免费下载网址http://jiaoxue5u.ys168.com/ 第15章《一次函数》复习教案 同学们已经知道了一次函数是研究函数的入门知识,也是今后学习其它函数的基础.为 了使大家能牢固地掌握一次函数的性质与简单应用,现从以下几个方面帮助同学们搞好一次 函数重点知识的回顾 、要点解读 1,知识总揽 一次函数是函数大家族中的主要成员之一,是研究两个变量和学习其它函数的基础,它 的表达式简单,性质也不复杂,但在我们的日常生活中的应用却十分广泛,与其它函数的联 系也十分密切,许多实际问题只要我们注意细心观察,认真分析,及时将问题转化为一次函 数模型,再得用一次函数的性质即可求解 ,疑点、易错点 (1)若两个变量x、y间的关系式可以表示成y=kx+b(k≠0),则称y是x的一次函数特 别地,当b=0时,称y是x的正比例函数,就是说,正比例函数是一次函数的特例,而 次函数包含正比例函数,是正比例函数一定是一次函数,但一次函数不一定是正比例函数如 =-x是正比例函数,也是一次函数,而y=-2x-3是一次函数,但并不是正比例函数.因 此,同学们在复习时一定要注意正确理解正比例函数和一次函数的概念,注意掌握它们之间 的区别和联系. (2)一次函数的图象是一条直线,它所经过的象限是由k与b决定的,所以在复习巩 固一次函数的性质时可以通过函数图象来巩固,从而可以避免因k与b的符号的干扰.如 在如图中,表示一次函数y=mx+n与正比例函数y=mx(m、n是常数且m≠0)图象是() y A B 对于两不同函数图象共存同一坐标系问题,常假设某一图象正确而后根据字母系数所表 示的实际意义来判定另一图象是否正确来解决问题.例如,假设选项B中的直线y=mx+n 正确则m<0,n>0,m<0则正比例函数y=mx则应过第二、四象限,而实际图象则过第 、三象限,所以选项B错误.同理可得A正确.故应选A 解压密码联系qq119139686加徽信公众号 JIaoxuewuyou九折优惠l淘宝网 址 Jlaoxuesu. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网 址：jiaoxue5u.taobao.com 第 15 章《一次函数》复习教案 同学们已经知道了一次函数是研究函数的入门知识，也是今后学习其它函数的基础．为 了使大家能牢固地掌握一次函数的性质与简单应用，现从以下几个方面帮助同学们搞好一次 函数重点知识的回顾． 一、要点解读 1，知识总揽 一次函数是函数大家族中的主要成员之一，是研究两个变量和学习其它函数的基础，它 的表达式简单，性质也不复杂，但在我们的日常生活中的应用却十分广泛，与其它函数的联 系也十分密切，许多实际问题只要我们注意细心观察，认真分析，及时将问题转化为一次函 数模型，再得用一次函数的性质即可求解． 2，疑点、易错点 （1）若两个变量 x、y 间的关系式可以表示成 y＝kx+b(k≠0)，则称 y 是 x 的一次函数．特 别地，当 b＝0 时，称 y 是 x 的正比例函数，就是说，正比例函数是一次函数的特例，而一 次函数包含正比例函数，是正比例函数一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数．如 y＝－x 是正比例函数，也是一次函数，而 y＝－2x－3 是一次函数，但并不是正比例函数．因 此，同学们在复习时一定要注意正确理解正比例函数和一次函数的概念，注意掌握它们之间 的区别和联系． （2）一次函数的图象是一条直线，它所经过的象限是由 k 与 b 决定的，所以在复习巩 固一次函数的性质时可以通过函数图象来巩固，从而可以避免因 k 与 b 的符号的干扰．如， 在如图中，表示一次函数 y＝mx+n 与正比例函数 y＝mnx(m、n 是常数且 mn≠0)图象是（ ） 对于两不同函数图象共存同一坐标系问题，常假设某一图象正确而后根据字母系数所表 示的实际意义来判定另一图象是否正确来解决问题．例如，假设选项 B 中的直线 y＝mx+n 正确则 m＜0，n＞0，mn＜0 则正比例函数 y＝mnx 则应过第二、四象限，而实际图象则过第 一、三象限，所以选项 B 错误．同理可得 A 正确．故应选 A． O x y A O x y B O x y C O x y D
