性质2若A非退化，则A唯一，且A=A1. 证明：因为AAA=A,所以A是A的一个 广义逆.若X也是A的广义逆，则AXA=A 台X=A-1，唯一性得证. 16
16 . − − −1 若A非退化，则 A 唯一，且A = A , . . 1 1 1 唯一性得证 广义逆 若 也是 的广义逆，则 证明：因为 ，所以 是 的一个 − − − ⇔ = = = X A X A AXA A AA A A A A 性质2
性质3 rk(A)≥k(A 证明由性质1中知，若rnk(A)=r,A可分解为 nx p 其中P和Q分别为n和p阶非奇异方阵，于是有 P-1 Tn) 所以rk(A)≥k(A). 17
17 rk(A ) ≥ rk(A) − ( ) ( ). 0 0 0 1 ( ) 1 21 22 12 1 rk A rk A P T T I T A Q P Q n p Q I A P rank A r A r r n p ≥ ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ = ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ = = − − − − × 所以 其中 和 分别为 和 阶非奇异方阵，于是有 证明 由性质 中知，若 ， 可分解为 性质3
性质4 rk(A)=rk(AA)=rk(A-A) tr(AA)=tr(A-A) 18
18 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) tr AA tr A A rk A rk AA rk A A − − − − = = = = 性质4
证明若rnk(A)=r,A可分解为 nx p 2 其中P和Q分别为n和p阶非奇异方阵， 于是有 19
19 1 21 22 12 1 0 0 0 ( ) − − − × ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ = ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ = = P T T I T A Q P Q n p Q I A P rank A r A r r n p 于是有 其中 和 分别为 和 阶非奇异方阵， 证明 若 ， 可分解为
I, 0 →AA-=P T P-1 0 T2） →(AA)2=AA 所以AA为幂等阵 20
20 所以 −为幂等阵 − − − − − − ⇒ = ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ = ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ ⇒ = AA AA AA P I T P P T T I T QQ I AA P r r r 2 1 12 1 21 22 12 1 ( ) 0 0 0 0 0