1.3 概率及概率模型 1.有限样本空间上的概率 我们想要表示一个事件有多大可能发生，为此，我们给每个事件赋予一个概率。给事件赋概 一般来说并不简单。既然每个事件都要赋予一个概率，我们就称其为概率函数。其应该有如下两 个性质 定义1.3.1.一个有限样本空间2上的概率函数P,赋予2中每个事件A一个0和1之 间的数值P(A),并使得 (1)P(2)=1: (2)若A,B不相容，则P(AUB)=P(A)+P(B) 则P(A)称为是事件A发生的概率。 (1)说明了试验的结果总是样本空间的一个元素。(2)是概率函数的可加性。 例1.31.比如两个人抛硬币公平的决定谁来洗碗，则这种公平性应该转换为正面和反面出现的可 能性均等。从而我们赋予正面和反面出现的概率均为1/2.如果考虑到现实中没有绝对质地均匀的 硬币，比如我们也可以赋予正面出现的概率为0.5001，反面出现的概率为0.4999. 例1.3.2.抛硬币的试验 试验者 掷硬币的次数 正面出现的次数 频率 蒲丰 4040 2048 .5069 皮尔逊 12000 6019 .5016 皮尔逊 24000 12012 .5005 从这个例子可以看出随着试验次数的增加，频率越来越接近1/2， 2.无限的样本空间上的概率比如我们重复的投掷一枚硬币直至出现第一个正面，试验 的结果是直至第一次出现正面时的投掷次数，则样本空间2={1,2，….此试验的概率函 数应该是什么呢？假设此枚硬币正面出现的可能性为p(OP1),则反面为1-p。我们需要 决定P(n)。显然P(1)=p,事件{2}表示{T,H,概率为P(2)=(1-p)p.类似的，我们可以得 到P(n)=(1-p)n-1p,n=1,2,… 那么这样就定义了2={1,2,3，…}上的概率函数了吗？按照以前的定义，应该满足P(2)= 1.但是这个并不容易直接得到：由于样本空间不再是有限的，我们需要修改为如下定义
1.3 V«9V« . 1. kÅ òm˛V« ·ÇéáL´òáØákıååUu)ßèdß·ÇâzáØáDÉòáV«"âØáDV òÑ5`øÿ{¸"Q,záØá—áDÉòáV«ß·Ç“°ŸèV«ºÍ"ŸATkXe¸ á5ü ½¬ 1.3.1. òákÅ òmΩ˛V«ºÍPßDÉΩ•záØáAòá0⁄1É mÍäP(A)ßø¶ (1) P(Ω) = 1¶ (2) eA, BÿÉNßKP(A S B) = P(A) + P(B). KP(A)°è¥ØáAu)V«" (1) `² £(Jo¥ òmòáÉ"(2) ¥V«ºÍå\5" ~1.3.1. 'X¸á<M1˙²˚½X5WßK˘´˙²5AT=Üè°⁄á°—yå U5˛ "l ·ÇDÉ°⁄á°—yV«˛è1/2. XJƒy¢•vk˝Èü/˛! M1ß'X·Çèå±DÉ°—yV«è0.5001ßá°—yV«è0.4999. ~1.3.2. M1£ £ˆ ïM1gÍ °—ygÍ ™« Æ¥ 4040 2048 .5069 ô÷ 12000 6019 .5016 ô÷ 24000 12012 .5005 l˘á~få±w—ëX£gÍO\ß™«5C1/2. 2. ÃÅ òm˛V« 'X·ÇE›ïòqM1Üñ—y1òá°ß£ (J¥Üñ1òg—y°û›ïgÍßK òmΩ = {1, 2, · · · }. d£V«º ÍAT¥üoQºbdqM1°—yåU5èp (0¡p¡1)ßKá°è1 − p"·ÇIá ˚½P(n)"w,P(1) = pßØá{2}L´{T, H}, V«èP(2) = (1 − p)p.aqß·Çå± P(n) = (1 − p) n−1p, n = 1, 2, · · · @o˘“½¬ Ω = {1, 2, 3, · · · }˛V«ºÍ ̺Uϱc½¬ßAT˜vP(Ω) = 1. ¥˘áøÿN¥Üµdu òmÿ2¥kÅß·ÇIá?UèXe½¬ 4
