《高等数学A2》课程教学大纲 Higher Mathematics A2 课程编号：130704004 学时：88学时学分：5.5学分 适用对橡：理工科各专业 先修课程：高等数学A1 一、课程的性质和任务 本课程是学校理工科各专业的一门必修的重要的公共基础课。 本课程可以支撑2017版培养方案中毕业要求第1、2、3、12条的达成。 通过这门课程的学习，要使学生系统地获得多元函数微积分、向量代数与空间解析几何 常微分方程及级数的基本知识，基础理论和常用的运算方法，并注意培养学生比较熟练的运 算能力、抽象思维能力、逻辑推理能力、几何直观和空间想象能力，从而使学生受到数学方 法训练和运用这些方法解决几何、力学和物理等实际问题的初步训练，为学习后继课程和进 一步扩大数学知识奠定必要的数学基础， 二、教学目的与要求 教学中应认真贯彻“以应用为目的，以必需够用为度”的原则，教学重点放在“掌握概念， 强化应用，培养能力，提高素质”上。 教学目的：逐步培养学生具有比较熟练的基本运算能力、综合运用所学知识分析和解决 实际问愿的能力、数学建模及使用计算机求解数学模型的能力、初步抽象概括问题的能力、 自主学习的能力以及一定的逻辑推理能力，使学生在掌握数学知识的同时，尽量多地理解数 学思想、明晰数学方法、建立数学思维。 教学要求：1、使学生掌握本课程的基本概念、基本理论和基本运算，为学习各专业课 程提供必要的工具；2、逐步培养学生具有比较熟练的基本运算能力、综合运用所学知识分 析和解决实际问题的能力、数学建模及使用计算机求解数学模型的能力、初步抽象概括问题 的能力、自主学习的能力以及一定的逻辑推理能力，使学生在掌握数学知识的同时，尽量多 地理解数学思想、明晰数学方法、建立数学思维。 了解空间解析几何中向量的运算，掌握直线、平面的求法：理解和掌握多元函数极限和 连续性的概念与性质：理解多元函数偏导数、全微分的概念和性质：掌握多元函数偏导数、 全微分的求法：掌握多元函数偏导数与全微分的应用：理解和掌握二重积分、三重积分的概 15
《高等数学 A2》课程教学大纲 Higher Mathematics A2 课程编号：130704004 学时：88 学时学分：5.5 学分 适用对象：理工科各专业 先修课程：高等数学 A1 一、课程的性质和任务 本课程是学校理工科各专业的一门必修的重要的公共基础课。 本课程可以支撑 2017 版培养方案中毕业要求第 1、2、3、12 条的达成。 通过这门课程的学习，要使学生系统地获得多元函数微积分、向量代数与空间解析几何、 常微分方程及级数的基本知识，基础理论和常用的运算方法，并注意培养学生比较熟练的运 算能力、抽象思维能力、逻辑推理能力、几何直观和空间想象能力，从而使学生受到数学方 法训练和运用这些方法解决几何、力学和物理等实际问题的初步训练，为学习后继课程和进 一步扩大数学知识奠定必要的数学基础。 二、教学目的与要求 教学中应认真贯彻“以应用为目的，以必需够用为度”的原则，教学重点放在“掌握概念， 强化应用，培养能力，提高素质”上。 教学目的：逐步培养学生具有比较熟练的基本运算能力、综合运用所学知识分析和解决 实际问题的能力、数学建模及使用计算机求解数学模型的能力、初步抽象概括问题的能力、 自主学习的能力以及一定的逻辑推理能力，使学生在掌握数学知识的同时，尽量多地理解数 学思想、明晰数学方法、建立数学思维。 教学要求： 1、使学生掌握本课程的基本概念、基本理论和基本运算，为学习各专业课 程提供必要的工具；2、逐步培养学生具有比较熟练的基本运算能力、综合运用所学知识分 析和解决实际问题的能力、数学建模及使用计算机求解数学模型的能力、初步抽象概括问题 的能力、自主学习的能力以及一定的逻辑推理能力，使学生在掌握数学知识的同时，尽量多 地理解数学思想、明晰数学方法、建立数学思维。 了解空间解析几何中向量的运算，掌握直线、平面的求法；理解和掌握多元函数极限和 连续性的概念与性质；理解多元函数偏导数、全微分的概念和性质；掌握多元函数偏导数、 全微分的求法；掌握多元函数偏导数与全微分的应用；理解和掌握二重积分、三重积分的概 15
