三.关系的表示方法 枚举法 即将关系中所有序偶一一列举出,写在大括号 内。如前的R2={<1,1><12>,1,3>,<1,4>,2,2> <2,3>,<24>,<3,3>,<3,4>,4,4}。 2.谓词公式法: 即用谓词公式表示序偶的第一元素与第二元素 间的关系。例如 R=x,y>x<y) 3.有向图法: RCAXB,用两组小圆圈(称为结点)分别表示A 和B的元素,当<Xy>∈R时,从x到y引一条有 向弧(边)。这样得到的图形称为R的关系图
三. 关系的表示方法 1. 枚举法: 即将关系中所有序偶一一列举出，写在大括号 内。如前的R2 ={ <1,1>,<1,2>,<1,3>, <1,4>,<2,2>, <2,3>, <2,4>, <3,3>, <3,4>,<4,4>} 。 2.谓词公式法： 即用谓词公式表示序偶的第一元素与第二元素 间的关系。例如 R={<x,y>|x<y} 3.有向图法： RA×B,用两组小圆圈(称为 结点)分别表示A 和B的元素，当<x,y>R时，从x到y引一条有 向弧(边)。这样得到的图形称为R的关系图
如RcA×A,即R是集合A中关系时,可能有 xx>∈R则从x到x画一条有向环(自回路)。 例设A-{1,2,3,4},B={a,b,c},R3A×B, R3{<1,a>,1,C>,2,b>,3,a>,4,C 则R3的关系图如下 A B 2 a 234 b R: 例设A-{1,23,4},R4∈AXA, R={<1,1>,<1,4>,2,3>,3,1>,3,4,41,42} 则R4的关系图如右上图
如RA×A,即R是集合A中关系时,可能有 <x,x>R,则从x到x画一条有向环(自回路)。 例 设A={1,2,3,4},B={a,b,c}，R3 A×B， R3={ <1,a>,<1,c>,<2,b>,<3,a>,<4,c>} 则R3的关系图如下： 例 设A={1,2,3,4}, R4 A×A， R4={ <1,1>,<1,4>,<2,3>,<3,1>,<3,4>,<4,1>,<4,2>} 则R4的关系图如右上图。 1。 2。 3。 4。 。 。 。 A B a b c 1。 。 4。 。 2 3 R4 R : 3 :
4.矩阵表示法 有限集合之间的关系也可以用矩阵来表示,这种表示 法便于用计算机来处理关系。 设A={a1,a2,…,am},B={b1,b2,…,bn}是个有限集 RcA×B,定义R的m×n阶矩阵 R=(r少mxn,其中 1若<ab>∈R 0若<a1,b>R (1≤ism1≤j≤n) R3={<1,a>,<1,C>,2,b>,3,a>,<4,c R4={<1,1>,1,4>,<2,3>,<3,1>,<3,4>,4,1>,<4,2} a b c 1234 101 100 上例中M2=21010 3100 001 1234 0010 100 1100 4×3 4×4
4.矩阵表示法： 有限集合之间的关系也可以用矩阵来表示，这种表示 法便于用计算机来处理关系。 设A={a1 , a2 , , am}，B={b1 , b2 , , bn }是个有限集， RA×B，定义R的m×n阶矩阵 MR=(rij)m×n，其中 rij = R3={ <1,a>,<1,c>,<2,b>,<3,a>,<4,c>} R4={ <1,1>,<1,4>,<2,3>,<3,1>,<3,4>,<4,1>,<4,2>} 上例中 MR = MR4 = 1 若<ai ,bj>∈R 0 若<ai ,bj>∈R (1≤i≤m,1≤j≤n) 3 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 4×3 1 2 3 4 a b c 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 4×4 1 2 3 4 1 2 3 4
四.三个特殊关系 1空关系Φ: 因为∈AXB,(或重∈A×A),所以Φ也 是一个从A到B(或A上)的关系,称之为空 关系。即无任何元素的关系,它的关系图 中只有结点无任何边;它的矩阵中全是0。 2完全关系(全域关系): A×B(或A×A本身也是一个从A到B(或 A上)的关系,称之为完全关系。即含有全 部序偶的关系。它的矩阵中全是1
四.三个特殊关系 1.空关系Φ： 因为ΦA×B，(或ΦA×A)，所以Φ也 是一个从A到B(或A上)的关系，称之为空 关系。即无任何元素的关系，它的关系图 中只有结点,无任何边；它的矩阵中全是0。 2.完全关系(全域关系) ： A×B(或A×A)本身也是一个从A到B(或 A上) 的关系，称之为完全关系。即含有全 部序偶的关系。它的矩阵中全是1
3.A上的恒等关系IA IAcA×A,且IA={<xx>x∈A}称之为A 上的恒等关系 例如A={12,3}则={1,1><2,2>3,3>} A上的Φ、完全关系及Ⅰ的关系图及矩阵如 2 A×A 000 100 000 A×A 010 000 IA 00 3×3 3×3 3×3
3. A上的恒等关系IA： IAA×A，且IA ={<x,x>|x∈A}称之为A 上的恒等关系。 例如A={1,2,3}, 则IA ={<1,1>,<2,2>,<3,3>} A上的Φ、完全关系及IA的关系图及矩阵如 下： MIA = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 3×3 1。 2。。3 1。 2。 。3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3×3 1。 2。 。3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3×3 MΦ = MA×A = Φ A×A IA