浙江大学硕士学位论文2007 第2章非线性有限元理论 第2章非线性有限元基本理论 非线性问题可以分为几何非线性、物理（材料）非线性和状态非线性。几何非线性义分为应力 刚化(Stress stiffening)、大应变(Large strain)、大旋转(Large rotation)和旋转软化(Spin softening)。 几何非线性问题中单元刚度为单元节点位移的函数，即考虑了结构变形对结构刚度的影响。 本文在第三章中，将利用通用工程软件NSYS,计算分析蜻蜓翅膀在各种受力状态下的内力与位 移。由于蜻蜓翅膀在外力作用下常产生较大的变形，所以有限元分析中必须得考虑结构变形对 结构刚度的影响，即几何非线性问题。 在几何非线性问题当中，通常采用增量分析方法。它用两种不同的表达格式。第一种格式中 所有静力学和运动学变量总是参考初始位形，即整个分析过程中参考位形保持不变，这种格式 称为完全的Lagrange格式（T.L):另一种格式中所有静力学和运动学的变量参考于每一载荷或 时间步长开始的位形，即在分析过程中参考位形不断被更新，这种格式称为更新的Lagrange格 式(UL)。在通用的有限元分析程序中，通常同时包括这两种格式，使用时可以根据所分析问题 及材料本构关系的具体特点和形式选择最有效的格式)。 在三、四章分析中，均用到了ANSYS中的三节点梁元beaml89单元和8节点等参曲壳单元 shells3,下面简单介绍两种单元的非线性有限元基本理论。 2.1beam189梁元基本理论 2.11beam189单元特点 beam1889单元是基于Timoshenko梁理论，它有如下特点： (1)单元形函数为拉格朗日插值多项式，具有线性或二次的位移函数。 (2)考虑横截面一阶剪切变形。即假定变形前垂直于梁中心线的平截面，在梁受载荷而弯曲变 形时仍然保持为平面，但不再垂直梁中心线。 (3)可用于分析线性、大转动和大应变的非线性问题；支持弹性、粘弹、粘塑、壩变和塑性模 型，横截面允许定义复合材料。 (④)有多种截面形式可拱选择，并支持自定义截面。 (5)beam189为三节点梁元。 -13-
浙江大学硕士学位论文2007 第2章非线性有限元理论 第2章非线性有限元基本理论 非线性问题可以分为几何非线性、物理(材料)非线性和状态非线性．几何非线性又分为应力 刚化(Stress stiffening)、大应变(Large strain)、大旋转(Large rotation)和旋转软化(Spin softening)． 几何非线性问题中单元刚度为单元节点位移的函数，即考虑了结构变形对结构冈Ⅱ度的影响． 本文在第三章中，将利用通用工程软件ANSYS，计算分析蜻蜒翅膀在各种受力状态下的内力与位 移．由于蜻蜒翅膀在外力作用下常产生较大的变形，所以有限元分析中必须得考虑结构变形对 结构刚度的影响，即几何非线性问题。 在几何非线性问题当中，通常采用增量分析方法。它用两种不同的表达格式．第一种格式中 所有静力学和运动学变量总是参考初始位形，即整个分析过程中参考位形保持不变，这种格式 称为完全的Lagrange格式(T．L)：另一种格式中所有静力学和运动学的变量参考于每一载荷或 时间步长开始的位形，即在分析过程中参考位形不断被更新，这种格式称为更新的Lagral坞e格 式(u”．在通用的有限元分析程序中，通常同时包括这两种格式，使用时可以根据所分析问题 及材料本构关系的具体特点和形式选择最有效的格式p”． 在三、四章分析中，均用到了ANSYS中的三节点粱元；beamlS9单元和8节点等参曲壳单元 shell93，下面简单介绍两种单元的非线性有限元基本理论。 2．1 beaml89梁元基本理论 2．1．1 beaml89单元特点 beaml89单元是基于Timoshenko梁理论，它有如下特点跚： (1)单元形函数为拉格朗日插值多项式，具有线性或二次的位移函数。 (2)考虑横截面一阶剪切变形。即假定变形前垂直于粱中心线的平截面，在梁受载荷而弯曲变 形时仍然保持为平面，但不再垂直梁中心线． (3)可用于分析线性、大转动和大应变的非线性问题；支持弹性、粘弹、粘塑、蠕变和塑性模 型。横截面允许定义复合材料。 (4)有多种截面形式可拱选择，并支持自定义截面。 (5)beaml89为三节点梁元。 一13一
