令减法: 当群中的运算符是加法时,其单位元是0 a的逆元是-a 减法定义为:a-b=a+(-b) 密码学导论一中国科学技术大学
❖ 减法： ▪ 当群中的运算符是加法时，其单位元是0 ▪ a的逆元是-a ▪ 减法定义为：a–b=a+(-b) 密码学导论--中国科学技术大学 6
环Rng 环R,记作R+,刈,定义二元运算加法“+”和乘法 ×"的集合,R中任意元素a,b,C满足下列公理: (A1-A5),R关于加法是交换群,单位元是0,a的逆元 是-a (M1)乘法封闭性:如果a和b都属于R,则ab也属于R (M2)乘法结合律:如果a,b,C都属于R,则a(bc)=(ab)c (M3)分配律:如果a,b,C都属于R,则a(b+C)=ab+aC 或(a+b)C=ac+bc 密码学导论一中国科学技术大学
❖环Ring： 环R，记作{R,+,x}，定义二元运算加法“+”和乘法 “×”的集合， R中任意元素a,b,c满足下列公理： ▪ (A1-A5), R关于加法是交换群，单位元是0，a的逆元 是-a ▪ (M1) 乘法封闭性：如果a和b都属于R，则ab也属于R ▪ (M2) 乘法结合律：如果a,b,c都属于R，则a(bc)=(ab)c ▪ (M3) 分配律：如果a,b,c都属于R，则a(b+c)=ab+ac 或(a+b)c =ac+bc 密码学导论--中国科学技术大学 7
☆交换环 Commutative Ring:满足下列条件的环 (M4)乘法交换律:对R中任意元素a,b,都有ab=ba成立 ☆整环 Integral Domain:满足下列条件的交换环 (M5)乘法单位元:在R中存在元素1,使得对于R中任意元素a, 都有a1=1a成立 (M6)无零因子:若元素a,b满足ab=0,则必有a=0或b=0 密码学导论一中国科学技术大学
❖ 交换环Commutative Ring ：满足下列条件的环 ▪ (M4) 乘法交换律：对R中任意元素a,b，都有ab=ba成立 ❖ 整环Integral Domain ：满足下列条件的交换环 ▪ (M5) 乘法单位元：在R中存在元素1，使得对于R中任意元素a， 都有 a1=1a成立 ▪ (M6) 无零因子：若元素a,b满足ab=0，则必有a=0或b=0 密码学导论--中国科学技术大学 8
域 Field 域F,记作{F+,x},定义为满足下列关系的整环 (M刀)乘法逆元 Multiplicative inverse:对F中每个元素 a(除0以外),存在元素a1满足a-=(a-)a=1 令除法 对F中任意元素a和任意非零元素b,定义为a/b=a(b-1) 密码学导论一中国科学技术大学
❖域Field： 域F，记作{F,+,×}，定义为满足下列关系的整环： ▪ (M7) 乘法逆元Multiplicative inverse: 对F中每个元素 a（除0以外），存在元素a -1满足aa-1=(a-1 )a=1 ❖ 除法： ▪ 对F中任意元素a和任意非零元素b，定义为a/b=a(b-1 ) 密码学导论--中国科学技术大学 9
约束关系 群:A1加法封闭;A2加法结台律;A3加法单位元;A4加法逆元 交换群:A5加法交换律 环:M1乘法封闭;M2乘法结合律;M3分配率 交换环:M4乘法交换律 整环:M5乘法单位元;M6无零因子 域:M7乘法逆元 密码学导论一中国科学技术大学
约束关系 群：A1加法封闭；A2加法结合律；A3加法单位元；A4加法逆元 交换群：A5加法交换律 环：M1乘法封闭；M2乘法结合律；M3分配率 交换环：M4乘法交换律 整环：M5乘法单位元；M6无零因子 域：M7乘法逆元 密码学导论--中国科学技术大学 10