例4.1一质量为的物体悬挂于轻弹簧下端，4业 不计空气阻力，试证其在平衡位置附近的振动 是简谐振动. 证如图4.4所示，以平衡位置A为原点，向 下为x轴正向，设某一瞬时振子的坐标为x, 则物体在振动过程中的运动方程为 d'x d =-k(x+l)+mg (a) (b) 式中是弹簧挂上重物后的静伸长，因为mg=d,所以上式为 d'x -kx dr 即为 d'x dr +02x=0 式中02= 于是该系统作简谐振动， 首页上页下页退出
首 页 上 页 下 页 退 出 11 例4.1 一质量为m的物体悬挂于轻弹簧下端， 不计空气阻力，试证其在平衡位置附近的振动 是简谐振动. 证 如图4.4所示，以平衡位置A为原点，向 下为x轴正向，设某一瞬时振子的坐标为x， 则物体在振动过程中的运动方程为 式中l是弹簧挂上重物后的静伸长，因为mg＝kl，所以上式为 2 2 ( ) d x m k x l mg dt = − + + 2 2 d x m kx dt = − 2 2 2 0 d x x dt 即为 + = 式中 .于是该系统作简谐振动. 2 k m =
§4-2 简谐振动的运动学 4.2.1简谐振动的运动学方程 以弹簧振子为例，其动力学方程为 d'x d +o2x=0 该方程的解 x=Acos(ot+o) 即为谐振动的运动学方程 式中A和p0为由初始条件所决定的两个积分常数。 12 首页上页下页退出
首 页 上 页 下 页 退 出 12 4.2.1 简谐振动的运动学方程 以弹簧振子为例，其动力学方程为 0 2 2 2 + x = dt d x 该方程的解 ( ) 0 x = Acos t + 即为谐振动的运动学方程 式中A和0为由初始条件所决定的两个积分常数。 §4-2 简谐振动的运动学
4.2.2描述简谐振动的三个重要参量 1、振幅A x=Acos(ot+po) xo=Acospo (1) 令0则 V=-@Asin(at+o) (2) 0 0+(2 得 2 4=V%0 02 2、周期、频率、圆频率 (1)周期T：完成一次完全振动所需的时间 x=Acos(ot+)=Acos@(t+T)+o] =Acos(ot+p0+2π) .oT=2π 或1=2% 13 首页上页下页退出
首 页 上 页 下 页 退 出 13 4.2.2 描述简谐振动的三个重要参量 1、振幅A = − + = + sin( ) cos( ) 0 0 V A t x A t 令 t=0 则 (2) (1) sin cos 0 0 0 0 = − = A V x A ( ) ( ) 2 2 1 + 2 2 2 2 0 0 V 得 A = x + （1）周期T：完成一次完全振动所需的时间 2、周期、频率、圆频率 cos( ) = +0 x A t 0 = Acos (t +T) + cos( 2 ) = A t +0 + T = 2 或 T = 2
(2)频率v:单位时间内所完成的完全振动的次数 (3)圆频率o:2π秒内完成的完全振动的次数 0=2V (4)固有圆频率：仅由振动系统的力学性质所决定的频率 固有角频率 固有振动周期 单摆 2=8 T=2π 1一 弹簧振子 02= m m T=2π 复摆 a? mgh T=2π mgh 14 首页上页下页退出
首 页 上 页 下 页 退 出 14 (3)圆频率：２秒内完成的完全振动的次数 固有角频率 = = = I mgh m k l g 2 2 2 复摆 弹簧振子 单摆 (2)频率：单位时间内所完成的完全振动的次数 T 1 = ＝２ 固有振动周期 = = = mgh I T k m T g l T 2 2 2 (4)固有圆频率：仅由振动系统的力学性质所决定的频率 2 =
3、位相和初位相（位 位置；相— 变化的态势) 位相是描述系统机械运动状态的物理量。（相又指月相之相一 取其具有周期性) x=Acos(ot+o) v=-@Asin(at+o) 能确定系统运动状态，而又能反映其周期性特征的是 p=0t+00 (2)是t=0时刻的位相，即初位相(0一2r之间取值) ①)用分析法确定特殊情况下的位相 ?0时，x=A,Vo=0. x=Acoso=4 vo=-@Asm o=0 00D- .00=0 X。=+A 首页上页下页退出
首 页 上 页 下 页 退 出 15 3、位相和初位相 位相是描述系统机械运动状态的物理量。（相又指月相之相 ─ 取其具有周期性） = − + = + sin( ) cos( ) (1) 0 0 v A t x A t 能确定系统运动状态，而又能反映其周期性特征的是 = + 0 t (i)用分析法确定特殊情况下的位相 = − = = = sin 0 cos 0 0 0 0 v A x A A 0 = 0 ❖ t=0 时，x0=A, v0=0. (位——位置；相——变化的态势） X 0 X0=+A （2）0 是t =0时刻的位相，即初位相（0—2之间取值）