志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 2.导数及其应用 课后·训练提升 1已知曲线)y是在点(3,2)处的切线与直线a+1-0垂直则a() A.2 B.-2 c D吃 答案B 解桥：因为)岩1异所以y广品所以切线的斜率为宁又因为由线在(32处的切线与直线 ax+y+1=0垂直，所以-(-a=-1,解得a=-2.故选B. 2.若x)=x2-2x-4lnx则)的单调递增区间为 () A.(-1,0) B.(-1,0)U(2,+0) C.(2,+0) D.(0,+0) 答案：C 解析/=2x-2.4=22:x2=2x+12由x>0,得x2 3.设函数x)在R上可导，其导函数为fx),且函数y=(1-x)fx)的图象如图所示，则下列结论一定成立 的是() A.函数x)有极大值2)和极小值1) B.函数x)有极大值-2)和极小值1) C.函数x)有极大值2)和极小值-2) D.函数x)有极大值-2)和极小值2) 答案D 1
1 2.导数及其应用 课后· 1.已知曲线 y= 𝑥+1 𝑥-1 在点(3,2)处的切线与直线 ax+y+1=0 垂直,则 a=( ) A.2 B.-2 C.- 1 2 D. 1 2 答案:B 解析:因为 y= 𝑥+1 𝑥-1 =1+ 2 𝑥-1 ,所以 y'=- 2 (𝑥-1) 2 ,所以切线的斜率为- 1 2 .又因为曲线在点(3,2)处的切线与直线 ax+y+1=0 垂直,所以- 1 2 ×(-a)=-1,解得 a=-2.故选 B. 2.若 f(x)=x2 -2x-4ln x,则 f(x)的单调递增区间为 ( ) A.(-1,0) B.(-1,0)∪(2,+∞) C.(2,+∞) D.(0,+∞) 答案:C 解析:f'(x)=2x-2- 4 𝑥 = 2(𝑥 2 -𝑥-2) 𝑥 = 2(𝑥+1)(𝑥-2) 𝑥 ,由 f'(x)>0,得 x>2. 3.设函数 f(x)在 R 上可导,其导函数为 f'(x),且函数 y=(1-x)·f'(x)的图象如图所示,则下列结论一定成立 的是( ) A.函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) B.函数 f(x)有极大值 f(-2)和极小值 f(1) C.函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(-2) D.函数 f(x)有极大值 f(-2)和极小值 f(2) 答案:D
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 解析：由题图可知，当x<-2时，fx)>0,当-2<x<1时x)<0,当1<x<2时，fx)<0,当x>2时fx)>0.故函数 几x)在x=-2处取得极大值，在x=2处取得极小值故选D. 4.有一边长分别为8与5的长方形，各角剪去相同的小正方形，把四边折起做成一个无盖小盒，则小盒 的最大容积为 () A20 B.18 C.16 D.14 答案B 解析：设每个正方形的边长为x,则 容积V=-(8-2x)(5-2xx=2(2x-13x2+20x)(0<x<) P=43x2-13x+10(0<x<) 令V>0,得0<x<1 令r<0,得1Kx号 故当x=1时，Vmax=18.故小盒的最大容积为18. 5.(多选题)已知函数fx)=xnx,若0<x1<2,则下列结论正确的是() A.xfx)<xfx2) Bx1+x1)<+x2) C(x-f(x20 x1-x2 D.当lnx1>-1时，xx)+x2)>2xx) 答案：AD 解析：令g)四=nx则gx)在区间(0，+o)内是增函数， .当0<x1<2时，gx1)gx2), 即<f2,即x)<x. x1 故A正确。 令hx)=fx)+x=xlnx+x, .h'(x)=nx+2 .当x∈(e2,+o)时，h'(x)>0,hx)单调递增； 2
