ßåÑ (3){X(t), t ≥ 0}k²O˛
数传在☑ 下面我们就给出Brown:运动的严格定义， 1951 定义4.1.1随机过程{X(t),t≥0}如果满足： (1)X(0)=0; (2){X(t),t≥0}有平稳独立增量： (3)对每个t>0,X(t)服从正态分布N(0,σ2t) 则称{X(t),t≥O为Brown运动，也称为Vieneri过程. 8/41 常记为{B(t),t≥0或{W(t),t≥0}. 如果o=1,我们称之为标准Brown运动，如果o≠1， 则可考虑{X(t)/o,t≥0}，它是标准Brown运动.故不失一 般性，可以只考虑标准Brown运动的情形 由于这一定义在应用中不是十分方便，我们不加证明地 给出下面的性质作为Brown运动的等价定义，其证明可以 在许多随机过程的著作中找到： GoBack FullScreen Close Quit
8/41 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit e°·Ç“â—Brown$ƒÓǽ¬. ½¬ 4.1.1 ëÅLß{X(t), t ≥ 0}XJ˜vµ (1) X(0) = 0; (2) {X(t), t ≥ 0}k²’·O˛¶ (3) Èzát > 0, X(t)—l©ŸN(0, σ2 t). K°{X(t), t ≥ 0}èBrown$ƒßè°èWienerLß. ~Pè{B(t), t ≥ 0} ½ {W(t), t ≥ 0}. XJσ = 1ß·Ç°ÉèIOBrown$ƒßXJσ 6= 1ß Kåƒ{X(t)/σ, t ≥ 0}ßߥIOBrown$ƒ.ÿîò Ñ5ßå±êƒIOBrown$ƒú/. du˘ò½¬3A^•ÿ¥õ©êBß·Çÿ\y²/ â—e°5üäèBrown$ƒ d½¬ßŸy²å± 3NıëÅLßÕä•È
传有复， 性质7.1.1 Brown运动是具有下述性质的随机过程{B(t),t 2 1951 0}. (1)(正态增量)B(t)-B(s)~N(0,o2(t-s),即B(t) B(s)服从均值为0，方差为σ(t-s)的正态分布.当s=0时， B(t)-B(0)~N(0,σ2t) (2)(独立增量)B(t)-B(s)独立于过程的过去状态B(u),0≤ u≤s. 9/41 (3)(路径的连续性)B(t),t≥0是的连续函数 注：性质7.1.1中我们并没有假定B(0)=0,因此我们 称之为始于x的Brown运动，所以有时为了强调起始点，也 记为{B(t)}.这样，定义4.1.1所指的就是始于0的Brown:运 动{B(t)}.易见， B(t)-x=B(t) (4.1.2) GoBack FullScreen Close Quit
9/41 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit 5ü7.1.1 Brown$ƒ¥‰ke„5üëÅLß{B(t), t ≥ 0}. (1) (O˛)B(t)−B(s) ∼ N(0, σ2 (t−s))ß=B(t)− B(s)—l˛äè0,ê èσ 2 (t − s)©Ÿ. s = 0ûß B(t) − B(0) ∼ N(0, σ2 t). (2) (’·O˛)B(t)−B(s)’·uLßLGB(u), 0 ≤ u ≤ s. (3) (¥ªÎY5)B(t), t ≥ 0 ¥tÎYºÍ. 5µ5ü7.1.1•·Çøvkb½B(0) = 0ßœd·Ç °Éè©uxBrown$ƒß§±kûè rN©:ßè Pè{Bx (t)}.˘ß½¬4.1.1§ç“¥©u0Brown$ ƒ{B0 (t)}. ¥Ñß B x (t) − x = B 0 (t) (4.1.2)
在 (4.1.2)式按照下面的定义？？称为Brown运动的空间齐次 1951 性.此性质也说明，Bx(t)和x+B(t)是相同的，我们只需研 究始于O的Brown:运动就可以了，如不加说明，Brown运 动就是始于0的Brown运动 10/41 GoBack FullScreen Close Quit
10/41 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit (4.1.2)™UÏe°½¬?? °èBrown$ƒòm‡g 5.d5üè`²ßBx (t)⁄x + B0 (t)¥É”ß·ÇêIÔ ƒ©u0 Brown$ƒ“å± ßXÿ\`²ßBrown$ ƒ“¥©u0Brown$ƒ
数有 三、维纳过程的分布 1951 ·维分布：B(t)~N(0,σ2*t); ·增量分布：B(t)-B(s)~N(0,2t-s);设t>s,因B(0)= 0,且B(t)是平稳独立增量过程，故B(t)-B(s)=B(t- s+s)-B(s)与B(t-s)-B(0)=B(t-s)相同分 布N(0,σ2(t-s) 11/41 引理4.1.2维纳过程是正态过程. Proof 设维纳过程{B(t),t≥0的参数是o2,任取n及t1< t2<···<tn, Xk=B(tk)-B(tk-1),to=0,k=1,2,·,n 则Xk~N(0,o2(tk-tk-),且相互独立，有 GoBack B(tk)=X1+X2+·+Xk FullScreen Close Quit
11/41 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit n!ëBLß©Ÿ • ë©ŸµB(t) ∼ N(0, σ2 ∗ t); • O˛©ŸµB(t)−B(s) ∼ N(0, σ2 |t−s|); t > s,œB(0) = 0,ÖB(t)¥²’·O˛Lßß B(t) − B(s) = B(t − s + s) − B(s) Ü B(t − s) − B(0) = B(t − s) É”© ŸN(0, σ2 (t − s)). ⁄n 4.1.2 ëBLߥLß. Proof ëBLß{B(t), t ≥ 0}ÎÍ¥σ 2 , ?n9t1 < t2 < · · · < tn, Xk = B(tk) − B(tk−1), t0 = 0, k = 1, 2, · · · , n K Xk ∼ N(0, σ2 (tk − tk−1)), ÖÉp’·ßk B(tk) = X1 + X2 + · · · + Xk