根轨迹与虚轴的交点出现虚根,系统处于稳定的临界状态。故可由此确定根轨迹与虚 轴的交点 9、根轨迹的特性 连续性:闭环系统特征方程的根是连续变化的,即根轨迹是连续变化的曲线或直线 10、闭环极点特性 (1)当n>m≥2时,闭环系统极点之和等于开环系统极点之和且为数 ∏s=∏ P=an-1 (2)闭环极点之积和开环零、极点之间具有 Is=∏+kz 当开环系统具有等于零的极点时 Sj=KgZ 即闭环极点之积与轨迹增益成正比 辅助定性依据 (1)对应任一Kg,闭环极点之和保持不变,即一些闭环极点向右移动,另一些极点向 左移动 (2)已求得闭环系统的某些极点,可以求出其他极点 (3)由此可以迅速确定根轨迹大致形状 例题 例系统开环传递函数 K Wx(s= Kg=K1试绘制系统根轨迹草图 (zS+1)3 解:1+16=,w6=-41,K,=++ 系统特征方程式:1+W(s)=1+ 0 1、起点:P23=%(三重极点):终点:无开环零点 2、实轴上根轨迹(-,1/r)
6 根轨迹与虚轴的交点出现虚根，系统处于稳定的临界状态。故可由此确定根轨迹与虚 轴的交点 9 、根轨迹的特性 连续性：闭环系统特征方程的根是连续变化的，即根轨迹是连续变化的曲线或直线。 10、 闭环极点特性 （1） 当 n ＞m≥2 时，闭环系统极点之和等于开环系统极点之和且为数 n 1 n j 1 j n j 1 j S P a − = = = = （2） 闭环极点之积和开环零、极点之间具有 = = = = + m i 1 g i n j 1 j n j 1 Sj P K Z 当开环系统具有等于零的极点时 = = = m i 1 g i n j 1 Sj K Z 即闭环极点之积与轨迹增益成正比。 11．辅助定性依据 （1） 对应任一 Kg，闭环极点之和保持不变，即一些闭环极点向右移动，另一些极点向 左移动 （2） 已求得闭环系统的某些极点，可以求出其他极点 （3） 由此可以迅速确定根轨迹大致形状。 二.例题 例 系统开环传递函数 3 ( 1) ( ) + = S K W s K ， 1 3 Kg = K 试绘制系统根轨迹草图 解：1+ Wk (s) = 0 ， 3 g K ) 1 (S K W (s) + = ， ( ) 2 g K s 1 = − + 系统特征方程式 ： 0 ) 1 ( 1 ( ) 1 3 = + + = + S K W s g K 1、 起点： P = − 1 1,2,3 （三重极点）； 终点 ：无开环零点 2 、实轴上根轨迹（ − ,- 1/τ）
3、渐进线 倾角:中 ±180°(2+1) 3-0 =±60°,+180,(=0,) 与实轴交点:G= n-m 根轨迹三条分支,Kg=0从开环极点出发,当Kg→∞,沿渐进线趋向∞ 4、分离点 3(S+1/r)2=0 可得分离点S=-1/ 5、根轨迹与虚轴交点 系统处于稳定的临界状态 特征方程式:+ +K。=0 (w)+3(w)k+3k2++x=0 解得:w k=K=8 50
7 3 、渐进线 倾角 ： ( ) 60 , 180 ,( 0,1) 3 0 180 2 1 = = − + = 与实轴交点： = − − = − − = = = 1 3 3* 1 n m P Z n j 1 m i 1 i i 根轨迹三条分支，Kg = 0 从开环极点出发，当 Kg → ∞，沿渐进线趋向∞ 4 、分离点 -3（S+1/τ）2 = 0 可得分离点 S = - 1/τ 5 、根轨迹与虚轴交点 系统处于稳定的临界状态 特征方程式： (s 1 ) Kg 0 3 + = + (jw) 3(jw) 1 3jw * 1 1 Kg 0 2 3 2 3 + = + + + ( ) w K 0 1 3 w w j 3 g 3 2 + = − − + w 0 3w 3 2 − = K 0 1 3w g 2 3 + = − 解得： = 3 w ， 3 g 8 K = K Kg 8 3 = =