浙江大学质士学位论文2007 第2章非线性有限元理论 2,1.2坐标描述与形函数阿 精七=0 图2.1bcam189梁元示意图（图中4点为单元的方向节点） 如图2.1所示，beaml89单元的采用如下三种坐标描述： 1)整体坐标系，三个坐标轴的方向矢量：已：，其中k=1,2,3。 2)移动坐标系名，(S,}23它的原点位于横截面的形心线上，并随着横截面的转动而转动， 其中(S)总是垂直于横截面，(S)和，(S)与横截面的两个主惯性轴方向一致。 S∈[0，)]cR表示沿着未变形粱形心线的曲线坐标，tcR为时间参数。 3)局部坐标系{E,(S》25,它与移动坐标系位于同一个横截面上。在初始状态，局部坐标系 {E,(S%2和移动坐标系重合，即{E,(S以22=，(S,0以23而与移动坐标系不同的 是，局部坐标系不随横截面的方向转动而改变，坐标轴方向始终保持初始状态的指向。三个坐 标系通过正交变换进行转换： 4,(S,t)=A(S,)E,=A'yS,t)e,I=1,2,3(A表示旋转矩阵，M'=1) 2.1) 粱单元中引入剪切变形影响的方案有两种：一种是在经典梁单元的基础上引入剪切变形：另 一种是建立挠度和截面转角各自独立插值的梁单元。Baml89采取的是后一种方案，其插值形 函数为拉格朗日插值多项式： 单元中性轴上任一点的坐标为： (倒-2，sg (2.2) 单元中性轴上任一点的平动位移为：、 (S)-2N,(S)u时 (2.3) -14-
浙江大学硕士学位论文2007 第2章非线性有限元理论 2．1．2坐标描述与形函数p∞ Pt 图2．1 beaml89粱元示意图(图中4点为单元的方向节点) 如图2．1所示，beaml89单元的采用如下三种坐标描述： 1)整体坐标系，三个坐标轴的方向矢量：ek，其中k=-I，2，3· 2)移动坐标系◇(s，f)}，Ilj，，它的原点位于横截面的形心线上，并随着横截面的转动而转动， 其中如(s)总是垂直于横截面，^(S)和f2(s)与横截面的两个主惯性轴方向一致。 s∈【o，三】cR表示沿着未变形梁形心线的曲线坐标，rc足为时间参数。 3)局部坐标系{易p)}fIljj，它与移动坐标系位于同一个横截面上。在初始状态，局部坐标系 {局(s))。j)和移动坐标系重合，即{弓(s))，。。≯={‘(s，o))，。筇，而与移动坐标系不同的 是，局部坐标系不随横截面的方向转动而改变，坐标轴方向始终保持初始状态的指向。三个坐 标系通过正交变换进行转换： ‘(s，r)=A(最f)尾=A0(最，)弓，I=1，2，3(A表示旋转矩阵，从‘=1) (2．1) 粱单元中引入剪切变形影响的方案有两种：一种是在经典梁单元的基础上引入剪切变形；另 一种是建立挠度和截面转角各自独立插值的梁单元．Beaml89采取的是后一种方案，其插值形 函数为拉格朗日插值多项式： 3 单元中性轴上任一点的坐标为：xh。(s)=∑M(s)x： (2．2) JcI 3 单元中性轴上任一点的平动位移为：uh。p)=∑M(s)u? (2．3) 1-1 一】4一
新江大学硕士学位论文2007 第2章非线性有限元理论 单元中性轴上任一点的转角位移为： gS)-2N,S)9 (2.4) 其中形函数：N=-3+32N2=3+2N=1-2,X是单元节点坐标矢量，u是单 元节点平动位移矢量，是单元节点转动位移矢量，=1,2,3. 213应力与应变度量 Green应变张量： y=AS1-B (2.5) as Green应变张量是用变形前坐标表示， 它是局部坐标{E,(S}2,的函数. {o=[D]{r} (2.6) ar a 弹性矩阵为： D(S,r,K)= arar Orax Y为应变能函数 (2.7) ay r LOT8K KK 对于三维线弹性单元有： D=diag GAGA EA EI El GJ (2.8) 21.4单元切线刚度矩阵的建立及变量的更新 单元势能函数可以按下式计算： n(o,)色∫平(C,x)s-∫n4aS (2.9) [oL] 其中：Π(o,)是势能函数：平（工，K)是应变能函数，它由下式给出： rw-r,x]DG4.6%,4队.B队，a (2.10) 对上式进行线性化，并应用虚位移原理得： [G(,)]=[{()+T(}△其+P2(]=0 2.11) 其中：S()是单元线性刚度矩阵， T(可)是单元几何刚度矩阵。 -15-
