第三章贪心方法
第三章 贪心方法
3.1一般方法 1.问题的一般特征 问题有n个输入,问题的解是由这n个输入的某个子集组成,这个子 集必须满足某些事先给定的条件 约束条件:子集必须满足的条件; 可行解:满足约束条件的子集;可行解可能不唯一; 目标函数:用来衡量可行解优劣的标准,一般以函数的形式给出 最优解:能够使目标函数取极值(极大或极小)的可行解。 分类:根据描述问题约束条件和目标函数的数学模型的特性和问题的 求解方法的不同,可分为:线性规划、整数规划、非线性规划、动态规 划等 —最优化问题求解 贪心方法:一种改进的分级的处理方法,可对满足上述特征的某些问 题方便地求解
3.1 一般方法 1. 问题的一般特征 问题有n个输入，问题的解是由这n个输入的某个子集组成，这个子 集必须满足某些事先给定的条件。 ◼ 约束条件：子集必须满足的条件； ◼ 可 行 解：满足约束条件的子集；可行解可能不唯一； ◼ 目标函数：用来衡量可行解优劣的标准，一般以函数的形式给出； ◼ 最 优 解：能够使目标函数取极值（极大或极小）的可行解。 分类：根据描述问题约束条件和目标函数的数学模型的特性和问题的 求解方法的不同，可分为：线性规划、整数规划、非线性规划、动态规 划等。 ——最优化问题求解 贪心方法：一种改进的分级的处理方法，可对满足上述特征的某些问 题方便地求解
2.贪心方法的一般策略 问题的一般特征:问题的解是由n个输入的、满足某些事先给定的 条件的子集组成。 1)一般方法 根据题意,选取一种度量标准。然后按照这种度量标准对η个输入 排序,并按序一次输入一个量。 如果这个输入和当前已构成在这种量度意义下的部分最优解加在 起不能产生一个可行解,则不把此输入加到这部分解中。否则,将当前 输入合并到部分解中从而得到包含当前输入的新的部分解 这一处理过程一直持续到n个输入都被考虑完毕,则记入最优解集 合中的输入子集构成这种量度意义下的问题的最优解 贪心方法:这种能够得到某种量度意义下的最优解的分级处理方法 称为贪心方法 注 贪心解亠最优解 直接将目标函数作为量度标准也不一定能够得到问题的最优解 使用贪心策略求解的关键是选取能够得到问题最优解的量度标准
2. 贪心方法的一般策略 问题的一般特征：问题的解是由n个输入的、满足某些事先给定的 条件的子集组成。 1）一般方法 根据题意，选取一种度量标准。然后按照这种度量标准对n个输入 排序，并按序一次输入一个量。 如果这个输入和当前已构成在这种量度意义下的部分最优解加在一 起不能产生一个可行解，则不把此输入加到这部分解中。否则，将当前 输入合并到部分解中从而得到包含当前输入的新的部分解。 这一处理过程一直持续到n个输入都被考虑完毕，则记入最优解集 合中的输入子集构成这种量度意义下的问题的最优解 贪心方法: 这种能够得到某种量度意义下的最优解的分级处理方法 称为贪心方法 注： ➢ 贪心解 最优解 ➢ 直接将目标函数作为量度标准也不一定能够得到问题的最优解 ➢ 使用贪心策略求解的关键是选取能够得到问题最优解的量度标准。 ？ ＝
3.贪心方法的抽象化控制描述 procedure GREEDY(A, n) ∥A(1:n)包含n个输入∥ solution←Φ∥将解向量 solution初始化为空∥ fori←1 ton do ⅹ← SELECT(A)∥/按照度量标准,从A中选择一个输入, 其值赋予x并将之从A中删除∥ if feas|BLE( olution,x)then∥.定x是否可以包含在当前解向量 中,即是否能共同构成可行解/∥/ solution←UN|ON( solution,x)∥.x和当前的解向量合并成 新的解向量,并修改目标函数 endif repeat return end GREeDY
3. 贪心方法的抽象化控制描述 procedure GREEDY(A,n) //A(1:n)包含n个输入// solution←Φ //将解向量solution初始化为空// for i←1 to n do x←SELECT(A) //按照度量标准，从A中选择一个输入， 其值赋予x并将之从A中删除// if FEASIBLE(solution,x) then //判定x是否可以包含在当前解向量 中，即是否能共同构成可行解// solution←UNION(solution,x) //将x和当前的解向量合并成 新的解向量，并修改目标函数// endif repeat return end GREEDY
3.2背包问题 1问题的描述 已知n种物品具有重量w1,W2,…,Wwn)和效益值(D1,p2…,pn),及一个 可容纳M重量的背包;设当物品全部或一部分x放入背包将得到pX的效 益,这里,0≤X≤1,p1>0。 问题:采用怎样的装包方法才能使装入背包的物品的总效益最大? 分析: ①装入背包的总重量不能超过M ②如果所有物品的总重量不超过M,即∑mx≤M,则把所有的物 品都装入背包中将获得最大可能的效益值 ③如果物品的总重量超过了M,则将有物品不能(部分/全部)装 入背包中。由于0≤xi≤1,所以可以把物品的一部分装入背包,故最终 背包中可刚好装入重量为M的若干物品(整体或一部分)。这种情况下, 如果背包没有被装满,则显然不能获得最大的效益值。 目标:使装入背包的物品的总效益达到最大
3.2 背包问题 1.问题的描述 已知n种物品具有重量(w1 ,w2 ,…,wn )和效益值(p1 ,p2 ,…,pn ) ，及一个 可容纳M重量的背包；设当物品i全部或一部分xi放入背包将得到pi xi的效 益，这里，0≤ xi ≤1, pi >0。 问题：采用怎样的装包方法才能使装入背包的物品的总效益最大？ 分析： ① 装入背包的总重量不能超过M ② 如果所有物品的总重量不超过M，即 ≤M，则把所有的物 品都装入背包中将获得最大可能的效益值 ③ 如果物品的总重量超过了M，则将有物品不能（部分/全部）装 入背包中。由于0≤xi≤1，所以可以把物品的一部分装入背包，故最终 背包中可刚好装入重量为M的若干物品（整体或一部分）。这种情况下， 如果背包没有被装满，则显然不能获得最大的效益值。 目标：使装入背包的物品的总效益达到最大。 in i i w x 1