固体力学学报 VoL 21 No 4 ACTA MECHANICA SOL IDA SINICA December 2000 叠层结构陶瓷强韧化设计的力学分析 郭香华蔡乾煌 汪长安黄勇 (清华大学工程力学系,北京,10004(清华大学材料科学与工程系,北京,100089 摘要基于梁的理论和裂纹在异材界面上拐折与扩展条件,对叠层结构陶瓷弯曲试件的 强度与韧性进行了力学分析,获得叠层结构中陶瓷基片和界面层的材料性能、结构几何参数与 叠层结构弯曲强度、韧性间的定量解析关系给出相应的影响曲线,并对SN/BN叠层结构四点 弯曲试样断裂功的理论值与实验结果作对比讨论 关键词叠层结构陶瓷,载荷位移曲线,界面断裂韧性,强韧化设计 1引言 叠层结构强韧化设计的关键在于保强增韧近年来,仿生(如仿竹木、仿贝壳珍珠层)结 构材料的研制受到人们的重视叠层结构陶瓷就是较早出现的具有仿生特征的一种3.在 这种结构中,强而硬的陶瓷基片与相对弱而软的薄界面层相粘结.由于弱界面层的存在,当 结构中出现初始裂纹,在外载荷驱动下,裂纹在扩展过程中会发生沿界面的偏折与扩展,从 而使耗能増加,大大提高了断裂功.由于弱介质所占比例较小,可以使整体强度降低不大 Liu和Hsu4进行了SiN4BN叠层结构的研制和四点弯曲实验结果显示,对于平直排布叠 层结构,其平均断裂功可达6500J/m2.清华大学郭海等制备的SN/BN叠层结构的表观 断裂韧性达20.1MPam2,与SiN4块体材料相比提高了2.29倍.Ca和Eans对双层异 材四点弯曲试样进行了界面断裂韧性实验研究 Charalamibides等l从材料力学梁的理论出 发给出上述试样的界面能量释放率表达式 Phillipp等8从简单的叠层梁模型和弯曲强度 控制条件研究了界面裂纹对断裂功的影响本文利用梁的理论和裂纹在异材界面中的拐折 与扩展条件给出陶瓷多层结构的弯曲强度、韧性与基片(硬层)和界面层(薄软层)材料、几何 参数不同匹配的关系和影响曲线,并以SiN4BN叠层结构四点弯曲试样为例将力学分析结 果与实验结果进行对比讨论.由此得到的一些结论可为此类陶瓷叠层材料的设计与硏制提 供有益的参考 2叠层结构的弯曲强度 2.1力学模型及应力分析 图1所示为叠层结构四点弯曲试样的应力分析模型结构由硬层(陶瓷基片)与软层(界 ①国家自然科学基金资助项目(批准号:59632090) 19990618收稿 201994-2009ChinaacAdemicJournaleLectronicPublishingHouse.Allrightsreservedhttp://www.cnki
叠层结构陶瓷强韧化设计的力学分析 ① 郭香华 蔡乾煌 汪长安 黄 勇 (清华大学工程力学系 ,北京 ,100084) (清华大学材料科学与工程系 ,北京 ,100084) 摘 要 基于梁的理论和裂纹在异材界面上拐折与扩展条件 ,对叠层结构陶瓷弯曲试件的 强度与韧性进行了力学分析 ,获得叠层结构中陶瓷基片和界面层的材料性能、结构几何参数与 叠层结构弯曲强度、韧性间的定量解析关系 ,给出相应的影响曲线 ,并对 Si3N4/ BN 叠层结构四点 弯曲试样断裂功的理论值与实验结果作对比讨论. 关键词 叠层结构陶瓷 ,载荷2位移曲线 ,界面断裂韧性 ,强韧化设计 1 引言 叠层结构强韧化设计的关键在于保强增韧. 近年来 ,仿生(如仿竹木、仿贝壳珍珠层) 结 构材料的研制受到人们的重视. 叠层结构陶瓷就是较早出现的具有仿生特征的一种[1～3 ] . 在 这种结构中 ,强而硬的陶瓷基片与相对弱而软的薄界面层相粘结. 由于弱界面层的存在 ,当 结构中出现初始裂纹 ,在外载荷驱动下 ,裂纹在扩展过程中会发生沿界面的偏折与扩展 ,从 而使耗能增加 ,大大提高了断裂功. 由于弱介质所占比例较小 ,可以使整体强度降低不大. Liu 和 Hsu [4 ]进行了 Si3N4/ BN 叠层结构的研制和四点弯曲实验. 结果显示 ,对于平直排布叠 层结构 ,其平均断裂功可达 6500 J/ m 2 . 