2 解析:由题图可知,当 x<-2 时,f'(x)>0;当-2<x<1 时,f'(x)<0;当 1<x<2 时,f'(x)<0;当 x>2 时,f'(x)>0.故函数 f(x)在 x=-2 处取得极大值,在 x=2 处取得极小值.故选 D. 4.有一边长分别为 8 与 5 的长方形,各角剪去相同的小正方形,把四边折起做成一个无盖小盒,则小盒 的最大容积为 ( ) A.20 B.18 C.16 D.14 答案:B 解析:设每个正方形的边长为 x,则 容积 V=(8-2x)·(5-2x)x=2(2x 3 -13x 2+20x)(0 < 𝑥 < 5 2 ). V'=4(3x 2 -13x+10)(0 < 𝑥 < 5 2 ). 令 V'>0,得 0<x<1, 令 V'<0,得 1<x<5 2 , 故当 x=1 时,Vmax=18.故小盒的最大容积为 18. 5.(多选题)已知函数 f(x)=xln x,若 0<x1<x2,则下列结论正确的是( ) A.x2f(x1)<x1f(x2) B.x1+f(x1)<x2+f(x2) C. 𝑓(𝑥1)-𝑓(𝑥2) 𝑥1-𝑥2 <0 D.当 ln x1>-1 时,x1f(x1)+x2f(x2)>2x2f(x1) 答案:AD 解析:令 g(x)= 𝑓(𝑥) 𝑥 =ln x,则 g(x)在区间(0,+∞)内是增函数, ∴当 0<x1<x2 时,g(x1)<g(x2), 即 𝑓(𝑥1) 𝑥1 < 𝑓(𝑥2) 𝑥2 ,即 x2f(x1)<x1f(x2). 故 A 正确. 令 h(x)=f(x)+x=xln x+x, ∴h'(x)=ln x+2, ∴当 x∈(e-2 ,+∞)时,h'(x)>0,h(x)单调递增;
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 当x∈(0，e2)时，h'(x)<0,hx)单调递减. +x)与？+fx2)无法比较大小 故B错误 令m(x)=x-x=xlnx-x, ∴.m(x)=nx, ∴.当x∈(0,1)时，m'(x)<0,mx)单调递减 当x∈(1，+oo)时，m'(x)>0,m(x)单调递增 当1<x1<n时，m(x1)<m(x2)为 即x)-x≤x2)x2, x)jx2)x1-x2.又x1-x2<0, :ff20,故C错误」 x1-x2 fx)=lnx+l,当lnx>-1时fx)>0,x)单调递增. 又lnx1>-l,1<2,∴x)x2) 又fx)xx2) .xfx)+2)-2x2x)>x(x1fx2)+x(/x2)fx)=(x1-)xf2)>0.故D正确.故选AD. 6.函数x)=e'(x+1)的图象在点(0,0)处的切线方程是 答案y=2x+1 解析：由x)=c(x+1),得fx)=e(x+1)+e=(x+2)e,则f0)=2.又f0)=1,故所求切线方程为y1=2(x-0), 即y=2x+1 7.己知函数x)=x3.3ar+b(a>0)的极大值为6，极小值为2，则x)的单调递减区间为 答案(-1,1) 解析：令fx)=3x2-3a=0,得x=±√a由题意得va)=-2aa+b=2,-Va)-2ava+b=6,解得a=1,b=4.由 fx)=3x2-3<0,得-1<x<1.故x)的单调递减区间为(-1,1). 8若函数x)=x2x+1在其定义域内的一个子区间k1,k+1)内不是单调函数，则实数k的取值范围 为 答案[1，引 3
3 当 x∈(0,e-2 )时,h'(x)<0,h(x)单调递减. ∴x1+f(x1)与 x2+f(x2)无法比较大小. 故 B 错误. 令 m(x)=f(x)-x=xln x-x, ∴m'(x)=ln x, ∴当 x∈(0,1)时,m'(x)<0,m(x)单调递减; 当 x∈(1,+∞)时,m'(x)>0,m(x)单调递增. 当 1<x1<x2 时,m(x1)<m(x2), 即 f(x1)-x1<f(x2)-x2, ∴f(x1)-f(x2)<x1-x2.又 x1-x2<0, ∴ 𝑓(𝑥1)-𝑓(𝑥2) 𝑥1-𝑥2 >0,故 C 错误. f'(x)=ln x+1,当 ln x>-1 时,f'(x)>0,f(x)单调递增. 又 ln x1>-1,x1<x2,∴f(x1)<f(x2). 又 x2f(x1)<x1f(x2), ∴x1f(x1)+x2f(x2)-2x2f(x1)>x1(f(x1)-f(x2))+x2(f(x2)-f(x1))=(x1-x2)(f(x1)-f(x2))>0.故 D 正确.故选 AD. 6.函数 f(x)=e x (x+1)的图象在点(0,f(0))处的切线方程是 . 答案:y=2x+1 解析:由 f(x)=e x (x+1),得 f'(x)=e x (x+1)+e x=(x+2)ex ,则 f'(0)=2.又 f(0)=1,故所求切线方程为 y-1=2(x-0), 即 y=2x+1. 7.已知函数 f(x)=x3 -3ax+b(a>0)的极大值为 6,极小值为 2,则 f(x)的单调递减区间为 . 答案:(-1,1) 解析:令 f'(x)=3x 2 -3a=0,得 x=±√𝑎.由题意得 f(√𝑎)=-2a√𝑎+b=2,f(-√𝑎)=2a√𝑎+b=6,解得 a=1,b=4.由 f'(x)=3x 2 -3<0,得-1<x<1.故 f(x)的单调递减区间为(-1,1). 8.若函数 f(x)=x2 - 1 2 ln x+1 在其定义域内的一个子区间(k-1,k+1)内不是单调函数,则实数 k 的取值范围 为 . 答案:[1, 3 2 )