1.(非负性)对任意事件A,P(A)≥0. 2.(可加性)若A,B为两个互斥事件，则 P(A+B)=P(A)+P(B). 更进一步，若A1,…,A,…为一列两两互斥的事件列，则 P空=空P n=1 3.(规范性)P(2)=1. 现在我们就有 P(2)=P({1,2,3,…})=P(1)+P(2)+P(3)+… =p+(1-p)p+(1-p)2p+…=1. 一般并不把2的一切子集都作为事件，因为这样将对给定概率带来困难，比如若把不可测集 也作为事件，将带来不可克服的困难。另一方面，又必须把感兴趣的事件都包括进来。因此我们 引入如下定义的集合类F,可以解决这些问题： 定义1.3.2（σ代数）.样本空间2上的集合类F称为2上的事件σ代数，如果 1.2∈F; 2.若A∈F,则A∈F; 3.若An∈F,n=1,2,则定A∈F n1 这样的F既包括了我们感兴趣的事件，又把不可测集排除在外。 定义1.3.3.定义于集合之上的取值为实值的函数称为集函数. 定义1.3.4.定义在事件σ域F之上的集函数P称为概率，若它满足概率的公理化体系. 定义1.3.5.称三元组(2，F,P)为概率空间. 由概率的公理化体系，可以得到有关概率的一些性质 1.P()=0 5
1. (öK5) È?øØáAßP(A) ≥ 0. 2. (å\5) eA, Bè¸áp½ØáßK P(A + B) = P(A) + P(B). ç?ò⁄ßeA1, · · · , An, · · · èò¸¸p½ØáßK P( X∞ n=1 An) = X∞ n=1 P(An). 3. (5â5) P(Ω) = 1. y3·Ç“k P(Ω) = P({1, 2, 3, · · · }) = P(1) + P(2) + P(3) + · · · = p + (1 − p)p + (1 − p) 2 p + · · · = 1. òÑøÿrΩòÉf8—äèØáßœè˘ÚÈâ½V«ë5(Jß'Xerÿåˇ8 èäèØáßÚë5ÿåé—(J",òê°ßq7Lra,Øá—ù)?5"œd·Ç ⁄\Xe½¬8‹aFßå±)˚˘ ØKµ ½¬ 1.3.2 (σìÍ). òmΩ˛8‹aF°èΩ˛ØáσìÍßXJ 1. Ω ∈ F; 2. eA ∈ FßKA¯ ∈ F; 3. eAn ∈ F, n = 1, 2, · · ·ßK P∞ n=1 An ∈ F. ˘FQù) ·Ça,Øáßqrÿåˇ8¸ÿ3 " ½¬ 1.3.3. ½¬u8‹É˛äè¢äºÍ°è8ºÍ. ½¬ 1.3.4. ½¬3ØáσçFɲ8ºÍP°èV«ßeߘvV«˙nzNX. ½¬ 1.3.5. °n|(Ω, F, P)èV«òm. dV«˙nzNXßå±k'V«ò 5ü. 1. P(φ) = 0 5
2.(有限可加性)若Ak∈F,k=1,·,n且两两互斥，则 P∑A)=∑PA) k=1 3.(可减性)若A,B∈F且ACB,则P(B-A)=P(B)-P(A) 4.(单调性)若A,B∈F且ACB,则P(A)≤P(B) 5.P(A=1-P(A) 6.(加法定理)对任意的事件A1,·,An∈F,有 Pg4=空Pa-nPAA)+Pa4Ad 1≤i<j≤n 1≤i<j<k≤n -.+(-1)m-1P(A1A2An) 7饮可加陶)对在盒的事作…，4。…e万有P(宫A)≤含P 8.(下连续性)若An∈F且An C An-+1,n=1,2,·,则 P(∑An)=limP(An) n=1 9.(上连续性)若An∈F且An)An+1,n=1,2,…,则 ● P(ΠAn)=limP(Am) n=1 例1.3.3.求证对任意n个事件A1,…,An有 PⅡA)≥∑PA)-n+1 k=1 概率模型是对随机现象的一种数学描述。它由试验的样本空间和赋予这个样本空间上的概率 构成。概率相当于是从样本空间到实数空间的一个映射，如下图所示： 概率模型的构成： ·样本空间2： ·概率法则，对每一个可能的结果集A赋予一个非负数P(A)(称为A的概率)，表示 事件A发生的可能性大小