撕江大学硕士学位论文2007 第2章非线性有限元理论 单元中性轴上任一点的转角位移为：观p)=∑M(s)钟 (2．4) 其中形函数：ⅣI=一J+s2Ⅳ2=s+s2Ⅳ，=l—s2，x：是单元节点坐标矢量，u?是单 ，，：At垫盟!一E (2．5) ’ aS 。 on∞n应变张量是用变形前坐标表示，它是局部坐标{历(s)}1-1,2,3的函数· {盯}=【D】∽ (2·6’ …轨郇，r，巾睡DFoT剽…蜘数 眩" 弹性矩阵为：郇，耻)sl卯 繁l甲为应变能函数 (2．7> Larar a囝茁J D=纰【鳓％K4目％凹】 (2·8’ Ⅱ(巧，矿)皇J甲(r'rp一卜哦舔 (2舯 Io习 【o捌 其中：17(o口，力是势能函数；w(r，置)是应变能函数，它由下式给出： ll，(r’茁)=三[rf，∥]。豫【叫，G如，剧，目，马，甜】仨} c：Jo， 工[谚(妒，矿)]皇矿．[{霹(≯)+零(≯)}△秽+霉(芗)]=o (2-11) 其中： 霹(≯)是单元线性刚度矩阵， 霉(歹)是单元几何刚度矩阵·
浙江大学硕士学位论文2007 第2章非线性有限元理论 {()+工()}是可构形时单元的切线刚度矩阵。 s成同x心x西 2.12) 1 0 中：-[6y1 (2.13) [×刘台p朗 0 (2.14) Lo2 0 T-x时x西 -eswr3gw小 0 -[x]N,M, 2.15 0) N1 NI (2.16 采用增量法求解时变量的更新算法： 克n1(S)=克(（S)+4(S) 2.1万 A(S)=exp[(S)]A,(S) (2.18) 其中：中(S)是上一时刻的线位移，(S)是位移增量。 A,(S)是上一时刻的旋转矩阵，xp[⊙(S)]由转角增量构成的增量旋转矩阵。 -16-
浙扛大学硬士学位论文2007 第2章非线性有限元理论 {醴(芗)+露(方))是声构形时单元的切线刚度矩阵． 路；f霉×e×茸西 靴霹_[-耀×]Z，] 『0 ■0妒k 1 【虬×】皇l妒k 0■|01 l 【一矿’佗妒．o。0 J 吃=f甲：×矽×甲：帮 如。≥啪q川以二罱端吲川删卜 2丑[矿。]Ⅳ，M{一[舻×]川以+}矿美：；。以)。]Ⅳ，M}P (2．12) (2．13) (2．14) (2．15) 其中；钟=[乞1 Z，Z。] 。．z◇ 采用增量法求解时变量的更新算法： 如州($=丸(s)+％(s) (2．17) A。。(s)=exp[o(s)]A。(s) (2．is) 其中：丸(s)是上一时刻的线位移，uo(s)是位移mm。 A。(s)是上一时刻的旋转矩阵，c)【p[@(s)]由转角增量构成的增量旋转矩阵。 一16一
浙江大学项士学位论文2007 第2章非线性有限元理论 2.2 Shell93基本理论B Triangular Option 图2.2八节点等参曲壳元 2,21hel93单元特点 如图2.2所示，Shll93单元为八节点等参曲壳单元，能用来分析塑性、应力硬化、大变形、 大应变等。 2.22坐标描述与形函数 shell93单元采取三种坐标系： 整体坐标系：XYZ,局部坐标系：y:任一一点的坐标系y,乙 x2的坐标轴方向表述：轴取坐标原点处与z同侧的外法线方向：x山轴取单位 矢量e,×e,的方向：yu轴取单位矢量e,×e,的方向。 壳体单元中任一点位移： (2.19) 它由两部分组成：前部分为节点移动引起的位移：另一部分为该点法线转动引起的位移： 0 0 w8& (=1,2,…,8)称为形函数矩阵： M=-5-刃-W+N):及=+50-小-2，+N。): N=+5+列-(+)：N=-+)-,+): -17-
浙江大学硕士学位论文2007 第2章非线性有限元理论 2．2 SheU93基本理论p61 KLO Triangular opa∞ {蛩=喜cⅣ，，仨}+套c孵，等{耋笔H：} 旺∽ FN,0 01 [M9]=l o川 o l (f=1，2，…，8)称为形函数矩阵； 【0 0 Mj Ⅳl={(1一孝)(1一，7)一≯I N。,+虮)；Ⅳ2={(1+f)(1一刁)一圭(Ⅳ5+Ⅳ6)； Ⅳ3=丢(1+善)(1+刁)一≯I,V。+Ⅳ7)；Ⅳ4=丢(1一掌)(1+，7)一≯1 AZ，+Ⅳ3)； 一17一