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 解析：函教)的定义域为0，+o-2x去=2+W2型由/>0，得x由0，得0<要使 2x 函数x)在定义域内的一个子区间(k1,k+1)内不是单调函数，则有0≤1<k+1,解得1≤k故k的 取值范围为1，》 9.某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售α件.通过 改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的 百分率为x(0<x<1),那么月平均销售量减少的百分率为x2.设改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月 平均利润是单位：元). (1)写出y与x的函数解析式： (2)改进工艺后，试确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大，并求出最大利 润。 解：(1)改进工艺后，每件产品的销售价为20(1+x)元，月平均销售量为(1-x2)件， 则月平均利润y=a1-x2)[20(1+x)-15]=5a(1+4x-x2-4x3)0<xr<1). (2)由y'=5a(4-2x-12x2)=0, 得x(x=舍去) 当0<x<时y>0,函数为增函数： 当<1时，0，函数为减函数， 所以函数)=5a1+4x2-4r0<x<1)在x处取得极大值，也是最大值 故改进工艺后，产品的销售价为20×(1+)-30（元）时，旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大，最 大为元 10.已知=a(x-lnx+2安a∈R (1)讨论x)的单调性： (2)当a=1时，证明x)>f)+2对于任意的x∈[1,2]成立. (1)解x)的定义域为(0，+o), wa是-是+导=2 x3 4
4 解析:函数 f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=2x- 1 2𝑥 = (2𝑥+1)(2𝑥-1) 2𝑥 .由 f'(x)>0,得 x>1 2 ,由 f'(x)<0,得 0<x<1 2 .要使 函数 f(x)在定义域内的一个子区间(k-1,k+1)内不是单调函数,则有 0≤k-1< 1 2 <k+1,解得 1≤k<3 2 .故 k 的 取值范围为[1, 3 2 ). 9.某市旅游部门开发一种旅游纪念品,每件产品的成本是 15 元,销售价是 20 元,月平均销售 a 件.通过 改进工艺,产品的成本不变,质量和技术含金量提高,市场分析的结果表明,如果产品的销售价提高的 百分率为 x(0<x<1),那么月平均销售量减少的百分率为 x 2 .设改进工艺后,旅游部门销售该纪念品的月 平均利润是 y(单位:元). (1)写出 y 与 x 的函数解析式; (2)改进工艺后,试确定该纪念品的售价,使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大,并求出最大利 润. 解:(1)改进工艺后,每件产品的销售价为 20(1+x)元,月平均销售量为 a(1-x 2 )件, 则月平均利润 y=a(1-x 2 )[20(1+x)-15]=5a(1+4x-x 2 -4x 3 )(0<x<1). (2)由 y'=5a(4-2x-12x 2 )=0, 得 x= 1 2 (𝑥 = - 2 3 (舍去)). 当 0<x<1 2时,y'>0,函数为增函数; 当 1 2 <x<1 时,y'<0,函数为减函数, 所以函数 y=5a(1+4x-x 2 -4x 3 )(0<x<1)在 x= 1 2 处取得极大值,也是最大值. 故改进工艺后,产品的销售价为 20×(1 + 1 2 )=30(元)时,旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大,最 大为45𝑎 4 元. 10.已知 f(x)=a(x-ln x)+ 2𝑥-1 𝑥 2 ,a∈R. (1)讨论 f(x)的单调性; (2)当 a=1 时,证明:f(x)>f'(x)+ 3 2 对于任意的 x∈[1,2]成立. (1)解:f(x)的定义域为(0,+∞). f'(x)=a- 𝑎 𝑥 − 2 𝑥 2 + 2 𝑥 3 = (𝑎𝑥 2 -2)(𝑥-1) 𝑥 3
