习题三解答 1.设总体X的数学期望4已知,方差a2未知,12x2,…,Xn为来自X的样本。下列表达式 中哪些是统计量: 1)x1+x2:2)ma(x1,x2,x1):3)(x2-): 4)X1+3X2+2;5)(X-) 谷:1)、2)、3)是统计量,4)、5)不是。 2.某大型写字楼中工作人员上下班花在路上的时间X服从均值为87分钟,标准差22分钟的正 态分布。从中任取16个人 1)求样本均值的标准差 2)求样本均值小于100分钟的概率 3)求样本均值大于80分钟的概率 4)求样本均值在85分钟和95分钟之间的概率 5)假设独立地抽取50人,不做任何计算,说明对于第二个样本(n=50),问题2,3)和 4)中的概率会比第一个样本的大,小或相同?请画图说明 解:1)√D(x)= 5.5 <100)=P Φa(2.36)=0.9909 5.5 X-8780 Φ(-127)=d(127)=0.898 5.5 4) 5≤X≤95 85-87X-8795-87 5.5 5.5 5.5 =d(145)-(-036)=0.5671 5)抽取50个人的样本均值标准差为3.1,通过下图 X) (n=50,标准差为3.1) (n=16,标准差为55) 可以看出,独立地抽取50个人时样本的概率2)、3)、4)要比第一个样本大
习题三解答 1. 设总体 X 的数学期望 已知，方差 2 未知， X X Xn , , , 1 2 为来自 X 的样本。下列表达式 中哪些是统计量： 1） X1 + X2 ； 2） max( X1 , X2 , X3 ) ； 3） ( X2 ) 3 − ； 4） X1 X 2 2 + 3 + ；5） ( Xi ) i − = 2 2 1 3 。 答：1）、2）、3）是统计量，4）、5）不是。 2. 某大型写字楼中工作人员上下班花在路上的时间 X 服从均值为 87 分钟，标准差 22 分钟的正 态分布。从中任取 16 个人。 1) 求样本均值的标准差； 2) 求样本均值小于 100 分钟的概率； 3) 求样本均值大于 80 分钟的概率； 4) 求样本均值在 85 分钟和 95 分钟之间的概率； 5) 假设独立地抽取 50 人，不做任何计算，说明对于第二个样本 (n = 50) ，问题 2），3）和 4）中的概率会比第一个样本的大，小或相同？请画图说明。 解：1） ( ) 5.5 4 22 = = = n D X 2） ( ) (2.36) 0.9909 5.5 100 87 5.5 87 100 = 0 = − − = X P X P 3） ( ) 1 ( 1.27) (1.27) 0.898 5.5 80 87 5.5 87 80 = − 0 − = 0 = − − = X P X P 4） ( ) (1.45) ( 0.36) 0.5671 5.5 95 87 5.5 87 5.5 85 87 85 95 = 0 − 0 − = − − − = X P X P 5）抽取 50 个人的样本均值标准差为 3.1，通过下图 F(X ) （n=50，标准差为 3.1） （n=16，标准差为 5.5） O 80 85 87 95 100 X 可以看出，独立地抽取 50 个人时样本的概率 2）、3）、4）要比第一个样本大
3.根据美国统计局的统计结果,波士顿地区的平均家庭收入为37907美元,标准差为15102美 元。假设从波士顿地区随机抽取100个家庭的样本,用X表示样本均值 1)X服从什么分布? 2)X的取值超过35000美元的概率为多少? 解:1)大样本,X近似服从均值为37907美元,标准差为1510.2美元的正态分布。 X-3790735000-37907 >35000= =d0(192)=09726 15102 15102 4.某大商场发现在购买VCD机的顾客中,有30%会同时购买光盘。从这些顾客中随机地抽取280 人 1)求这些人中同时购买光盘的人数比率的标准差 2)求样本比率超过0.25的概率 3)求样本比率低于0.32的概率 4)不做任何计算,判断样本比率最可能落在哪个区间:0.29-0.31,0.30-0.32,0.31-0.3 0.32-0.34? 