1.3应力张量的分解与几何表示 3.1应力张量的分解 塑性变形时体积变化为零,只有形状变化。因此,可以把分解成与体 积变化有关的量和与形状有关的量。前者称应力球张量,后者称应力偏张量。设 0m为平均应力,则有 (ax+,+:)=l1 17) 按照应力叠加原理,“具有可分解性。因此有: o.+o (j=x,y,=) 式中,当=/时, 6.=0 上式第一项为应力偏张量,其主轴方向与原应力张量相同。第二项为应力球 张量,其任何方向都是主方向,且主应力相同 值得一提的是,。只影响体积变化,不影响形状变化,但它关系到材料 塑性的充分发挥。三向压应力有利于材料塑性的发挥。 应力偏张量仍然是一个二阶对称张量,同样有三个不变量,分别为
1．3 应力张量的分解与几何表示 1．3．1 应力张量的分解 塑性变形时体积变化为零，只有形状变化。因此，可以把 ij 分解成与体 积变化有关的量和与形状有关的量。前者称应力球张量，后者称应力偏张量。设 m 为平均应力，则有： 1 3 1 ( ) 3 1 I m = x + y + z = （1. 17） 按照应力叠加原理， ij 具有可分解性。因此有： i j i j m i j m i j = ( − ) + ' (i, j x, y,z) = i j+ m i j = （1. 18） 式中，当 i = j 时， = 1 i j ；当 i j 时， = 0 i j 。 上式第一项为应力偏张量，其主轴方向与原应力张量相同。第二项为应力球 张量，其任何方向都是主方向，且主应力相同。 值得一提的是， m i j 只影响体积变化，不影响形状变化，但它关系到材料 塑性的充分发挥。三向压应力有利于材料塑性的发挥。 应力偏张量仍然是一个二阶对称张量，同样有三个不变量，分别为 1 2 3 I' , I' , I'
1=a'+a'+o'=0 1=0表明应力偏张量已不含平均应力成份。2与屈服准则有关(见第二章), 反映了物体形状变化的程度。反映了变形的类型:3>0表示广义拉伸变形 3=0表示广义剪切变形,3<0表示广义压缩变形 1.3.2主应力图 表示某点六面体各面上各主应力有无及其方向的图叫主应力图。主应力图具 有九种可能的组合,如图1-5所示。这九种组合也可从应力球张量与偏张量来加 以理解。由=0,决定了只可能有三种状态,而也有三种可能,即 om<0.am=0Om>0,所以可应该有九种可能 主应囡性公坵朔性加T叶件受力状况类型的一种手段。 图15主应力图 1.3.3主应力空间与面 若以可可2,为坐标轴,构成主应力空间,则一点的应力状态可用一矢量来 表示,如图1-6所示。 =σ1i+2j+σ3k
= = − + − + − + + + = + + = i j x y y z z x x y y z z x x y z I I I ' ' ( ) ( ) ( ) 6( ) 6 1 ' ' ' ' ' 0 3 2 2 2 2 2 2 2 1 （1. 19） ' 0 I 1 = 表明应力偏张量已不含平均应力成份。 2 I' 与屈服准则有关（见第二章）， 反映了物体形状变化的程度。 3 I ' 反映了变形的类型： ' 0 I 3 表示广义拉伸变形； 3 I ' =0 表示广义剪切变形， 3 I ' <0 表示广义压缩变形。 1. 3. 2 主应力图 表示某点六面体各面上各主应力有无及其方向的图叫主应力图。主应力图具 有九种可能的组合，如图 1-5 所示。这九种组合也可从应力球张量与偏张量来加 以理解。由 ' = 0 i i ，决定了 ij ' 只可能有三种状态，而也有三种可能，即 0, = 0, 0 m m m ，所以 ij 应该有九种可能。 主应力图是定性分析塑性加工时工件受力状况类型的一种手段。 1. 3. 3 主应力空间与π面 若以 1 2 3 , , 为坐标轴，构成主应力空间，则一点的应力状态可用一矢量来 表示，如图 1-6 所示。 OP i j k =1 + 2 + 3 图 1-5 主应力图
(σ1-om)+(2-om)+ (σ3-om)k+σm(+j+k) +ON 这是OO为应力偏量对应的矢量,ON与,2O3成等倾角,为应力球张量对应 的矢量。可以证明C⊥CN。ON必正交于下列过原点的平面 σ,+、+,=0 20) 这是一个平均应力为零的平面,称为应力x平面。因O的三个分量可12,3 满足下列关系 σ2+o2+o3=0 所以OD总是在x平面内,可以用二个几何参数来表示 OM= 3om=l 方向:与 3方向:丌平面 图1-7π平面与8角的关系 C的方向可用O在丌平面上投影1与CO的夹角表示。求法如下:将 坐标系旋转,使丌平面成水平面。如图1-7所示。过Q点作以D为法线的平面 该平面与101投影面交于AB,显然AB⊥兀平面。则四面体OQBA为直角△四 面体。而
=(1 − m )i +( 2 − m )j + ( ) ( ) 3 k i j k − m + m + + =OQ+ON 这是 OQ 为应力偏量对应的矢量， ON 与 1 2 3 , , 成等倾角，为应力球张量对应 的矢量。可以证明 OQ⊥ON 。ON 必正交于下列过原点的平面。 0 1 + 2 + 3 = （1. 20） 这是一个平均应力为零的平面，称为应力 平面。因 OQ 的三个分量 1 2 3 ' , ' , ' 满足下列关系 ' ' ' 0 2 + 2 + 3 = （1. 21） 所以 OQ 总是在 平面内，可以用二个几何参数来表示。 1 3 1 ON 3 I = m = ，方向：与 1 2 3 , , 成等倾角 , 3 2 ' ' ' 2 3 2 2 2 OQ = 1 + + = e 方向： 平面内 OQ 的方向可用 1 在 平面上投影 1 ' 与 OQ 的夹角 表示。 求法如下：将 坐标系旋转，使 平面成水平面。如图 1-7 所示。过 Q 点作以 OQ 为法线的平面， 该平面与 1 O 1 ' 投影面交于 AB，显然 AB⊥ 平面。则四面体 OQBA 为直角△四 面体。而 图 1-7 π平面与θ角的关系