清华大学郭海等[5 ]制备的 Si3N4/ BN 叠层结构的表观 断裂韧性达 20. 1 MPa·m 1/ 2 ,与 Si3N4 块体材料相比提高了 2. 29 倍. Cao 和 Evans [6 ]对双层异 材四点弯曲试样进行了界面断裂韧性实验研究. Charalamibides 等[7 ]从材料力学梁的理论出 发给出上述试样的界面能量释放率表达式. Phillipps 等[8 ]从简单的叠层梁模型和弯曲强度 控制条件研究了界面裂纹对断裂功的影响. 本文利用梁的理论和裂纹在异材界面中的拐折 与扩展条件给出陶瓷多层结构的弯曲强度、韧性与基片(硬层) 和界面层(薄软层) 材料、几何 参数不同匹配的关系和影响曲线 ,并以 Si3N4/ BN 叠层结构四点弯曲试样为例将力学分析结 果与实验结果进行对比讨论. 由此得到的一些结论可为此类陶瓷叠层材料的设计与研制提 供有益的参考. 2 叠层结构的弯曲强度 2. 1 力学模型及应力分析 图 1 所示为叠层结构四点弯曲试样的应力分析模型. 结构由硬层(陶瓷基片) 与软层(界 第21卷 第4期 2000年 12 月 固 体 力 学 学 报 ACTA MECHANICA SOLIDA SINICA Vol. 21 No. 4 December 2000 ① 国家自然科学基金资助项目(批准号 : 59632090) . 1999206218 收稿
314· 固体力学学报 200年第21卷 面层)按一定制备工艺层合而成硬层厚度、弹性模量、泊松比分别为h2、E2、2;软层相应量 为h1、E1、Ⅵ1,且有h1+h2=h.设梁为有限长梁,跨度为2L,总厚度为H,宽度为B,并假设 1)H2L④.2,细长梁; 2)挠度w(x与曲率半径p(x之比,即w(x)/p(x)《1,小挠度梁 (3)每层软层厚度h大大小于硬层厚度h2,即h1《h2 图1四点弯曲模型简图 设梁的硬层为奇数层,在图1所示坐标下,根据材料力学梁的纯弯理论可写出正应变与 正应力的表达式 0=E(y·4=fysy 2或 LM 其中M为纯弯段的弯矩,Σ为等效抗弯刚度.设总层数m=2n-1,则H=mh-h1 E, BH h+h2 E? h+B22 (-1h+h/2 12(mh-h/3、⊥E2-Ei丿B h(m-11 弯曲正应力表达式 ELuM Ea(mh 最大弯曲剪应力发生在横弯段中离中性层(x轴)最近的界面层上 (5) 其中Q为剪力,最大等效静矩为 E(y)yda8/ H.h2, E2. El Bhh,(m2.I 2.2弯曲强度分析 上述叠层结构四点弯曲试样加载后可能先在r处出现界面层层间剪切失效,也可能 先在σ处出现弯曲破坏.这取决于破坏控制条件.假定先出现弯曲破坏,则其控制条件为 201994-2009ChinaaCademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreservedhttp:/www.cnki
面层) 按一定制备工艺层合而成. 硬层厚度、弹性模量、泊松比分别为 h2、E2、ν2 ;软层相应量 为 h1、E1、ν1 ,且有 h1 + h2 = h. 设梁为有限长梁 ,跨度为 2L ,总厚度为 H ,宽度为 B ,并假设 (1) H/ (2L) ≤0. 2 ,细长梁; (2) 挠度 w ( x) 与曲率半径ρ( x) 之比 ,即 w ( x) /ρ( x) ν 1 ,小挠度梁; (3) 每层软层厚度 h1 大大小于硬层厚度 h2 ,即 h1 ν h2 . 图 1 四点弯曲模型简图 设梁的硬层为奇数层 ,在图 1 所示坐标下 ,根据材料力学梁的纯弯理论可写出正应变与 正应力的表达式 εx = y ρ , σx = E( y) ·εx = E( y) ·y ρ (1) M =∫ H/ 2 - H/ 2 EBy 2 ρ d y 或 1 ρ = M Σ (2) Σ =∫ H/ 2 - H/ 2 B E( y) y 2 d y (3a) 其中 M 为纯弯段的弯矩 ,Σ为等效抗弯刚度. 