★二叉树性质 令性质1:在二叉树的第层上至多有2个结点(i≥1) 证明:用归纳法证明之 ①i=1时,只有一个根结点21=2=1是对的 ②假设对所有j(1j<i)命题成立,即第层上至多有2个结点 那么,第-1层至多有2-2个结点 又二叉树每个结点的度至多为2 第层上最大结点数是第i-1层的2倍,即2.22=2-1 故命题得证 令性质2:深度为k的二叉树至多有2-1个结点(K1) 证明:由性质1,可得深度为k的二叉树最大结点数是 ∑(第层的最大结点数)=∑27=2-1
二叉树性质 ❖性质1： 2 ( 1) 1 − i i 在二叉树的第 层上至多有 i 个结点 证明：用归纳法证明之 i=1时，只有一个根结点， 是对的 假设对所有j(1j<i)命题成立，即第j层上至多有 个结点 那么，第i-1层至多有 个结点 又二叉树每个结点的度至多为2 第i层上最大结点数是第i-1层的2倍，即 故命题得证 2 2 1 1 0 = = i− 1 2 j− 2 2 i− 2 1 2 2 2 − − = i i ❖性质2：深度为k的二叉树至多有 2 −1 个结点(k1) k 证明：由性质1，可得深度为k 的二叉树最大结点数是 ( ) 2 2 1 1 1 1 = = − = = − k k i k i i 第i层的最大结点数
◆性质3:对任何一棵二叉树T,如果其终端结点数为no 度为2的结点数为n2,则no=n2+1 证明:n为二叉树T中度为1的结点数 因为:二叉树中所有结点的度均小于或等于2 所以:其结点总数n=n0+n+n2 又二叉树中,除根结点外,其余结点都只有一个 分支进入 设B为分支总数,则n=B+1 又:分支由度为1和度为2的结点射出,∴B=n1+2n2 于是,n=B+1=n+2n2+1=no+n1+n2 ∴nO=n2+1
❖性质3：对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数为n0， 度为2的结点数为n2，则n0=n2+1 证明：n1为二叉树T中度为1的结点数 因为：二叉树中所有结点的度均小于或等于2 所以：其结点总数n=n0+n1+n2 又二叉树中，除根结点外，其余结点都只有一个 分支进入 设B为分支总数，则n=B+1 又：分支由度为1和度为2的结点射出，B=n1+2n2 于是，n=B+1=n1+2n2+1=n0+n1+n2 n0=n2+1
★几种特殊形式的二叉树 今满二叉树 ●定义:一棵深度为k且有2←-1个结点的二叉树称为 特点:每一层上的结点数都是最大结点数 今完全二叉树 定义:深度为k,有n个结点的二叉树当且仅当其每一个结点 都与深度为k的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时, 称为 ●特点 ◆叶子结点只可能在层次最大的两层上出现 ◆对任一结点,若其右分支下子孙的最大层次为则其左 分支下子孙的最大层次必为或|+1 ●性质 ◆性质4:具有n个结点的完全二叉树的深度为bog2n+1
几种特殊形式的二叉树 ❖满二叉树 ⚫定义： 一棵深度为 且有2 −1个结点的二叉树称为~ k k ⚫特点：每一层上的结点数都是最大结点数 ❖完全二叉树 ⚫定义：深度为k，有n个结点的二叉树当且仅当其每一个结点 都与深度为k的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时， 称为~ ⚫特点 ◆叶子结点只可能在层次最大的两层上出现 ◆对任一结点，若其右分支下子孙的最大层次为l，则其左 分支下子孙的最大层次必为l 或l+1 ⚫性质 ◆性质4： 具有n个结点的完全二叉树的深度为log 2 n +1
2 5 4 9)(10 12)(13)(14)(15 6 7 2 4 6 8)(9
1 2 3 11 4 5 8 9 12 13 6 7 10 14 15 1 2 3 11 4 5 8 9 12 6 7 10 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6
◆性质5:如果对一棵有n个结点的完全二叉树的结点按层序编号 则对任一结点(1≤n),有 (1)如果=1,则结点是二叉树的根,无双亲;如果1,则其 双亲是Li2」 (2)如果2>n,则结点无左孩子;如果2n,则其左孩子是2i (3)如果2+1>n,则结点元右孩子;如果2+1≤n,则其右孩子 是2+1
◆性质5：如果对一棵有n个结点的完全二叉树的结点按层序编号， 则对任一结点i(1in)，有： (1) 如果i=1，则结点i是二叉树的根，无双亲；如果i>1，则其 双亲是i/2 (2) 如果2i>n，则结点i无左孩子；如果2in，则其左孩子是2i (3) 如果2i+1>n，则结点i无右孩子；如果2i+1n，则其右孩子 是2i+1