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 当a≤0时，x∈(0，I)时fx)>0,x)单调递增，x∈(1，+oo)时/x)<0,x)单调递减 当a>0时 ((+周 00a时尽1， 当e0,1或e(层+时P0单调道增，当∈(1周 时fx)<0,)单调递减。 ②a-2时层1，在x∈0，+国内≥0，阳单调道增 ③g2酰0厚L 当：e(0目气e,+o时sP0四学调适常当（月1t四-0羊河港成 综上所述，当a≤0时，x)在区间(0,1)内单调递增，在区间(1，+o)内单调递减； 当0时在区同@)内装在区问(，月内羽通减在区问（厚+内润瑞： 当a=2时八x)在区间(0，+o)内单调递增 当a>2时)在区问0目内单润通增在区同（层1内半词道减在区间(L,+o)内单河道增 (2i证明（1)知，a=1时x/xxnx+安-(（1-2是+)=lnx+是+克-导-1，xe[,2 设g=xlnx是+克-是1，xe[l,2斗 则x)fx)=gx)+h(x), 由g)≥0，可得x)≥g1)=1, 当且仅当x=1时取得等号. 又h)3r22x+6 x4 设p(x)=-3x2-2x+6,则0(x)在x∈[1,2]上单调递减，因为p(1)=1,p(2)=-10, 所以30∈(1,2)，使得x∈(1，xo)时，p(x)>0,x∈(x0,2)时p(x水0. 所以hx)在区间(1，o)内单调递增，在区间（和，2）内单调递减. 由M1)=1,2)之可得x)≥(2)2当且仅当x=2时取得等号. 所以/>gI)+h2)-是 3
5 当 a≤0 时,x∈(0,1)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减. 当 a>0 时, f'(x)= 𝑎(𝑥-1) 𝑥 3 (𝑥-√ 2 𝑎 )(𝑥 + √ 2 𝑎 ). ①0<a<2 时,√ 2 𝑎 >1, 当 x∈(0,1)或 x∈(√ 2 𝑎 , + ∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当 x∈(1,√ 2 𝑎 )时,f'(x)<0,f(x)单调递减. ②a=2 时,√ 2 𝑎 =1,在 x∈(0,+∞)内,f'(x)≥0,f(x)单调递增. ③a>2 时,0<√ 2 𝑎 <1, 当 x∈(0,√ 2 𝑎 )或 x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当 x∈(√ 2 𝑎 ,1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减. 综上所述,当 a≤0 时,f(x)在区间(0,1)内单调递增,在区间(1,+∞)内单调递减; 当 0<a<2 时,f(x)在区间(0,1)内单调递增,在区间(1,√ 2 𝑎 )内单调递减,在区间(√ 2 𝑎 , + ∞)内单调递增; 当 a=2 时,f(x)在区间(0,+∞)内单调递增; 当 a>2 时,f(x)在区间(0,√ 2 𝑎 )内单调递增,在区间(√ 2 𝑎 ,1)内单调递减,在区间(1,+∞)内单调递增. (2)证明:由(1)知,a=1 时,f(x)-f'(x)=x-ln x+2𝑥-1 𝑥 2 − (1- 1 𝑥 - 2 𝑥 2 + 2 𝑥 3 )=x-ln x+3 𝑥 + 1 𝑥 2 − 2 𝑥 3 -1,x∈[1,2]. 设 g(x)=x-ln x,h(x)= 3 𝑥 + 1 𝑥 2 − 2 𝑥 3 -1,x∈[1,2]. 则 f(x)-f'(x)=g(x)+h(x). 由 g'(x)= 𝑥-1 𝑥 ≥0,可得 g(x)≥g(1)=1, 当且仅当 x=1 时取得等号. 又 h'(x)= -3𝑥 2 -2𝑥+6 𝑥 4 , 设 φ(x)=-3x 2 -2x+6,则 φ(x)在 x∈[1,2]上单调递减,因为 φ(1)=1,φ(2)=-10, 所以∃x0∈(1,2),使得 x∈(1,x0)时,φ(x)>0,x∈(x0,2)时,φ(x)<0. 所以 h(x)在区间(1,x0)内单调递增,在区间(x0,2)内单调递减. 由 h(1)=1,h(2)= 1 2 ,可得 h(x)≥h(2)= 1 2 ,当且仅当 x=2 时取得等号. 所以 f(x)-f'(x)>g(1)+h(2)= 3 2