设总层数 m = 2 n - 1 ,则 H = mh - h1 Σ = E2 BH 3 12 - 2 ( E2 - E1 ) y 3 3 h - h 2 / 2 h 2 / 2 + y 3 3 2 h - h 2 / 2 h+ h 2 / 2 + …+ y 3 3 ih - h 2 / 2 ( i- 1) h+ h 2 / 2 + …+ y 3 3 nh+ h 2 / 2 ( n - 1) h - h 2 / 2 = E2 B 12 ( mh - h1 ) 3 - ( E2 - E1 ) B 12 h 3 1 ( m - 1) 1 + h h1 2 m ( m - 2) (3b) 弯曲正应力表达式 σx = E( y) M Σ y , σmax (2) = E2 M 2Σ ( mh - h1 ) (4) 最大弯曲剪应力发生在横弯段中离中性层( x 轴) 最近的界面层上 , τmax = Q BΣSz ,max (5) 其中 Q 为剪力 ,最大等效静矩为 Sz ,max =∫A 3 E( y) ydA = E2 B 8 ( H 2 - h 2 2 ) - E2 - E1 8 Bhh1 ( m 2 - 1) (6) 2. 2 弯曲强度分析 上述叠层结构四点弯曲试样加载后可能先在τmax处出现界面层层间剪切失效 ,也可能 先在σmax处出现弯曲破坏. 这取决于破坏控制条件. 假定先出现弯曲破坏 ,则其控制条件为 σmax (2) τmax ≥ σ(2) b τi (7) ·314 · 固体力学学报 2000 年 第 21 卷
第4期 郭香华等:叠层结构陶瓷强韧化设计的力学分析 315· 其中为硬层材料的极限强度,τ为界面层的抗剪强度.式(4)、(3b)、(5)、(6)代入(7) 对四点弯曲试验,M=p,Q=p,得 BEI mh- hI 此式为四点弯曲试样出现弯曲破坏前梁的两端不出现界面剪切失效的长度的控制条件 现分析由于弱界面层的引入对叠层结构强度的影响由式(5)和条件c=0有 (9a) E2 H 对相应纯硬层梁(块体),有 BH=6, M= BHo2 (9b) 定义强度降低系数k=MMMB,引入式(9a)、(9b)和(3b)有 k 1=1.1·1A(m=1B+mm=21 (9c) 其中A=E2/E1,Ab=h1/h=h1/(h1+h2 图234分别给出k随m、和的变化曲 线,由此及式(9)有以下结论 1)m较大时,m增大,对k影响不大 (略有下降),由图2可知,m>20时,k值趋 于平缓 h/h2=1,0 门2)如图4,λ增大,k有较大下降,当 l>10,下降趋于平缓 3)如图3,4增大软层相对变厚),k 图24=1/16,h/h=1.00.50.2 明显下降;当在0<λ<0.5范围内,有0.05 0.10.05时,k随m的变化曲线 sk,即h1=h2时,强度降低不会超过50%当h1/h2<0.1时,强度降低不会超过10% 10.020.0 h/h2=1.0 0.5 h1/h2 图3m=50,E/E1=1.02.5、5.0、10.0 图4m=50,h/h=1.00.50.20.1 20.0时,k随h1/h2的变化曲线 0.05时,k随的变化曲线 201994-2009ChinaaCademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreservedhttp:/www.cnki
