《计量经济学》多重共线性 Multi-Collinearity

1、完全共线性下参数估计量不存在 多元线性模型 Y=ⅩB+N 的普通最小二乘参数估计量为: B=(XXXY (264) 如果存在完全共线性,则(XX)不存在,无法得 到参数的估计量

1、完全共线性下参数估计量不存在 多元线性模型 Y = X +  的普通最小二乘参数估计量为：  = (  )  − X X X Y 1 (2.6.4) 如果存在完全共线性，则(X’X) -1不存在，无法得 到参数的估计量

例如:对一个离差形式的二元回归模型 y=Bx,+B2x2+u 如果两个解释变量完全相关,如x2=Ax1,则有 XX ∑

例如：对一个离差形式的二元回归模型 y = 1 x1 +  2 x2 +  如果两个解释变量完全相关，如 2 1 x = x ，则有                  =         =          = 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1       i i i i i i i i i i i x x x x x x x x x x x X X            =          =  1 1 2 1 i i i i i i x y x y x y X Y

该回归模型的正规方程为 (XXB=XY 或 月∑x+B2∑xx2=∑x1y 月∑x2x1+B2∑x2=∑ 解该线性方程组得: Tuiyi diy ∑ Liyi 0 x 孓。N B为不定式; 同理,β2也为不定式,其值无法确定

该回归模型的正规方程为 (XX)Bˆ = XY 或  i +  i i =  i i x x x x y 2 1 2 1 2 1 1  ˆ  ˆ  i i +  i =  i i x x x x y 2 2 1 2 1 2 2  ˆ  ˆ 解该线性方程组得： 0 0 ˆ 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 1 2 1 = = =                 i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i x x x x x y x x y x x x x x x x x y x x y x x        1  ˆ 为不定式； 同理， 2  ˆ 也为不定式，其值无法确定

事实上,当x2=x1时,原二元回归模型退 化为一元回归模型: y=(B1+AB2)x1+ 只能确定综合参数B+λ3的估计值: 月+62=∑x1∑

事实上，当 2 1 x = x 时，原二元回归模型退 化为一元回归模型： y = (1 +  2 )x1 +  只能确定综合参数1 +  2的估计值： + =   2 1 2 1 1 ˆ ˆ i i i   x y x

2、近似共线性下普通最小二乘法参数估计 量非有效 在一般共线性(或称近似共线性)下,虽然可 以得到OLS法参数估计量,但是由参数估计量方 差的表达式为 COv(B)=0(XX) 可见,由于此时XX≈0,引起(X2X)1主对角 线元素较大,从而使参数估计值的方差增大, OLS参数估计量非有效

2、近似共线性下普通最小二乘法参数估计 量非有效 在一般共线性（或称近似共线性）下，虽然可 以得到OLS法参数估计量，但是由参数估计量方 差的表达式为 2 1 ) ( ) ˆ ( − Cov  =  XX 可见，由于此时|X’X|0，引起(X’X) -1主对角 线元素较大，从而使参数估计值的方差增大， OLS参数估计量非有效