场论:场的定义 标量场:空开坐标x,y,z的标量函数分0()=0(x,y,z) 24/384 矢量场:空开坐标x的矢量函数分A()=∑A1(xy,z可 阶张量场:空开坐标ⅹ,yz的二阶张量函数分 T(r)=>Ti(x,y, z)ei 场通常即依赖空开坐标,也依赖时开坐标。■ 经常用力线描述空开的矢量场,力线的方向换矢量场的方向相 同,力线的密度正比于矢量场模的大小分 ose
24/384 JJ II J I Back Close ⑤Ø: ⑤✛➼➶ ■þ⑤: ➌♠❿■ x,y,z ✛■þ➻ê➞ φ(~r) = φ(x, y, z) ➙þ⑤: ➌♠❿■ x,y,z✛➙þ➻ê➞ A~ (~r) = X 3 i=1 Ai(x, y, z)~ei ✓✣Üþ⑤: ➌♠❿■ x,y,z✛✓✣Üþ➻ê➞ ** T (~r) = X 3 i=1 Tij(x, y, z)~ei~ej . . . . . . ⑤Ï⑦❂➑✻➌♠❿■➜➃➑✻➒♠❿■✧ ➨⑦❫å❶↔ã➌♠✛➙þ⑤➜ å❶✛➄➉❺➙þ⑤✛➄➉❷ Ó➜å❶✛➋Ý✔✬✉➙þ⑤✜✛➀✂➞
25/384 ∵ ose
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场论:场的微分性质 微分算符的定义: 理维空间中可以分别对理个坐标进行微商 26/384 O 3 ax+6y+6B2=∑6A VV=00- V×V=0 ●只有对直角坐标系,微分算符才与基矢对易 V有双重角色,即有微分算符的性质(),又是矢量(e)。 ●含V的方程两边,须使Ⅴ的微分算符和矢量性质同时得以 满足才能平衡! ose
26/384 JJ II J I Back Close ⑤Ø: ⑤✛❻➞✺➓ ❻➞➂❰✛➼➶: ♥➅➌♠➙➀➧➞❖é♥❻❿■❄✶❻û ∂1 ≡ ∂ ∂x ∂2 ≡ ∂ ∂y ∂3 ≡ ∂ ∂z ∂i~ej = ~ej∂i ∇ ≡ ~e1 ∂ ∂x + ~e2 ∂ ∂y + ~e3 ∂ ∂z = X 3 i=1 ~ei∂i ∇2 ≡ ∇ · ∇ = X 3 i=1 ∂i∂i = ∂ ∂x2 + ∂ ∂y2 + ∂ ∂z 2 ∇ × ∇ = 0 • ➄❦é❺✍❿■❳➜❻➞➂❰â❺➘➙é➫✧ • ∇ ❦❱➢✍Ú➜❂❦❻➞➂❰✛✺➓ (∂i), q➫➙þ (~ei)✧ • ➵∇✛➄➜ü❃➜▲➛∇✛❻➞➂❰Ú➙þ✺➓Ó➒✚➧ ÷✈â❯➨ï➐
俞论:场的微分性质 标量前的梯度:0=24=6+6+6D 27/384 矢量俞A的散度 A=②∑a)∑A1)=∑:A1=∑A1 OAl OA2 OA3 矢量俞A的旋度 ∑a)x②∑A问)=∑xA1=∑u(A)E ij, k=1 0A20A OAl OA 0A30A +e1 Ox ose
27/384 JJ II J I Back Close ⑤Ø: ⑤✛❻➞✺➓ ■þ⑤φ✛❋Ý➭∇φ = X 3 i=1 ~ei∂iφ= ~e1 ∂φ ∂x + ~e2 ∂φ ∂y + ~e3 ∂φ ∂z ➙þ⑤A~ ✛ÑÝ➭ ∇ · A~ = (X 3 i=1 ~ei∂i) · ( X 3 j=1 Aj~ej) = X 3 i,j=1 ~ei · ~ej∂iAj = X 3 i=1 ∂iAi = ∂A1 ∂x + ∂A2 ∂y + ∂A3 ∂z ➙þ⑤A~ ✛❫Ý➭ ∇ × A~ = (X 3 i=1 ~ei∂i) × ( X 3 j=1 Aj~ej) = X 3 i,j=1 ~ei × ~ej∂iAj = X 3 i,j,k=1 ijk(∂iAj)~ek = ~e3( ∂A2 ∂x − ∂A1 ∂y ) + ~e2( ∂A1 ∂z − ∂A3 ∂x ) + ~e1( ∂A3 ∂y − ∂A2 ∂z )
俞不:场的微分性质 个分算符对两反俞的作用 28/384 V·(f× ∑·1)=∑e9( i、jk,l=1 i, k,I=1 ∑n5u(gA5+Fg}∑(+fPgk ∑恩一与 g·(V×f)-f.(V×g) ose
28/384 JJ II J I Back Close ⑤Ø: ⑤✛❻➞✺➓ ❻➞➂❰éü❻⑤✛❾❫ ∇ · ( ~f × ~g) = X 3 i,j,k,l=1 ∂i~ei · (fjgkjkl~el) = X 3 i,j,k,l=1 ~ei · ~eljkl∂i(fjgk) = X 3 i,j,k,l=1 δiljkl(gk∂ifj + fj∂igk) = X 3 i,j,k=1 jki(gk∂ifj + fj∂igk) = X 3 i,j,k=1 ijkgk∂ifj − jikfj∂igk = ~g · (∇ ×~f) −~f · (∇ × ~g)