其中σ(2) b 为硬层材料的极限强度 ,τi 为界面层的抗剪强度. 式 (4) 、(3b) 、(5) 、(6) 代入 (7) , 对四点弯曲试验 ,M = pl , Q = p ,得 l ≥ 2σ(2) b B E2τi · Sz ,max mh - h1 (8) 此式为四点弯曲试样出现弯曲破坏前梁的两端不出现界面剪切失效的长度 l 的控制条件. 现分析由于弱界面层的引入对叠层结构强度的影响. 由式(5) 和条件σ(2) max =σ2 b 有 Mb = 2Σσ(2) b E2 H (9a) 对相应纯硬层梁(块体) ,有 σmax 0 = 6 M BH 2 = σ(2) b , M 0 b = BH 2σ(2) b 6 (9b) 定义强度降低系数 k = Mb/ M 0 b ,引入式(9a) 、(9b) 和(3b) 有 k = Mb M 0 b = 1 - 1 - 1/λe ( m - 1) [λ2 h + m ( m - 2) ] ( m - λh ) 3 (9c) 图 2 λe = 1/ 16 , h1/ h2 = 1. 0、0. 5、0. 2、 0. 1、0. 05 时 , k 随 m 的变化曲线 其中λe = E2/ E1 , λh = h1/ h = h1/ ( h1 + h2 ) , 图 2、3、4 分别给出 k 随 m、λh 和λe 的变化曲 线 ,由此及式(9c) 有以下结论 : (1) m 较大时 , m 增大 ,对 k 影响不大 (略有下降) ,由图 2 可知 , m > 20 时 , k 值趋 于平缓. (2) 如图 4 ,λe 增大 , k 有较大下降 ,当 λe > 10 ,下降趋于平缓. (3) 如图 3 , λh 增大(软层相对变厚) , k 明显下降;当在 0 <λh < 0. 5 范围内 ,有 0. 05 ≤k ≤1 ,即 h1 = h2 时 ,强度降低不会超过 50 %. 当 h1/ h2 < 0. 1 时 ,强度降低不会超过 10 %. 图 3 m = 50 , E2/ E1 = 1. 0、2. 5、5. 0、10. 0、 图 4 m = 50 , h1/ h2 = 1. 0、0. 5、0. 2、0. 1、 20. 0 时 , k 随 h1/ h2 的变化曲线 0. 05 时 , k 随λe 的变化曲线 第 4 期 郭香华等 : 叠层结构陶瓷强韧化设计的力学分析 ·315 ·
316· 固体力学学报 2000年第21卷 算例1现引入文[4]、[9]中SiN4/BN叠层结构四点弯曲试样的有关数据:m=55,E2=270 GPa. E1=20 GPa, h=5 Wm, h2=50 Hm, H=3 mm. B=4 mm 2L =20 mm, 1=10 mm, oh 450 MPa, T=30 MPa, Te=120 J/mf, I=30 J/m 计算(1)2=2.1584N·m2,S:mx=111.5N·m,由 B得容许载荷P39.8 N,由mx=得P32.4N.因此先剪切失效概率大,由式(8)重新设计10.3mm,可取 l=12mm.(2)由式(9)算得k=92%,即强度下降了8% 在强度降低不大的前提下,尽量提高材料韧性是叠层结构陶瓷设计的主要目标.从图 234可看出,当m>20,h1/h2<0.1,EE1>10时,k值趋于稳定且k>90%,这对实际材 料制备有一定参考价值 3叠层结构的断裂韧性和断裂功 3.1韧性分析的力学模型 叠层结构陶瓷的韧化行为与裂纹沿弱界面层的拐折分不开,而异材界面裂纹本质上是 混合型的,即Ⅰ型和Ⅲ型裂纹场不能解耦.但界面裂纹推动力如用能量释放率G来表示将 是适当而方便的 Charalamibides等人门用材料力学梁的理论根据能量平衡原理给出异材叠 层梁在四点弯曲情况下界面裂纹扩展的能量释放率表达式,其结果与有限元结果符合很好 为了预估双材料多层梁中裂纹在弱界面的拐折与扩展对增韧的贡献,现建立图5所示 力学模型,它在出现裂纹之前仍符合上节中关于应力分析的基本假设,现作进一步假设 (1)采用位移加载加载点位移增加到一定值时,梁的上缘跨中首先出现垂直于层面、 深入厚度方向的垂直裂纹,扩展至临界长度L后裂纹向界面拐折扩展(设同时向两边对称 扩展),界面裂纹达到一定长度a后止裂此过程中加载点位移保持不变,亦即裂纹扩展所 需能量完全由试样应变能提供.此后加载点位移继续增加并达一定值时(此位移区间内,界 面裂纹可能停止扩展,或继续扩展至临界长度a垂直裂纹重新起裂,下一裂纹扩展阶段随 即开始,以此交替进行直至多层梁完全断裂破坏 几 区 图5裂纹扩展模型示意图 201994-2009ChinaaCademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreservedhttp:/www.cnki