念、二重积分的中值定理、计算两类曲线积分的方法、格林公式并会运用平面曲线积分与路 径无关的条件、级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念、微分方程的阶、解、通解、初始 条件和特解等概念、常见微分方程的求解、曲线积分与曲面积分等。 三、教学内容 第八章空间解析几何与向量代数 1.基本内容： 向量及其线性运算：空间直角坐标系，向量概念，向量的线性运算，向量的模、方向角、 投影：数量积，向量积，混合积：平面及其方程：平面的点法式，一般式及其它几种形式 两平面的夹角：空间直线及其方程：一般方程，对称式方程与参数方程，点、线、面的关系： 曲面及其方程：曲面方程的概念，旋转曲面，柱面，二次曲面：空间曲线及其方程：一般方 程和参数方程，空间曲线在坐标轴上的投影。 2.教学基本要求： 理解空间直角坐标系，向量概念，向量的线性运算，向量的模、方向角、投影：熟悉学 握数量积，向量积，混合积的运算：平面方程：空间直线方程。了解曲面方程的概念，旋转 曲面，柱面，二次曲面，掌握投影曲线的求法。 3教学重点难点： 向量的线性运算：数量积，向量积，混合积的运算：空间直线方程的求解。难点为数 量积，向量积，混合积的运算：空间直线方程的求解。 4.教学建议： 第九章多元函数微分法及其应用 1基本内容： 多元函数的定义，函数概念，区域，二元函数的几何表示，二元函数的极限与连续性， 有界闭区域上连续函数性质的叙述。偏导数的定义，高阶偏导数，混合偏导数可以交换求导 次序的条件（叙述），全微分存在的必要条件和充分条件，全微分在似计算中的应用，多元 复合函数求导法则，隐函数求导公式（一个方程，方程组），方向导数，梯度，二元函数的 泰勒公式（叙述）。空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线，多元函数的极值及其 求法，条件极值，拉格朗日乘数法，最大值，最小值问题。 2教学基本要求： 理解多元函数，偏导数和全微分概念，多元函数的极值概念。熟悉掌握复合函数的求 导法。了解全微分存在的必要条件和充分条件，曲线的切线与法平面及曲面的切平面与法线
念、二重积分的中值定理、计算两类曲线积分的方法、格林公式并会运用平面曲线积分与路 径无关的条件、级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念、微分方程的阶、解、通解、初始 条件和特解等概念、常见微分方程的求解、曲线积分与曲面积分等。 三、教学内容 第八章空间解析几何与向量代数 1.基本内容： 向量及其线性运算：空间直角坐标系，向量概念，向量的线性运算，向量的模、方向角、 投影；数量积，向量积，混合积；平面及其方程：平面的点法式，一般式及其它几种形式， 两平面的夹角；空间直线及其方程：一般方程，对称式方程与参数方程，点、线、面的关系； 曲面及其方程：曲面方程的概念，旋转曲面，柱面，二次曲面；空间曲线及其方程：一般方 程和参数方程，空间曲线在坐标轴上的投影。 2.教学基本要求： 理解空间直角坐标系，向量概念，向量的线性运算，向量的模、方向角、投影；熟悉掌 握数量积，向量积，混合积的运算；平面方程；空间直线方程。了解曲面方程的概念，旋转 曲面，柱面，二次曲面，掌握投影曲线的求法。 3.教学重点难点： 向量的线性运算；数量积，向量积，混合积的运算；空间直线方程的求解。难点为数 量积，向量积，混合积的运算；空间直线方程的求解。 4.教学建议： 第九章多元函数微分法及其应用 1.基本内容： 多元函数的定义，函数概念，区域，二元函数的几何表示，二元函数的极限与连续性， 有界闭区域上连续函数性质的叙述。偏导数的定义，高阶偏导数，混合偏导数可以交换求导 次序的条件（叙述），全微分存在的必要条件和充分条件，全微分在似计算中的应用，多元 复合函数求导法则，隐函数求导公式（一个方程，方程组），方向导数，梯度，二元函数的 泰勒公式（叙述）。空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线，多元函数的极值及其 求法，条件极值，拉格朗日乘数法，最大值，最小值问题。 2.教学基本要求： 理解多元函数，偏导数和全微分概念，多元函数的极值概念。熟悉掌握复合函数的求 导法。了解全微分存在的必要条件和充分条件，曲线的切线与法平面及曲面的切平面与法线， 16