解:1)顾客在购买V机时同时会购买光盘的人数比率p=0.3,则其标准差 x=,D(-2=027 V280 025 X-0.30.25-0.3 2) 0.027300273 P(z>-1.83)=Φ1.83)=09664 3)P(x X-0.30.32-0.3 <0.32)= 0.02730.0273 P(z<073)=d(073)=07673 4)样本比率最可能落在区间(0.29,0.31)。 5.已知一大批计算机芯片的次品率为10%,设从中随机地抽取一个容量为100的样本。 1)令F为这个样本中含次品的个数,则F服从什么分布? 2)这个样本含次品个数的期望值是多少?这个数值代表什么意思? 3)样本中含次品个数的标准差为多少? 4)写出样本中的次品数恰好为10的概率的计算公式(不必算出结果)。 5)近似地计算样本中的次品数在7到12之间的概率(不需要大量的数字运算)。 解:1)Y服从二项分布,Y~B(100,0.1)。 2)E(x)=10,这个数值代表样本可能次品数的均值为10 3)s=√100×0109=3 4)P00)=C(0)y0.9) 5)根据中心极限定理 P(7≤Y≤12)≈P(7X≤0.12) 0.07-0.1 X-0.1 0.12-0.1 0.1×0.9/100√01×0900~√0.1×09/00 =P(-1≤Z≤067) d。(0.67)-40(-1) =0.5899
3．根据美国统计局的统计结果，波士顿地区的平均家庭收入为 37907 美元，标准差为 15102 美 元。假设从波士顿地区随机抽取 100 个家庭的样本，用 X 表示样本均值。 1） X 服从什么分布？ 2） X 的取值超过 35000 美元的概率为多少？ 解：1）大样本， X 近似服从均值为 37907 美元，标准差为 1510.2 美元的正态分布。 2） ( ) (1.92) 0.9726 1510.2 35000 37907 1510.2 37907 35000 = 0 = − − = X P X P 4．某大商场发现在购买 VCD 机的顾客中，有 30%会同时购买光盘。从这些顾客中随机地抽取 280 人。 1） 求这些人中同时购买光盘的人数比率的标准差； 2） 求样本比率超过 0.25 的概率； 3） 求样本比率低于 0.32 的概率； 4） 不做任何计算，判断样本比率最可能落在哪个区间：0.29-0.31，0.30-0.32，0.31-0.33， 0.32-0.34？ 解 ： 1 ） 顾客 在 购 买 VCD 机 时同 时 会 购买 光 盘的 人 数 比率 p=0.3 ， 则其 标 准 差 ( ) ( ) 0.0273 280 1 = − = p p n D X 。 2） ( ) ( 1.83) (1.83) 0.9664 0.0273 0.25 0.3 0.0273 0.3 0.25 = − = 0 = − − = P Z X P X P 3） ( ) ( 0.73) (0.73) 0.7673 0.0273 0.32 0.3 0.0273 0.3 0.32 = = 0 = − − = P Z X P X P 4）样本比率最可能落在区间（0.29，0.31）。 5．已知一大批计算机芯片的次品率为 10%，设从中随机地抽取一个容量为 100 的样本。 1) 令 Y 为这个样本中含次品的个数，则 Y 服从什么分布？ 2) 这个样本含次品个数的期望值是多少？这个数值代表什么意思？ 3) 样本中含次品个数的标准差为多少？ 4) 写出样本中的次品数恰好为 10 的概率的计算公式（不必算出结果）。 5) 近似地计算样本中的次品数在 7 到 12 之间的概率（不需要大量的数字运算）。 解：1）Y 服从二项分布，Y～B(100,0.1)。 2） E(X ) = 10 ，这个数值代表样本可能次品数的均值为 10。 3） s = 1000.10.9 = 3 4） ( ) ( ) ( ) 10 10 90 P100 10 = C100 0.1 0.9 5） 根据中心极限定理： ( ) ( ) ( ) ( ) 0.5899 0.67 1 1 0.67 0.1 0.9 100 0.12 0.1 0.1 0.9 100 0.1 0.1 0.9 100 0.07 0.1 7 12 (0.07 0.12) 0 0 = = − − = − − − − = P Z X P P Y P X