算例 1 现引入文[4 ] 、[9 ]中 Si3N4/ BN 叠层结构四点弯曲试样的有关数据 : m = 55 , E2 = 270 GPa , E1 = 20 GPa , h1 = 5μm, h2 = 50μm, H = 3 mm ,B = 4 mm ,2L = 20 mm , l = 10 mm ,σ(2) b = 450 MPa , τi = 30 MPa , Γ(2) = 120 J/ m 2 , Γi = 30 J/ m 2 . 计算 (1) Σ = 2. 1584 N ·m 2 , Sz ,max = 1114. 5 N ·m ,由σmax (2) =σ(2) b 得容许载荷 Pb ≤239. 8 N ,由τmax =τi 得 Pb ≤232. 4 N. 因此先剪切失效概率大 ,由式(8) 重新设计 l ≥10. 3 mm ,可取 l = 12 mm. (2) 由式(9) 算得 k = 92 % ,即强度下降了 8 %. 在强度降低不大的前提下 ,尽量提高材料韧性是叠层结构陶瓷设计的主要目标. 从图 2、3、4 可看出 ,当 m > 20 , h1/ h2 < 0. 1 , E2/ E1 > 10 时 , k 值趋于稳定且 k > 90 % ,这对实际材 料制备有一定参考价值. 3 叠层结构的断裂韧性和断裂功 3. 1 韧性分析的力学模型 叠层结构陶瓷的韧化行为与裂纹沿弱界面层的拐折分不开 ,而异材界面裂纹本质上是 混合型的 ,即 Ⅰ型和 Ⅱ型裂纹场不能解耦. 但界面裂纹推动力如用能量释放率 G 来表示将 是适当而方便的. Charalamibides 等人[7 ]用材料力学梁的理论 ,根据能量平衡原理给出异材叠 层梁在四点弯曲情况下界面裂纹扩展的能量释放率表达式 ,其结果与有限元结果符合很好. 为了预估双材料多层梁中裂纹在弱界面的拐折与扩展对增韧的贡献 ,现建立图 5 所示 力学模型 ,它在出现裂纹之前仍符合上节中关于应力分析的基本假设 ,现作进一步假设. (1) 采用位移加载. 加载点位移增加到一定值时 ,梁的上缘跨中首先出现垂直于层面、 深入厚度方向的垂直裂纹 ,扩展至临界长度 tc 后裂纹向界面拐折扩展(设同时向两边对称 扩展) ,界面裂纹达到一定长度 a 后止裂. 此过程中加载点位移保持不变 ,亦即裂纹扩展所 需能量完全由试样应变能提供. 此后加载点位移继续增加并达一定值时(此位移区间内 ,界 面裂纹可能停止扩展 ,或继续扩展至临界长度 ac ) 垂直裂纹重新起裂 ,下一裂纹扩展阶段随 即开始 ,以此交替进行直至多层梁完全断裂破坏. 图 5 裂纹扩展模型示意图 ·316 · 固体力学学报 2000 年 第 21 卷
第4期 郭香华等:叠层结构陶瓷强韧化设计的力学分析 317· 2)在位移加载过程中,若有界面裂纹扩展,只有最深一层裂纹在扩展,其它已扩展裂 纹长度则保持不变 3)垂直裂纹长度t和界面裂纹长度a形成后,梁的对应部分脱离梁的整体而失去抗 弯能力,此部分应变能的损失全部用于垂直与界面裂纹扩展 4)垂直裂纹扩展临界应变能释放率冖主要取决于硬层材料,考虑弱界面层的影响 可按混合率估算.即r=ah2/h+门h/h,界面裂纹扩展临界应变能释放率一般说来 与断裂混合度有关,对于四点弯曲试样ψ=40°~60°,此时可近似认为不随裂纹长度变 化而变化78 3.2界面裂纹扩展的能量释放率G 梁的柔度C随界面裂纹扩展长度a而变化,G与C(a有如下关系 p dc 如图5所示,利用材料力学的梁理论,可写出梁的挠度方程,并进一步给出图示坐标下加载 点挠度、相应柔度和能量释放率表达式 A1(L +I)+BI C=.