d.x4(n)=10cos(0.0008rn2)+w(n),0≤n≤100， 其中：()是一个在[一1,1]之间均匀分布的随机序列。问如何表征此序列？ e.元5{n)={.,1,2,3,?,1,2,3,2,1,.周期的画出五个序列。 题2.2令x(n)=[1,-2,4,6,-5,8,10],产生并画出下列序列的样本， a.x(n)=3x(n+2)+x(n-4)-2x(n） b.x2(n）=5x(5+n)+4x(n+4)+3x(n） c.x3(n)=x(n+4)x(n-1）+x(2-n)x(n) d.x4(n)=2e0.snx(n)+cos(0.1πn)x(n+2),-10≤n≤10 e.xs(n)==nx(n-k) 题2.3复数指数序列”或正余弦序列是周期性的，如果其归一化频*6△2架是个 有理数，即fo△K/N,其中K和N为整数。 a.证明上述结果。 b.产生并画出cs(0.3πn),-20≤n≤20。这个序列是周期的吗？如果它是，其基本周 期是多少”仔细研究此图后，对上述整数K和N你能给出什么解释？ c.产生并画出cos(0.3n),-20≤n≤20。这个序列是周期的吗？从图上你能得出什么结 论？如果需要，可检查从MATLAB中的序列的值以便得出你的解答。 题2.4将题2,2中所给的序列分解为偶和奇分量。用stem函数画出这些分量。 题2.5复数序列被称为共轭对称的，如果 x(n)=x。(-n) 相似地，复数序列被称为共轭反对称的，如果 x(n)=-x。(-n) 任何复值序列x(n)均可分解为： x(n)=xe(n)+xo(n） 其中x.(n)和x。(n)分别等于 x.(n)=[x(n)+x*(-n)]/2和x。(n)=[x(n)-x*(-n)]/2 (2.24) a.修改本教材中的evenodd函数，使它能接受任意序列并把它分解成式(2.24)表示的对 称和反对称分量。 b.分解下列序列 x(n)=10e-(o.4m),0≤n≤l0 31
成为兵轭对称和共轭反对称的分量。两出它们的实部和虚部以验证正这·分解结果（州 subplot函数)e 题2.6信号的扩展（或抽取，或降低采样频*）定义为： y(n)=x(nM） 其中x(n)的采样频率被降低了整数因子M。例如，若： x(n)={,-2,4,3,-6,5,-1,8,.） 把采样频率减少为整数因子2，可得： y(n)=i.,-2,3,5,8,. a.开发个MATLAB函数dnsample,其格式为： function y=dnsample (x,M) 用以实现上述运算。在应用MATLAB的下标功能时要特别注意时间轴的原点n=O。 b.x(n)=sin(0.125rn),-50≤n≤50。频率降低因子为4，求y(n)。用subplot函数 分别画出x(n)和y(n)并对结果进行讨论。 c.用x(n)=sin(0.5πn),-50≤n≤50重复上题。定性地讨论降低采样频率对信号的 影响。 题2.7求出下列序列的自相关序列「，()和互相关序列rxy(1)。 x(n)=(0.9)",0≤n≤20：y(n)=(0.8)-";-20≤n≤0 你能观察出什么结果？ 题2.8在某个音乐厅中，原始音频信号的回音会由于墙壁和天花板的反射产生。听 众所感受的音频信号是x(n)和它的回音的合成。令： y(n)=x(n)+ax(n-k) 其中k是总迟延的脉冲个数而a是其相对强度。我们要用相关分析来估计该迟延。 a.用解析方法由白相关rxx(1)确定白州关Tw()。 b.令x(n)=cos(0.2πn)+0.5cos(0.6πn),a=0.1及k=50。产生200个y(n)样本并 求出其自相关。从观察rn(1)中能否得到a和k? 题2.9下而给出三个系统： T[x(n)1=2(m):T2[x(n)]=3x(n)+4;T3[x(n)]=x(n）+2x(n-1)-x(n-2) 32
a.用(2.8)式解析地确定上述系统是否是线性的。 b.令x1(n)为在[0,1之间均匀分布的随机序列0≤n≤100，又令x2(n)为一个均值为 零方差为10的高斯随机序列0≤n≤100。用这些序列测试上述系统的线性。在(2.8)中，常 数值a,和a2可任意选样。要求用上述序列的几个实现来求得答案。 题2.10下面给出一个系统： [x(n)]=立x:TLx(m)门=yx():Tlx()]=x(-) a.用(2.9)式解析地确定上述系统是否是时不变的。 b.令x(n)为：-零均值方差为10的高斯随机序列0≤n≤100。利用这个序列，测试上述 诸系统的时不变性。(2.9)中采样移位值k可任意选择。要求用上述序列的几个实现来求得 答案。 题2.11解析地确定题2.9和2.10中所给诸系统的稳定性和内果性。 