注当定理中的方阵为不定时,并不能说明∫(x)不是极值。例 如,在求函数f(x,y,z)=x2+y2-z2在约束条件z=0下的极值时,构造 agrange函数(x,y,z)=x2+y2-z2-,并解方程组 L=2x=0 L,=2y=0 L.=-2z-2=0, 2= 得x=y=2=4=0。而在000)点,方阵 200 00-2 是不定的。但在约束条件z=0下,f(x,y,z)=x2+y2f(00)=0,即 f(00是条件极小值
注 当定理中的方阵为不定时，并不能说明 )(x0 f 不是极值。例 如，在求函数 222 ),,( −+= zyxzyxf 在约束条件 z = 0下的极值时，构造 Lagrange 函数 −−+= λzzyxzyxL 222 ),,( ，并解方程组 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = =−−= == == 0 ,02 ,02 ,02 z zL yL xL z y x λ 得 = zyx λ === 0。而在 )0,0,0,0( 点，方阵 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 200 020 002 zzzyzx yzyyyx xzxyxx LLL LLL LLL 是不定的。但在约束条件 z = 0下， ),,( 0)0,0,0( 22 fyxzyxf =≥+= ，即 f )0,0,0( 是条件极小值
在实际问题中往往遇到的是求最值问题,这时可以根据问题本身 的性质判定最值的存在性。这样的话,只要把用 Lagrange乘数法所解 得的点的函数值加以比较,最大的(最小的)就是所考虑问题的最大 值(最小值) 例12.7.1要制造一个容积为a立方米的无盖长方形水箱,问这 个水箱的长、宽、高为多少米时,用料最省? 解设水箱的长为x、宽为y、高为z(单位:米),那么问题就变 成在水箱容积 x2=a 的约束条件下,求水箱的表面积 s(x, y, =)=xy+2xz+2yz 的最小值
在实际问题中往往遇到的是求最值问题，这时可以根据问题本身 的性质判定最值的存在性。这样的话，只要把用 Lagrange 乘数法所解 得的点的函数值加以比较，最大的（最小的）就是所考虑问题的最大 值（最小值） 。 例 12.7.1 要制造一个容积为 a立方米的无盖长方形水箱，问这 个水箱的长、宽、高为多少米时，用料最省？ 解 设水箱的长为 x、宽为 y 、高为 z（单位：米），那么问题就变 成在水箱容积 = axyz 的约束条件下，求水箱的表面积 = + + 22),,( yzxzxyzyxS 的最小值