聊城大学：《拓扑学 Topology》课程教学资源（PPT课件讲稿）第三章 子空间、积空间、商空间 §3.1 子空间

定义3.12设A是一个集族，Y是 一个集合.集族 {A∩Y|A∈A} 称为A在集合Y上的限制，记作A. 例：A={{1},{2,3},{1,2}{2,5},1,2,5} Y={1,2,3,6} A1y={{1},{2,3},{L,2,2}

定义3.1.2 设 A 是一个集族，Y 是 一个集合. 集族 称为 A 在集合 Y 上的限制，记作 . 例： { | } A Y A   A A| Y A ={{1},{2,3},{1, 2},{2,5},{1, 2,5}} Y ={1, 2,3, 6} A | {{1},{2,3},{1, 2},{2}} Y = 定义3.1.2 设 A 是一个集族，Y 是 一个集合. 集族 称为 A 在集合 Y 上的限制，记作 . 例： { | } A Y A   A A| Y A ={{1},{2,3},{1, 2},{2,5},{1, 2,5}} Y ={1, 2,3, 6} A | {{1},{2,3},{1, 2},{2}} Y = 定义3.1.2 设 A 是一个集族，Y 是 一个集合. 集族 称为 A 在集合 Y 上的限制，记作 . 例： { | } A Y A   A A| Y A ={{1},{2,3},{1, 2},{2,5},{1, 2,5}} Y ={1, 2,3, 6} A | {{1},{2,3},{1, 2},{2}} Y = 定义3.1.2 设 A 是一个集族，Y 是 一个集合. 集族 称为 A 在集合 Y 上的限制，记作 . 例： { | } A Y A   A A| Y A ={{1},{2,3},{1, 2},{2,5},{1, 2,5}} Y ={1, 2,3, 6} A | {{1},{2,3},{1, 2},{2}} Y = 定义3.1.2 设 A 是一个集族，Y 是 一个集合. 集族 称为 A 在集合 Y 上的限制，记作 . 例： { | } A Y A   A A| Y A ={{1},{2,3},{1, 2},{2,5},{1, 2,5}} Y ={1, 2,3, 6} A | {{1},{2,3},{1, 2},{2}} Y = 定义3.1.2 设 A 是一个集族，Y 是 一个集合. 集族 称为 A 在集合 Y 上的限制，记作 . 例： { | } A Y A   A A| Y A ={{1},{2,3},{1, 2},{2,5},{1, 2,5}} Y ={1, 2,3, 6} A | {{1},{2,3},{1, 2},{2}} Y = 定义3.1.2 设 A 是一个集族，Y 是 一个集合. 集族 称为 A 在集合 Y 上的限制，记作 . 例： { | } A Y A   A A| Y A ={{1},{2,3},{1, 2},{2,5},{1, 2,5}} Y ={1, 2,3, 6} A | {{1},{2,3},{1, 2},{2}} Y =

引理3.1.2设Y是拓扑空间(X,T) 的一个子集，则集族Tx是Y的一个拓 扑. 证明()由于Y=X∩Y,且X∈T, 故Y∈Tly.又因为中=中OY, 且∈T,故eT|y;

引理3.1.2 设Y 是拓扑空间 的一个子集, 则集族 是Y 的一个拓 扑． 证明 (i) 由于 ，且 , 故 . 又因为 ， 且 , 故 ; ( , ) X T T | Y Y X Y =  X T Y T| Y   = Y  T  T| Y 引理3.1.2 设Y 是拓扑空间 的一个子集, 则集族 是Y 的一个拓 扑． 证明 (i) 由于 ，且 , 故 . 又因为 ， 且 , 故 ; ( , ) X T T | Y Y X Y =  X T Y T| Y   = Y  T  T| Y 引理3.1.2 设Y 是拓扑空间 的一个子集, 则集族 是Y 的一个拓 扑． 证明 (i) 由于 ，且 , 故 . 又因为 ， 且 , 故 ; ( , ) X T T | Y Y X Y =  X T Y T| Y   = Y  T  T| Y 引理3.1.2 设Y 是拓扑空间 的一个子集, 则集族 是Y 的一个拓 扑． 证明 (i) 由于 ，且 , 故 . 又因为 ， 且 , 故 ; ( , ) X T T | Y Y X Y =  X T Y T| Y   = Y  T  T| Y 引理3.1.2 设Y 是拓扑空间 的一个子集, 则集族 是Y 的一个拓 扑． 证明 (i) 由于 ，且 , 故 . 又因为 ， 且 , 故 ; ( , ) X T T | Y Y X Y =  X T Y T| Y   = Y  T  T| Y

()若A,B∈Ty,即存在A,B,∈T 使得A=AOY,B=B,∩Y 于是AOB=(A⌒B)OY 由于AOB∈T,故A∩B∈T|y. ()若T1是集族T|y的一个子集族， 即对于每一个A∈T1,存在A 使得A=A∩Y.因此 UA=U(4∩Y)=(UA)⌒Y∈T A∈T1 A∈T1 AET