条件极值的概念，方向导数，梯度。掌握计算方向导数，梯度，求曲线的切线和法平面，求 曲面的切平面和法线。知道二元函数的极限，连续性概念，有界闭区域上连续函数的性质。 会求二阶偏导数，会求隐函数，（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数，会求函数的极值， 会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求解一些较简单的最大值，最小值的应用问题 3教学重点难点： 多元函数的概念，偏导数的定义，高阶偏导数、混合偏导数、方向导数、梯度的计算。 空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线，多元函数的极值及其求法，条件极值，拉 格朗日乘数法，最大值，最小值问题。难点为多元函数偏导数的计算：多元函数的极值及其 求法。 4教学建议： 第十章重积分 1基本内容： 二重积分的定义、性质、计算法（包括直角坐标和极坐标）、二重积分存在定理的叙 述，二重积分在几何中的应用（体积、曲面面积），二重积分在物理学中的应用（质量、重 心、转动员量、引力等)。三重积分的定义、性质、计算法（直角坐标、柱面坐标、球面坐 标)。三重积分在物理学中的应用（质量、重心、转动惯量、引力等）。 2教学基本要求： 理解二重积分，三重积分概念。熟悉掌握二重积分的计算法（直角坐标、极坐标）， 熟悉格林公式。掌握三重积分的计算法（直角坐标、柱面坐标、球面坐标），两类曲线积分 的计算法。知道重积分的性质。 3.教学重点难点： 二重积分的定义、性质、计算法：二重积分、三重积分的应用。难点为二重积分、三重 积分的应用。 4教学建议： 第十一章曲线积分与曲面积分 1基本内容： 曲线积分的定义（对弧长及坐标）、性质、计算法、应用（质量、功）。曲面积分的 定义（对面积及对坐标），性质、计算法、应用（质量、通量）。各类积分间的关系：格林 公式，高斯公式，斯托克斯公式，平面曲面积分与路径无关的条件。 2教学基本要求：
条件极值的概念，方向导数，梯度。掌握计算方向导数，梯度，求曲线的切线和法平面，求 曲面的切平面和法线。知道二元函数的极限，连续性概念，有界闭区域上连续函数的性质。 会求二阶偏导数，会求隐函数，（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数，会求函数的极值， 会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求解一些较简单的最大值，最小值的应用问题。 3.教学重点难点： 多元函数的概念，偏导数的定义，高阶偏导数、混合偏导数、方向导数、梯度的计算。 空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线，多元函数的极值及其求法，条件极值，拉 格朗日乘数法，最大值，最小值问题。难点为多元函数偏导数的计算；多元函数的极值及其 求法。 4.教学建议： 第十章重积分 1.基本内容： 二重积分的定义、性质、计算法（包括直角坐标和极坐标）、二重积分存在定理的叙 述，二重积分在几何中的应用（体积、曲面面积），二重积分在物理学中的应用（质量、重 心、转动贯量、引力等）。三重积分的定义、性质、计算法（直角坐标、柱面坐标、球面坐 标）。三重积分在物理学中的应用（质量、重心、转动惯量、引力等）。 2.教学基本要求： 理解二重积分，三重积分概念。熟悉掌握二重积分的计算法（直角坐标、极坐标）， 熟悉格林公式。掌握三重积分的计算法（直角坐标、柱面坐标、球面坐标），两类曲线积分 的计算法。知道重积分的性质。 3.教学重点难点： 二重积分的定义、性质、计算法；二重积分、三重积分的应用。难点为二重积分、三重 积分的应用。 4.教学建议： 第十一章曲线积分与曲面积分 1.基本内容： 曲线积分的定义（对弧长及坐标）、性质、计算法、应用（质量、功）。曲面积分的 定义（对面积及对坐标），性质、计算法、应用（质量、通量）。各类积分间的关系：格林 公式，高斯公式，斯托克斯公式，平面曲面积分与路径无关的条件。 2.教学基本要求： 17
