《高等数学》课程教学资源：第八章 多元函数微分学（8.2）偏导数

偏导数的概念可以推广到二元以上函数 如u=f(x,y,x)在(x,y,)处 ∫(x,y,x=lim ∫(x+Lx,y,x)-f(x,y,z 0 ∫,(x,y,z)=lin f∫(x,y+,x)-f(x,y, 小-0 f(x, y,i=lim/(x, J, 2+4)-/(*, J, 2) -0

如 u f(x, y,z) 在 (x, y,z) 处 , ( , , ) ( , , ) ( , , ) lim 0 x f x x y z f x y z f x y z x x        , ( , , ) ( , , ) ( , , ) lim 0 y f x y y z f x y z f x y z y y        . ( , , ) ( , , ) ( , , ) lim 0 z f x y z z f x y z f x y z z z        偏导数的概念可以推广到二元以上函数

般地设 H=∫(x1,x2…,Xn) o°=im(,+,)-f(x”, v:么-)0 ∠c i=1,2,…,n)

一般地 设 ( , , , ) 1 2 n w  f x x  x i i i n i n x i x f x x x x f x x x x w i    ( , , , , ) ( , , , , ) lim 1 1 0           (i  1,2,,n)

例1求z=x2+3x+y2在点(1,2)处的偏导数 解 0x-2x+3y; oz,t3x+2y ay z =2×1+3×2=8 ox y=2 az =3×1+2×2=7 ay x=」 Jy 2 例2设=x(x>0,x≠1), 求证+Oz 1 az 十 2Z ox Inx a 证 z ax J

例 1 求 2 2 z  x  3 xy  y 在点(1,2)处的偏导数． 解    x z 2x3y ;    y z 3x  2 y .       2 1 y x x z 21  3 2  8 ,      2 1 y x y z 31  2 2  7 . 例 2 设 y z  x ( x  0, x  1)， 求证 z y z x x z y x 2 ln 1       . 证    x z , y1 yx    y z x ln x, y

x az 1 az xy-t x Inx y ax In x ay Inx =x+x 原结论成立 例3设z= arcsin 求 ax a 解zx ax x2 y-+ r t y √x2+y2 2 IyI (x + y 2、3 2 2 r t y

y z x x z y x      ln 1 x x x yx y x y y ln ln 1 1    y y  x  x  2z. 原结论成立． 例 3 设 2 2 arcsin x y x z   ，求 x z   ， y z   . 解    x z            x x y x x y x 2 2 2 2 2 1 1 2 2 3 2 2 2 | | (x y ) y y x y     ( | |) 2 y  y . | | 2 2 x y y  

az 2 2 2 r t y (≠02/4t) 2 x ty (一 2 son 2、3 十 r t y 不存在 Oy x≠0 例4已知理想气体的状态方程pV=RT (R为常数),求证:⑦ovoT av at ap

   y z            y x y x x y x 2 2 2 2 2 1 1 2 2 3 2 2 ( ) ( ) | | x y xy y x y      x y y x 1 sgn 2 2    ( y  0) 0 0     y y x z 不存在． 例 4 已知理想气体的状态方程 pV  RT （R为常数），求证：  1         p T T V V p