免费下载网址http://jiaoxue5u.ys168.com/ (3)虽然一次函数的表达式简单,性质也并不复杂,且一次函数y=kxb(k≠0)的图 象是一条直线,它的位置由k、b的符号确定.但是,涉及实际问题的一次函数图象与自变 量的取值范围,画出来的图象不一定是直线,可能是线段或其他图形,这一点既是学习一次 函数的疑点,也是难点,更是解题量的易错点.如,拖拉机开始工作时,油箱中有油4OL, 如果每小时耗油5L,那么工作时,油箱中的余油量Q(L)与工作时间t(h)的函数关系用图象 可表示为() 依题意可以得到油箱中的余油量Q①L)与工作时间t(h)的函数关系为Q=40-5t,就这 个一次函数的解析式而言,它的图象是一条直线,所以不少同学就会选择A,而事实上,自 变量t有一个取值范围,即0≤t≤8,所以正确的答案应该选择C. 、思想方法 复习一次函数这一章的知识一定注意数学思想方法的巩固.具体地说,一次函数的知识 涉及常见的思想方法有: (1)函数思想 所谓的函数思想就是用一个表达式将两个变量表示出来其两个变量之间是一个对应的 关系.确定两个变量之间的关系和列一元一次方程解应用题基本相似,即弄清题意和题目中 的数量关系,找到能够表示应用题全部含义的一个相等的关系,根据这个相等的数量关系式, 列出所需的代数式,从而列出两个变量之间的关系式 例1长方形的长是20,宽是x,周长是y.写出x和y之间的关系式 简析(1)由长方形的周长公式,得y=2(x+20)=2x+40 说明在依据题意写出两个变量之间的关系式时,会经常用到以前学到的各种公式,所 以对以前常用的公式我们要熟练掌握,分析每一个公式的结构特征,做到运用自如,方可避 免常见错误 (2)数形结合思想 数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系,既分析其代数含义,又揭示 其几何意义,使问题的数量关系巧妙、和谐地结合起来,通过数与形的相互转化来解决数学 解压密码联系qq119139686加徽信公众号 JIaoxuewuyou九折优惠l淘宝网 址 Jlaoxuesu. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网 址：jiaoxue5u.taobao.com （3）虽然一次函数的表达式简单，性质也并不复杂，且一次函数 y＝kx+b(k≠0)的图 象是一条直线，它的位置由 k、b 的符号确定．但是，涉及实际问题的一次函数图象与自变 量的取值范围，画出来的图象不一定是直线，可能是线段或其他图形，这一点既是学习一次 函数的疑点，也是难点，更是解题量的易错点．如，拖拉机开始工作时，油箱中有油 40L， 如果每小时耗油 5L，那么工作时，油箱中的余油量 Q(L)与工作时间 t(h)的函数关系用图象 可表示为（ ） 依题意可以得到油箱中的余油量 Q(L)与工作时间 t(h)的函数关系为 Q＝40－5t，就这 个一次函数的解析式而言，它的图象是一条直线，所以不少同学就会选择 A，而事实上，自 变量 t 有一个取值范围，即 0≤t≤8，所以正确的答案应该选择 C． 二、思想方法 复习一次函数这一章的知识一定注意数学思想方法的巩固．具体地说，一次函数的知识 涉及常见的思想方法有： （1）函数思想 所谓的函数思想就是用一个表达式将两个变量表示出来其两个变量之间是一个对应的 关系．确定两个变量之间的关系和列一元一次方程解应用题基本相似，即弄清题意和题目中 的数量关系，找到能够表示应用题全部含义的一个相等的关系，根据这个相等的数量关系式， 列出所需的代数式，从而列出两个变量之间的关系式． 例 1 长方形的长是 20，宽是 x，周长是 y．写出 x 和 y 之间的关系式． 简析 （1）由长方形的周长公式，得 y＝2(x＋20)＝2x+40； 说明 在依据题意写出两个变量之间的关系式时，会经常用到以前学到的各种公式，所 以对以前常用的公式我们要熟练掌握，分析每一个公式的结构特征，做到运用自如，方可避 免常见错误． （2）数形结合思想 数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示 其几何意义，使问题的数量关系巧妙、和谐地结合起来，通过数与形的相互转化来解决数学 40 8 O t Q B 40 8 O t Q A 40 8 O t Q D 40 8 O t Q C