(ii) 若 ，即存在 使得 于是 由于 ，故 . (iii) 若 是集族 的一个子集族， 即对于每一个 ，存在 使得 . 因此 , A BT| Y 1 1 A B, T 1 1 A A Y B B Y =  =  , 1 1 A B A B Y  =   ( ) A B 1 1  T A B  T| Y T1 T| Y AT1 A1 A A Y = 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) T T T T|Y A A A A A Y A Y    =  =   (ii) 若 ，即存在 使得 于是 由于 ，故 . (iii) 若 是集族 的一个子集族， 即对于每一个 ，存在 使得 . 因此 , A BT| Y 1 1 A B, T 1 1 A A Y B B Y =  =  , 1 1 A B A B Y  =   ( ) A B 1 1  T A B  T| Y T1 T| Y AT1 A1 A A Y = 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) T T T T|Y A A A A A Y A Y    =  =   (ii) 若 ，即存在 使得 于是 由于 ，故 . (iii) 若 是集族 的一个子集族， 即对于每一个 ，存在 使得 . 因此 , A BT| Y 1 1 A B, T 1 1 A A Y B B Y =  =  , 1 1 A B A B Y  =   ( ) A B 1 1  T A B  T| Y T1 T| Y AT1 A1 A A Y = 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) T T T T|Y A A A A A Y A Y    =  =   (ii) 若 ，即存在 使得 于是 由于 ，故 . (iii) 若 是集族 的一个子集族， 即对于每一个 ，存在 使得 . 因此 , A BT| Y 1 1 A B, T 1 1 A A Y B B Y =  =  , 1 1 A B A B Y  =   ( ) A B 1 1  T A B  T| Y T1 T| Y AT1 A1 A A Y = 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) T T T T|Y A A A A A Y A Y    =  =   (ii) 若 ，即存在 使得 于是 由于 ，故 . (iii) 若 是集族 的一个子集族， 即对于每一个 ，存在 使得 . 因此 , A BT| Y 1 1 A B, T 1 1 A A Y B B Y =  =  , 1 1 A B A B Y  =   ( ) A B 1 1  T A B  T| Y T1 T| Y AT1 A1 A A Y = 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) T T T T|Y A A A A A Y A Y    =  =   (ii) 若 ，即存在 使得 于是 由于 ，故 . (iii) 若 是集族 的一个子集族， 即对于每一个 ，存在 使得 . 因此 , A BT| Y 1 1 A B, T 1 1 A A Y B B Y =  =  , 1 1 A B A B Y  =   ( ) A B 1 1  T A B  T| Y T1 T| Y AT1 A1 A A Y = 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) T T T T|Y A A A A A Y A Y    =  =   (ii) 若 ，即存在 使得 于是 由于 ，故 . (iii) 若 是集族 的一个子集族， 即对于每一个 ，存在 使得 . 因此 , A BT| Y 1 1 A B, T 1 1 A A Y B B Y =  =  , 1 1 A B A B Y  =   ( ) A B 1 1  T A B  T| Y T1 T| Y AT1 A1 A A Y = 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) T T T T|Y A A A A A Y A Y    =  =   (ii) 若 ，即存在 使得 于是 由于 ，故 . (iii) 若 是集族 的一个子集族， 即对于每一个 ，存在 使得 . 因此 , A BT| Y 1 1 A B, T 1 1 A A Y B B Y =  =  , 1 1 A B A B Y  =   ( ) A B 1 1  T A B  T| Y T1 T| Y AT1 A1 A A Y = 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) T T T T|Y A A A A A Y A Y    =  =   (ii) 若 ，即存在 使得 于是 由于 ，故 . (iii) 若 是集族 的一个子集族， 即对于每一个 ，存在 使得 . 因此 , A BT| Y 1 1 A B, T 1 1 A A Y B B Y =  =  , 1 1 A B A B Y  =   ( ) A B 1 1  T A B  T| Y T1 T| Y AT1 A1 A A Y = 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) T T T T|Y A A A A A Y A Y    =  =   (ii) 若 ，即存在 使得 于是 由于 ，故 . (iii) 若 是集族 的一个子集族， 即对于每一个 ，存在 使得 . 因此 , A BT| Y 1 1 A B, T 1 1 A A Y B B Y =  =  , 1 1 A B A B Y  =   ( ) A B 1 1  T A B  T| Y T1 T| Y AT1 A1 A A Y = 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) T T T T|Y A A A A A Y A Y    =  =   (ii) 若 ，即存在 使得 于是 由于 ，故 . (iii) 若 是集族 的一个子集族， 即对于每一个 ，存在 使得 . 因此 , A BT| Y 1 1 A B, T 1 1 A A Y B B Y =  =  , 1 1 A B A B Y  =   ( ) A B 1 1  T A B  T| Y T1 T| Y AT1 A1 A A Y = 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) T T T T|Y A A A A A Y A Y    =  =  