理解两类曲线积分的性质，两类曲面积分的概念及高斯公式，斯托克斯公式，散度， 旋度概念。会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会计算两类曲面积分，能用重积分，线 面积分表达一些几何量与物理量。 3.教学重点难点： 曲面积分、曲面积分的计算。 4教学建议： 第十二章无穷级数 1基本内容 无穷级数及其收敛与发散定义，无穷级数的基本性质，级数收敛的必要条件，几何级 数，P级数及其收敛性，正项级数的比较审敛法和比值审敛法，交错级数及莱布尼兹定理， 绝对收敛和条件收敛。幂级数概念，阿贝尔定理，幂级数的收敛半径与收敛区间，幂级数的 四则运算和连续性，逐项积分，逐项微分，泰勒级数，函数e、six、cosx、ln(l+x、(I+x尸 等的幂级数展开式，幂级数在近似计算中的应用举例，欧拉公式。傅里叶级数的概念，函数 展开为傅里叶级数的充分条件（叙述），奇函数和偶函数的傅里叶级数，函数展开为正弦级 数或余弦级数，任意区间上的付立叶级数 2.教学基本要求： 理解无穷级数收敛，发散及和的概念。熟悉几何级数和P级数的收敛性。熟悉掌握正 项级数的比值审敛法，较简单幂级数的收敛域的求法。了解无穷级数收敛的必要条件，绝对 收敛与条件收敛概念，绝对收敛与收敛的关系。掌握正项级数的比较审敛法，交错级数的菜 布尼兹定理，函数e、six、cosx、ln(1+x)和(+x尸的麦克劳林展开式。知道无穷级数 的基本性质，幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，函数展开为泰勒级数的充要条件，函 数展开为傅里叶级数的充分条件，函数项级数的收敛域及和函数概念。能用e、six、cosx、 n(1+x)和I+xP的麦克劳林展式将一些简单的函数展成幂级数，能将定义在(-、) 和(1、I)上的函数展开为傅里叶级数，能将定义在(0、)上的函数展开为正弦或余弦 级数，能估计交错级数的截断误差，会用幂级数进行一些近似计算。 3教学重点难点： 级数收敛，发散的判断方法：函数展开为泰勒级数的充要条件。难点为无穷级数收敛的 判定方法：函数展开为泰勒级数。 4.教学建议： 18
理解两类曲线积分的性质，两类曲面积分的概念及高斯公式，斯托克斯公式，散度， 旋度概念。会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会计算两类曲面积分，能用重积分，线 面积分表达一些几何量与物理量。 3.教学重点难点： 曲面积分、曲面积分的计算。 4.教学建议： 第十二章无穷级数 1.基本内容： 无穷级数及其收敛与发散定义，无穷级数的基本性质，级数收敛的必要条件，几何级 数，P 级数及其收敛性，正项级数的比较审敛法和比值审敛法，交错级数及莱布尼兹定理， 绝对收敛和条件收敛。幂级数概念，阿贝尔定理，幂级数的收敛半径与收敛区间，幂级数的 四则运算和连续性，逐项积分，逐项微分，泰勒级数，函数 x e 、sinx、cosx、 ln(1+x)、 α (1 + x ) 等的幂级数展开式，幂级数在近似计算中的应用举例，欧拉公式。傅里叶级数的概念，函数 展开为傅里叶级数的充分条件（叙述），奇函数和偶函数的傅里叶级数，函数展开为正弦级 数或余弦级数，任意区间上的付立叶级数。 2.教学基本要求： 理解无穷级数收敛，发散及和的概念。熟悉几何级数和 P 级数的收敛性。熟悉掌握正 项级数的比值审敛法，较简单幂级数的收敛域的求法。了解无穷级数收敛的必要条件，绝对 收敛与条件收敛概念，绝对收敛与收敛的关系。掌握正项级数的比较审敛法，交错级数的莱 布尼兹定理，函数 e x 、sinx、cosx、ln（1+x）和 α (1 + x ) 的麦克劳林展开式。