免费下载网址http://jiaoxue5u.ys168.com/ 问题的思想. 例2某博物馆每周都吸引大量中外游客前来参观.如果游客过多,对馆中的珍贵文物 会产生不利影响.但同时考虑到文物的修缮和保存等费用问题,还要保证一定的门票收入.因 此,博物馆采取了涨浮门票价格的方法来控制参观人数.在该方法实施过程中发现:每周参 观人数与票价之间存在着如图2所示的一次函数关系.在这样的情况下,如果确保每丿 万元的门票收入,那么每周应限定参观人数是多少?门票价格应是多少元?w数4 解设每周参观人数与票价之间的一次函数关系式为y=kx+b 由题意,得{0k+b=700 k=-500 有15+b=450付b=100 所以y=-500x+12000 图2 而根据题意,得x=40000,即x(-500x+12000=40000,x2-24x+80=0, 所以方程变形为(x-12)2=64,两边开平方求得x=20,x2=4 把x=20,x2=4分别代入y=-500x+12000中得y=2000,n=10000 因为控制参观人数,所以取x=20,y=2000. 即每周应限制参观人数是2000人,门票价格应是20元 说明本题中得到方程x2-24x+80=0,虽然没有学过不会解,但通过适当变形还是可 以求解的 (3)待定系数法 待定系数法是确定代数式中某项系数的数学方法,它是方程思想的具体运用 例3为了学生的身体健康,学校课桌、凳的高度都是按一定的关系科学设计的.小明 对学校所添置的一批课桌、凳进行观察研究,发现它们可以根据人的身长调节高度.于是, 他测量了一套课桌、凳上相对应的四档高度,得到如下数据: 第一档第二档第三档第四档 凳高x(cm)37.0 40.0 45.0 桌高y(cm) 70.074.8 (1)小明经过对数据探究,发现:桌高y是凳高x的一次函数,请你求出这个一次函 数的关系式(不要求写出x的取值范围); (2)小明回家后,测量了家里的写字台和凳子,写字台的高度为77cm,凳子的高度为 解压密码联系qq119139686加徽信公众号 JIaoxuewuyou九折优惠l淘宝网 址 Jlaoxuesu. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网 址：jiaoxue5u.taobao.com 问题的思想． 例 2 某博物馆每周都吸引大量中外游客前来参观．如果游客过多，对馆中的珍贵文物 会产生不利影响．但同时考虑到文物的修缮和保存等费用问题，还要保证一定的门票收入．因 此,博物馆采取了涨浮门票价格的方法来控制参观人数．在该方法实施过程中发现：每周参 观人数与票价之间存在着如图 2 所示的一次函数关系．在这样的情况下，如果确保每周 4 万元的门票收入，那么每周应限定参观人数是多少?门票价格应是多少元? 解 设每周参观人数与票价之间的一次函数关系式为 y＝kx+b． 由题意，得 10 7000, 15 4500. k b k b + = + = 解得 500, 12000. k b = − = 所以 y＝－500x+12 000． 而根据题意，得 xy＝40 000，即 x(－500x+12 000)＝40 000，x 2－24x+80＝0， 所以方程变形为(x－12)2＝64，两边开平方求得 x1＝20，x2＝4． 把 x1＝20，x2＝4 分别代入 y＝－500x+12 000 中得 y1＝2 000，y2＝10 000． 因为控制参观人数，所以取 x＝20，y＝2 000． 即每周应限制参观人数是 2 000 人，门票价格应是 20 元． 说明 本题中得到方程 x 2－24x+80＝0，虽然没有学过不会解，但通过适当变形还是可 以求解的． （3）待定系数法 待定系数法是确定代数式中某项系数的数学方法．它是方程思想的具体运用． 例 3 为了学生的身体健康，学校课桌、凳的高度都是按一定的关系科学设计的．小明 对学校所添置的一批课桌、凳进行观察研究，发现它们可以根据人的身长调节高度．于是， 他测量了一套课桌、凳上相对应的四档高度，得到如下数据： 第一档 第二档 第三档 第四档 凳高 x(cm) 37．0 40．0 42．0 45．0 桌高 y(cm) 70．0 74．8 78．0 82．8 （1）小明经过对数据探究，发现：桌高 y 是凳高 x 的一次函数，请你求出这个一次函 数的关系式(不要求写出 x 的取值范围)； （2）小明回家后，测量了家里的写字台和凳子，写字台的高度为 77cm，凳子的高度为 票价 人数(人) 1000 2000 4000 3000 5000 7000 6000 5 10 15 20 O 图 2
