6.3函数依赖的公理系统为了以下目的，需要建立函数依赖的推理系统(1)求关系模式的候选码(2)判断关系模式的范式级别(3)给定一组函数依赖，需要导出另外一些函数依赖，或判断另外的函数依赖是否成立。例如 FD={A → B，B → C}， 判断 A → C是否成立?■本节内容：1.逻辑蕴涵；2.Armstrong函数依赖公理系统：3.函数依赖集的闭包；4.属性集闭包；5.函数依赖集的等价和覆盖：6.最小函数依赖集。6
6 6.3 函数依赖的公理系统 为了以下目的，需要建立函数依赖的推理系统: (1) 求关系模式的候选码 (2) 判断关系模式的范式级别 (3) 给定一组函数依赖，需要导出另外一些函数依赖， 或判断另外的函数依赖是否成立。 例如 FD={A B，B C}，判断 A C是否成立？ 本节内容: 1. 逻辑蕴涵； 2. Armstrong函数依赖公理系统； 3. 函数依赖集的闭包； 4. 属性集闭包； 5. 函数依赖集的等价和覆盖； 6. 最小函数依赖集
逻辑蕴涵（参见P190定义6.11关系模式R<U.F>，F是其函数依赖集，X、Y是U的属性子集，r是R的任何一个关系，如果从F的函数依赖能够推出X一Y，则称F逻辑蕴涵XY，记作FX>Y。示例：R<U, F>, U={X, Y}, F= (X-→>Y}则F逻辑蕴涵以下函数依赖：X-x, X->Y,Y-→Y,XY-X, XY-Y, XY-XY
7 逻辑蕴涵(参见P190.) 定义6.11 关系模式R<U, F>，F是其函数依 赖集，X、Y是U的属性子集，r是R的任何一个 关系，如果从F的函数依赖能够推出XY，则 称 F逻辑蕴涵 XY，记作F├ XY 。 示例: R<U, F>, U={X, Y}, F = {XY} 则 F逻辑蕴涵以下函数依赖: XX， XY， YY, XYX，XYY，XYXY
函数依赖集的闭包F+（参见P191.定义6.12在关系模式R<U，F>中，被F所逻辑蕴涵的函数依赖的全体所构成的集合称作F的闭包，记作 F+ =X→YIFX→Y■显然，FCF+。■F+的计算很麻烦，F不大，其F+也可能很大。例如：设 R<U, F>, U={X, Y, Z}, F = {X-→Y, Y-→>Z)F+=(X->X, X->Y, X-→Z,Y-Y, Y-→>Z, Z →>Z.Xy-x, xy-y, xy-xy, xz-x, ......8
8 函数依赖集的闭包F + (参见P191.) 定义6.12 在关系模式R<U，F>中，被F所 逻辑蕴涵的函数依赖的全体所构成的集合称 作F的闭包，记作 F+ = {XY | F├ XY} 显然，F F+ 。 F+的计算很麻烦，F不大，其F+也可能很大。 例如： 设 R<U, F>, U={X, Y, Z}, F = {XY, YZ} F+ = { XX， XY，X Z, YY, YZ, Z Z, XYX，XYY，XYXY, XZ→X, .}
Armstrong公理系统（参见P190.）函数依赖公理系统由Armstrong于1974年首先提出。设关系模式 R<U.F>，U为属性全集，F是U上的一组函数依赖，X、Y、Z是U的属性子集，对R有以下推理规则:A1 自反律(reflexivity)：若 Y _X，则 X→Y。A2 增广律(augmentation):若X→Y，则XZ→YZ。A3传递律(transitivity)：若XY，YZ,则XZ。注意：由自反律所得到的函数依赖是平凡的，自反律的使用并不依赖于函数依赖集F
Armstrong公理系统(参见P190.) 函数依赖公理系统由Armstrong于1974年首先提出。 设关系模式 R<U, F>，U为属性全集，F是U上的一组 函数依赖，X、Y、Z是U的属性子集，对R有以下推 理规则： A1 自反律(reflexivity)：若 Y X, 则 X Y。 A2 增广律(augmentation)： 若 X Y ，则 XZ YZ。 A3 传递律(transitivity)： 若 X Y，Y Z，则 X Z 。 注意: 由自反律所得到的函数依赖是平凡的, 自反律的 使用并不依赖于函数依赖集F
A公理系统的正确性和完备性Armstrong公理的正确性(即有效性)及完备性。■正确性：用Armstrong公理从F中导出的函数依赖必为F所蕴涵。■完备性：为F所蕴涵的函数依赖都能用Armstrong公理从F中导出。公理的正确性保证由F出发根据公理推导出的每一个函数依赖一定在F+中。公理的完备性保证用公理能推出所有的函数依赖，即F+中的所有函数依赖都能由F出发用公理推导出来。这个问题很重要，因为，如果F+中居然有一个函数依赖不能用公理推导出来，那么，这些公理就不够用，就不完备，还必须补充新的公理。10
10 A公理系统的正确性和完备性 Armstrong公理的正确性(即有效性)及完备性。 正确性：用Armstrong公理从F中导出的函数依赖 必为F所蕴涵。 完备性：为F所蕴涵的函数依赖都能用Armstrong 公理从F中导出。 公理的正确性保证由F出发根据公理推导出的每一个 函数依赖一定在F+中。 公理的完备性保证用公理能推出所有的函数依赖, 即 F+中的所有函数依赖都能由F出发用公理推导出来。 这个问题很重要, 因为, 如果F+中居然有一个函数依 赖不能用公理推导出来, 那么, 这些公理就不够用, 就 不完备, 还必须补充新的公理