知道无穷级数 的基本性质，幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，函数展开为泰勒级数的充要条件，函 数展开为傅里叶级数的充分条件，函数项级数的收敛域及和函数概念。能用 e x 、sinx、cosx、 ln（1+x）和 α (1 + x ) 的麦克劳林展式将一些简单的函数展成幂级数，能将定义在（-л、л） 和（-l 、l ）上的函数展开为傅里叶级数，能将定义在（0、l ）上的函数展开为正弦或余弦 级数，能估计交错级数的截断误差，会用幂级数进行一些近似计算。 3.教学重点难点： 级数收敛，发散的判断方法；函数展开为泰勒级数的充要条件。难点为无穷级数收敛的 判定方法；函数展开为泰勒级数。 4.教学建议： 18
四、教学环节与学时分配 课外辅 教学内容 总学 导 上机其他 备注 讲课实验 课外实 践 1第八章向量代数 10 第九章多元函数的微分 学 “其它”书 3第十章重积分 16 14 0 0 要方式为 第十一章曲线积分与曲 4 面积分 0 习题误 5第十二章级数 16 140 02 0 6机动（阶段复习备用） 006 0 7 共计 88700018 0 五、教学中应注意的问题： 通过教学要实现传授知识和发展能力两方面的教学目的，能力培养要贯穿教学全过程。 教学中注意满足不同层次学生的不同要求，积极为学生终身学习搭建平台、拓展空间。不仅 把数学课程当作重要的基础课和工具课，更将其视为一门素质课。教学中要结合教学内容及 学生特点，选择适宜的教学方法与教学手段，突出重点、化解难点，有意识、有目的、有重 点地营造有利于学生能力发展的氛围，启发学生思维，促进学生能力的提高。并通过教研活 动统一教学行为。 六、实验实践内容： 无。 七、考核方式： 考试采用闭卷考试形式。内容包括基本概念，基础理论，分析计算，题型分为填空、选 择、计算或解答愿，证明等方式，题目的难易程度要视学生的实际情况而定。 总评成绩：作业，出勤占30%：考试古70%。 八、教材及主要参考书： 1、选用教材： 《高等数学》（上下册，第七版）同济大学主编，高等教有出版社，2014年。 2、主要参考书： []《高等数学》吴赣吕等，《数学物理方程》，中国人民大学出版社，2009年。 [2)《高等数学》上下册黄立宏等编，复旦大学出版社2009年。 [3)《数学分析》陈纪修，高等教有出版社，2005年。 19
四、教学环节与学时分配 序 号 教学内容 总学 时 其中 课外辅 导/ 课外实 践 备注 讲课 实验 上机 其他 1 第八章向量代数 12 10 0 0 2 0 “其它”主 要方式为 习题课 2 第九章多元函数的微分 学 20 18 0 0 2 0 3 第十章重积分 16 14 0 0 2 0 4 第十一章曲线积分与曲 面积分 18 14 0 0 4 0 5 第十二章级数 16 14 0 0 2 0 6 机动（阶段复习备用） 6 0 0 0 6 0 7 共计 88 70 0 0 18 0 五、教学中应注意的问题： 通过教学要实现传授知识和发展能力两方面的教学目的，能力培养要贯穿教学全过程。 教学中注意满足不同层次学生的不同要求，积极为学生终身学习搭建平台、拓展空间。不仅 把数学课程当作重要的基础课和工具课，更将其视为一门素质课。教学中要结合教学内容及 学生特点，选择适宜的教学方法与教学手段，突出重点、化解难点，有意识、有目的、有重 点地营造有利于学生能力发展的氛围，启发学生思维，促进学生能力的提高。并通过教研活 动统一教学行为。 六、实验/实践内容： 无。 七、考核方式： 考试采用闭卷考试形式。内容包括基本概念，基础理论，分析计算，题型分为填空、选 择、计算或解答题，证明等方式，题目的难易程度要视学生的实际情况而定。 总评成绩：作业，出勤占 30%；考试占 70%。 八、教材及主要参考书： 1、选用教材： 《高等数学》(上下册，第七版) 同济大学主编，高等教育出版社，2014 年。 2、主要参考书： [1] 《高等数学》吴赣昌等，《数学物理方程》，中国人民大学出版社，2009 年。 [2] 《高等数学》上下册黄立宏等编,复旦大学出版社,2009 年。 [3] 《数学分析》陈纪修，高等教育出版社，2005 年。 19