免费下载网址http://jiaoxue5u.ys168.com/ 43.5cm,请你判断它们是否配套,说明理由 解(1)设y=kxb(k≠0),依题意得 37k+b=70, 解得 40k+b=748 b=10.8 所以这个一次函数的关系式y=1.6x+10.8 (2)当小明家写字台的高度y=77cm时,由(1)中的一次函数的关系式y=1.6x+10.8 得77=1.6x10.8,解得x=41.375<凳子的高度43.5cm,所以小明家的写字台和凳子 的高度是不配套的 说明对于(2)中的问题也可以利用凳子的高度x,求出写字台的高度J,再与77cm 比较.由此,用待定系数法求一次函数的解析式的方法可归纳为:“一设二列三解四还原”.就 是说,一设:设出一次函数解析式的一般形式y=kxb(k≠0):二列:根据已知两点或已知 图象上的两个点坐标列出关于k、b的二元一次方程组:三解:解这个方程组,求出k、b 的值:四还原:将已求得 (4)方程思想 方程思想即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决.方程思想是最 重要的一种数学思想,在数学解题中所占比重较大,综合知识强、题型广、应用技巧灵活 从例1、例2和例3中,我们都可以看出用到了方程思想求解 三、考点解密 (所选例题均出自中考试卷) 考点1确定自变量的取值范围 确定函数解析式中的自变量的取值范围,只需保证其函数有意义即可 例1(盐城市)函数y=—中,自变量x的取值范围是 分析由于函数的表达式是分式型的,因此必需保证分母不等于0即可 解要使函数y=—有意义,只需分母x-1≠0,即x≠1 说明确定一个函数的自变量的取值范围,对于函数是整式型的可以取任何数,若是分 数型,只需使分母不为0,对于从实际问题中求出的解析式必须保证使实际问题有意义 考点2函数图象 把一个函数的自变量x与对应因变量y的值分别作为点的横坐标和纵坐标,在直角坐标 系内描出它的对应点,所有这些点组成的图形叫做函数函数图象 解压密码联系qq119139686加徽信公众号 JIaoxuewuyou九折优惠l淘宝网 址 Jlaoxuesu. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网 址：jiaoxue5u.taobao.com 43．5cm，请你判断它们是否配套，说明理由． 解（1）设 y＝kx+b(k≠0)，依题意得 37 70, 40 74.8. k b k b + = + = 解得 1.6, 10.8. k b = = 所以这个一次函数的关系式 y＝1．6x+10．8； （2）当小明家写字台的高度 y＝77cm 时，由（1）中的一次函数的关系式 y＝1．6x+10．8 得 77＝1．6x+10．8，解得 x＝41．375＜凳子的高度 43．5cm，所以小明家的写字台和凳子 的高度是不配套的． 说明 对于（2）中的问题也可以利用凳子的高度 x，求出写字台的高度 y，再与 77cm 比较．由此，用待定系数法求一次函数的解析式的方法可归纳为：“一设二列三解四还原”．就 是说，一设：设出一次函数解析式的一般形式 y＝kx+b(k≠0)；二列：根据已知两点或已知 图象上的两个点坐标列出关于 k、b 的二元一次方程组；三解：解这个方程组，求出 k、b 的值；四还原：将已求得 （4）方程思想 方程思想即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决．方程思想是最 重要的一种数学思想，在数学解题中所占比重较大，综合知识强、题型广、应用技巧灵活． 从例 1、例 2 和例 3 中，我们都可以看出用到了方程思想求解． 三、考点解密 （所选例题均出自中考试卷） 考点 1 确定自变量的取值范围 确定函数解析式中的自变量的取值范围，只需保证其函数有意义即可． 例 1（盐城市）函数 y＝ 1 x −1 中，自变量 x 的取值范围是 ． 分析 由于函数的表达式是分式型的，因此必需保证分母不等于 0 即可． 解 要使函数 y＝ 1 x −1 有意义，只需分母 x－1≠0，即 x≠1． 说明 确定一个函数的自变量的取值范围，对于函数是整式型的可以取任何数，若是分 数型，只需使分母不为 0，对于从实际问题中求出的解析式必须保证使实际问题有意义． 考点 2 函数图象 把一个函数的自变量 x 与对应因变量 y 的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标 系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做函数函数图象．