=L+∥3A1L+∥B1 (L +D 13) P 推导过程及积分常数A1、B1见附录A.G与最深一层界面裂纹临界长度an达到哪个区域有 关,因此AB区与OA区分别表示 G=2 可见,在位移加载条件下,G不仅与相应两层的等效抗弯刚度有关,还与界面裂纹扩展长度 a有关 3.3垂直裂纹向界面裂纹的拐折与扩展 叠层结构陶瓷增韧设计的关键是在保强条件下尽量使裂纹在界面处发生拐折并沿界面 扩展较长路程,以吸收较多的能量.He和 Hutchinson研究了界面裂纹拐折问题,给出垂直 于界面的裂纹从基体材料扩展至界面时转向界面而不会径直穿过界面进入下面基体的拐折 条件 Gr G 其中G、G分别是裂纹在基体内(如硬层)垂直扩展和沿界面层扩展时能量释放率;、 分别是相应的断裂韧性和界面断裂韧性对叠层结构四点弯曲试样,若<0.1,>10,对 垂直裂纹扩展可略去软层影响,引用文/1/有 201994-2009ChinaaCademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreservedhttp:/www.cnki
(2) 在位移加载过程中 ,若有界面裂纹扩展 ,只有最深一层裂纹在扩展 ,其它已扩展裂 纹长度则保持不变. (3) 垂直裂纹长度 tc 和界面裂纹长度 ac 形成后 ,梁的对应部分脱离梁的整体而失去抗 弯能力 ,此部分应变能的损失全部用于垂直与界面裂纹扩展. (4) 垂直裂纹扩展临界应变能释放率 Γv 主要取决于硬层材料 ,考虑弱界面层的影响 , 可按混合率估算. 即Γv =Γ(2) h2/ h +Γ1 h1/ h ,界面裂纹扩展临界应变能释放率Γi 一般说来 与断裂混合度有关 ,对于四点弯曲试样ψ= 40 °～60 °,此时 Γi 可近似认为不随裂纹长度变 化而变化[7 ,8 ] . 3. 2 界面裂纹扩展的能量释放率 Gi 梁的柔度 C 随界面裂纹扩展长度 a 而变化 , Gi 与 C( a) 有如下关系 Gi = p 2 2B d C d a (10) 如图 5 所示 ,利用材料力学的梁理论 ,可写出梁的挠度方程 ,并进一步给出图示坐标下加载 点挠度、相应柔度和能量释放率表达式 y1 x = L + l = - p ( L + l) 3 3Σ1 + A1 ( L + l) + B1 (11) C = - y1 p = ( L + l) 3 3Σ1 - A1 ( L + l) p - B1 p (12) Gi = - p 2 2B ( L + l) d d a A1 p + d d a B1 p (13) 推导过程及积分常数 A1、B1 见附录 A. Gi 与最深一层界面裂纹临界长度 an 达到哪个区域有 关 ,因此 AB 区与 OA 区分别表示 : Gi = p 2 2B [ a 2 - 2 a ( L + l) + ( L + l) 2 ] 1 Σn+1 - 1 Σn , an > L (14a) Gi = p 2 l 2 2B 1 Σn+1 - 1 Σn , an ≤L (14b) 可见 ,在位移加载条件下 , Gi 不仅与相应两层的等效抗弯刚度有关 ,还与界面裂纹扩展长度 a 有关. 3. 3 垂直裂纹向界面裂纹的拐折与扩展 叠层结构陶瓷增韧设计的关键是在保强条件下尽量使裂纹在界面处发生拐折并沿界面 扩展较长路程 ,以吸收较多的能量. He 和 Hutchinson 研究了界面裂纹拐折问题[10 ] ,给出垂直 于界面的裂纹从基体材料扩展至界面时转向界面而不会径直穿过界面进入下面基体的拐折 条件 Gv Γv < Gi Γi (15) 其中 Gv、Gi 分别是裂纹在基体内 (如硬层) 垂直扩展和沿界面层扩展时能量释放率;Γv、Γi 分别是相应的断裂韧性和界面断裂韧性. 对叠层结构四点弯曲试样 ,若λh < 0. 1 ,λe > 10 ,对 垂直裂纹扩展可略去软层影响 ,引用文[11 ]有 第 4 期 郭香华等 : 叠层结构陶瓷强韧化设计的力学分析 ·317 ·