题2.12在(2.11)中定义的线性卷积具有若干特性： x1(n)米x2(n)=x2(n)*x1(n) :交换律 [x1(n)米x2(n)]￥x3(n)=x1(n)米[x2(n)￥x3(n）] :结合律(2.25) x1(n)米[x2(n)+x3(n)]=x1(n)*x2(n)+x1(n)共x3(n):分配律 x(n)x8(n-no)=x(n-no) :同一律 a.解析地证明这些结果。 b.系下面三个序列，用conv_m函数，验证上述特性。 x1(n)=nlu(n+10)-(n-20)] x2(n)=cos(0.1πn)[u(n)-u(n-30)] x3(n)=(1.2)[u(n+5)-u(n-10)] 题2.13若序列x(n)和h(n)分别其有有限长度N.和Nk,则它们的线性卷积(2.10)可 用矩阵-向量乘法求得。若x(n)和y(n)的元素分别排成列向量x和y,可以得到： y=Hx 其中在h(n-k)内的线性移位量按n=0,··,Na-1逐行排列在矩阵H中。这一矩阵 其有有趣的结构形式，被称为Toeplitz矩阵。为了研究这个矩阵，考虑如下序列： x(n)={1,2,3,4}及h(n)={3,2,1 a.求出线性卷积y(n)=h(n)*x(n) b.将x(n)表为·：个4乘1列向量x而y(n)表为一个6乘1列向量y。然求出6乘4 的矩阵H,使能满足y=Hx。 33
c,找：阵H的特点，从此特点你能否给出Toeplitz矩阵的定义？怎样把这个定义与 时不变比较？ d.对阵的第一列和第~行，请说出其特点 题2.14MATI.AB提供了-·个称为toeplitz的数，可根据第·行和第一列生成 Toeplitz矩阵 a.此函数和你对题2.13的答案，开发另-一个MATLAB函数来执行线性卷积。此函数 的规范格式应为： function y.11]cony_Ip(h.x) 老用Toeplitz郑阵的线性卷积 %一 %[y,H=conv tp(h,x) 张￥=列向量形式的输出序列 %H=对应于序列h的Toeplitz矩阵，因iy=Hx 味h=列向量形式的脉冲响应序列 %x=列向量形式的输人序列 年题2.13中给出的序列验证你的数e 题2.15令x(n）=(0.8)°u(n) a.解析地求x(n)*x(n)。 b.刊fl1er函数求出x(n)￥x(n)的前50个样本。将结果与a部分的结果相比较。 题2.16·个特定的线性和时不变系统，描述它的差分方程如下： (n)-0.5(n-1）+0.25y(n-2)=x(n)+2x(n-1)+x(n-3) a.确定系统的稳定性 b在0≤n≤100之问求得并画出系统的脉冲响应，从脉冲响应确定系统的稳定性。 c.l果此系统的输入为x(n）=[5+3cos(0.2πn)+4sin(0.6πn)]u(n）。在0≤n≤200 可求山y(n)的啊应 题2.17·个简单的数字微分器表为下式： y(n)=x(n)-x(n-1) 它计算输入信号的后向一阶差分。对下列序列执行这个微分并画出其结果。评论这个简 羊的微分器的用性。 a.x(n）=5|u(n)-u(n-20)川：矩形脉冲 b.x（n)=n|u(n）-u(n-10)]+(20-n)[u(n-10)-u(n-20)]:三角脉冲 c,x(n）=sin(πn/25）[u(n)-u(n-100)]：正弦脉冲 34
第三章离散时间付利叶分析 我]已经看到·个线性时不变系统如何用它对单位脉冲序列的响应来表示。这个响应称 为单位脉冲响应h(n),它使得我们能通过线性卷积计算该系统对任意输入x(n)的响应如 下： x(n)一h(n)-→y(n）=h(n)'x(n) 这个卷积的表示式是基这样的事实：即任何信号可以用单位样本的倍乘和迟延的线性 组合来表示。同样地，我们也可以把任意离散信号表为第二章所介绍的基木信号的线性组介。 每个基本信号集提供了··种新的信号表示式。每种表示式有某些优点和某些缺点，取决于所 研究的系统的类型。然而当系统是线性的和时不变的时候，只有一个表示式成为最有用的。 它是基于复数指数信号集{em)}的并称为离散时间付利叶变换。 离散时间付利叶变换(DTFT) 如果x(n)是绝对可加的，即二.Ix(n)I<∞，则其离散时间付利叶变换&为： X(e")△[x(n)]=∑x(n)en (3.1) m=。 X(e严)的离散时间付利叶逆变换(IDTFT)可表示为： x(a)△F-[xe刀=x X(eo）e da (3.2) 算-∫F[·]把-，个离散信号x(n)变换成一个实变量w的复值连续函数X(e）。,被称 为数字频率，它用弧度来度量。 ☐例3.1确定x(n)-(0.5)u(n)的离散时间付利叶变换。 解：序列x()是绝对可加的，因此它的离散时间付利叶变换任在。 X()=>x(n)e-im=(0.3)m =2(0.5e)=1-0.5e-e-0.5 35