免费下载网址http://jiaoxue5u.ys168.com/ 例2(泉州市)小明所在学校离家距离为2千米,某天他放学后骑自行车回家,行驶了 5分钟后,因故停留10分钟,继续骑了5分钟到家.如图1中,哪一个图象能大致描述他 回家过程中离家的距离s(千米)与所用时间t(分)之间的关系 s(千米) s(千米) s(千米) s(千米) 051520(分)051520(分)051520(分051520(分) B 分析依据题意,并观察分析每一个图象的特点,即可作出判断. 解依题意小明所在学校离家距离为2千米,先行驶了5分钟后,因故停留10分钟 继续骑了5分钟到家,即能大致描述他回家过程中离家的距离s(千米)与所用时间t(分) 之间的关系只有D图符合,故应选D 说明求解时要充分发挥数形结合的作用,及时从图象中捕捉求解有用的信息,并依据 函数图象的概念对图象作出正确判断 考点3判断图象经过的象限 对于一次函数y=kxb:①当k>0,b>0时,图象在第一、二、三象限内;②当k>0, b<0时,图象在第一、三、四象限内:③当k<0,b>0时,图象在第 四象限内 ④当k<0,b<0时,图象在第二、三、四象限内.特别地,b=0即正比例函数y=kx有: ①当k>0时,图象在第一、三象限内:②当k<0时,图象在第二、四象限内 例3(十堰市)已知直线l经过第一、二、四象限,则其解析式可以为 (写出一 个即可) 分析由题意直线经过第一、二、四象限,此时满足条件的解析式有无数个 解经过第一、二、四象限的直线有无数条,所以本题是一道开放型问题,答案不唯 如:y=-x+2,y=-3x1.等等. 说明处理这种开放型的问题,只要选择一个方便而又简单的答案即可 解压密码联系qq119139686加徽信公众号 JIaoxuewuyou九折优惠l淘宝网 址 Jlaoxuesu. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网 址：jiaoxue5u.taobao.com 例 2（泉州市）小明所在学校离家距离为 2 千米，某天他放学后骑自行车回家，行驶了 5 分钟后，因故停留 10 分钟，继续骑了 5 分钟到家．如图 1 中，哪一个图象能大致描述他 回家过程中离家的距离 ．．．．．s(千米)与所用时间 t（分）之间的关系（ ） 分析 依据题意，并观察分析每一个图象的特点，即可作出判断． 解 依题意小明所在学校离家距离为 2 千米，先行驶了 5 分钟后，因故停留 10 分钟， 继续骑了 5 分钟到家，即能大致描述他回家过程中离家的距离 s(千米)与所用时间 t（分） 之间的关系只有 D 图符合，故应选 D． 说明 求解时要充分发挥数形结合的作用，及时从图象中捕捉求解有用的信息，并依据 函数图象的概念对图象作出正确判断． 考点 3 判断图象经过的象限 对于一次函数 y＝kx+b：①当 k＞0，b＞0 时，图象在第一、二、三象限内；②当 k＞0， b＜0 时，图象在第一、三、四象限内；③当 k＜0，b＞0 时，图象在第一、二、四象限内； ④当 k＜0，b＜0 时，图象在第二、三、四象限内．特别地，b＝0 即正比例函数 y＝kx 有： ①当 k＞0 时，图象在第一、三象限内；②当 k＜0 时，图象在第二、四象限内． 例 3（十堰市）已知直线 l 经过第一、二、四象限，则其解析式可以为＿＿＿（写出一 个即可）． 分析 由题意直线 l 经过第一、二、四象限，此时满足条件的解析式有无数个． 解 经过第一、二、四象限的直线有无数条，所以本题是一道开放型问题，答案不唯 一．如：y＝－x+2，y＝－3x+1．等等． 说明 处理这种开放型的问题，只要选择一个方便而又简单的答案即可． 图 1