等号两边同时消去一个相同矩阵的一般结论： 定理 (1)ABC=0和BC=0等价的充分必要 条件是rk(AB)=rk(B). (2)CAB=0和CA=0等价的充分必要 条件是rk(AB)=rk(A): 26
26 等号两边同时消去一个相同矩阵的一般结论： 定理 ( ) ( ). ( 2 ) 0 0 ( ) ( ). ( 1 ) 0 0 rk AB rk A CAB CA rk AB rk B ABC BC = = = = = = 条件是 和 等价的充分必要 条件是 和 等价的充分必要
性质6 A(A'A)厂A'是一个投影矩阵， 且与(A'A)的取法无关. 27
27 ( ) . ( ) , 且与 的取法无关 是一个投影矩阵 − − ′ ′ ′ A A A A A A 性质6
证明 (1)A(A'A)A'与(A'A)的取法无关. 设k(A)=r,(A'A)斤和(A'A)2是A'A的两个广义 nx D 逆，则有AA(A'A)A'A=A'A(A'A)2A'A=A'A 利用性质5→A'A(A'A)斤A'=A'A(A'A)2A'=A →A(A'A)斤A'=A(A'A2A 28
28 A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A rk A r A A A A A A A A A A A A n p ⇒ ′ ′ = ′ ′ ⇒ ′ ′ ′ = ′ ′ ′ = ′ ′ ′ ′ = ′ ′ ′ = ′ = ′ ′ ′ ′ ′ ′ − − − − − − − − × − − 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) 5 ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1) ( ) ( ) . 利用性质 逆 则有 设 ， 和 是 的两个广义 与 的取法无关 证明
(2)A(A'A)A'一定是对称阵. 由于A'A为对称阵，存在正交阵P,使得 A'A=P'diag(23,2,…23,0,…,0)P 0 =P'dig(g…,l…l） ig(2,2y…2,l,…,l)P 0 -ogt+4a-e化o 它是对称阵.所以A(A'A)A'一定是对称阵. 29
29 ( ) . ( ) . , 0 0 0 0, ( ) 0 0 0 ( 1 1) 0 0 0 ( 1 1) ( 0 0) (2) ( ) . 1 1 i 1 2 1 2 2 2 2 2 1 它是对称阵 所以 一定是对称阵 其中 取 ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， 由于 为对称阵，存在正交阵 ，使得 一定是对称阵 A A A A Q I Q A A Q I Q diag P I P diag A A P diag P A A P A A A A r r r r r r ′ ′ ′ ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ ≠ ′ = ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ = ′ ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ = ′ ′ = ′ ′ ′ ′ − − − − − λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ " " " " " " Q
(3)A(A'A)A'是幂等阵. ((AAA=A(4A4A(44-A =A(AA)A 故A(A'A)A'是一个投影矩阵 30
30 ( ) 故 是一个投影矩阵 是幂等阵 A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A ′ ′ = ′ ′ ′ ′ = ′ ′ ′ ′ ′ ′ − − − − − − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (3) ( ) . 2