2. (kÅå\5) eAk ∈ F, k = 1, · · · , nÖ¸¸p½ßK P( Xn k=1 Ak) = Xn k=1 P(Ak) 3. (å~5) eA, B ∈ FÖA ⊂ BßKP(B − A) = P(B) − P(A). 4. (¸N5) eA, B ∈ FÖA ⊂ BßKP(A) ≤ P(B). 5. P(A¯) = 1 − P(A) 6. (\{½n) È?øØáA1, · · · , An ∈ Fßk P( Xn k=1 Ak) = Xn k=1 P(Ak) − Xn 1≤i<j≤n P(AiAj ) + Xn 1≤i<j<k≤n P(AiAjAk) − · · · + (−1)n−1P(A1A2 · · · An) 7. (gå\5) È?øØáA1, · · · , An, · · · ∈ FßkP( P∞ n=1 An) ≤ P∞ n=1 P(An). 8. (eÎY5) eAn ∈ FÖAn ⊂ An+1, n = 1, 2, · · · ,K P( X∞ n=1 An) = limn P(An) 9. (˛ÎY5) eAn ∈ FÖAn ⊃ An+1, n = 1, 2, · · · ,K P( Y∞ n=1 An) = limn P(An) ~1.3.3. ¶yÈ?ønáØáA1, · · · , Ank P( Yn k=1 Ak) ≥ Xn k=1 P(Ak) − n + 1 V« .¥ÈëÅyñò´ÍÆ£„"ßd£ òm⁄Dɢá òm˛V« §"V«Éu¥l òm¢ÍòmòáNßXe„§´: V« .§µ • òmΩ; • V«{K, ÈzòáåU(J8ADÉòáöKÍP(A)(°èAV«), L´ ØáAu)åU5å" 6
Probability Law Event B P(B) Experiment P(A) Event A Sample Space (Set of Outcomes】 Events 图1.1：概率映射关系 1.4古典概型 定义1.4.1.若随机试验满足如下条件 1.样本空间只含有有限个样本点，不妨记={w1,…,w}。 2.各样本点出现的可能性相等（机会均等，即对每个i=1,·,n,有 Pra》=月 则称此随机试验为古典型的。此时对每一个事件AC2,易知有 P(A)= IAI number of elements of A 21 number of elements of 在计算古典概型时，经常要碰到计数问题。因此有必要回顾一下计数原理。 计数原理 乘法原理假定进行过程I有1中方式，而对于过程I的每一个方式，进行过程II都有2种方式。那 么，依次进行过程I与IⅡ共有n12种方式。 加法原理假定进行过程I有n1中方式，进行过程II有2种方式。那么，进行过程I或I共有n1+ n2种方式。 排列组合
„ 1.1: V«N'X 1.4 ;V. ½¬ 1.4.1. eëÅ£˜vXe^á 1. òmê¹kkÅá :ßÿîPΩ = {ω1, · · · , ωn}. 2. à :—yåU5É (Ũ˛ )ß=Èzái = 1, · · · , nßk P({ωi}) = 1 n K°dëÅ£è;."dûÈzòáØáA ⊂ Ωߥk P(A) = |A| |Ω| = number of elements of A number of elements of Ω . 3Oé;V.ûß²~á-OÍØK"œdk7á£òeOÍn" OÍn ¶{n b½?1LßIkn1•ê™ß ÈuLßIzòáê™ß?1LßII—kn2´ê™"@ oßùg?1LßIÜIIkn1n2´ê™" \{n b½?1LßIkn1•ê™ß?1LßIIkn2´ê™"@oß?1LßI½IIkn1 + n2´ê™" ¸|‹ 7