第4章几何元素间的相对位置 几何元素间的相对位置关系可以分为从属、平行、相交砲包括正交 几种情形。在前一章中已研究了点、线、面之间的从属关系,两直线 间的平行、相交、交叉关系。本章仅研完直线与平面、平面与平面间 的平行、相交关系。 学时划分:本章两讲4学时。第一讲:§4.1~§4.2,第二讲:§4. ~§44。(若将§41放在第三章讲,第二讲后面可用于讲解习题) 重点平行关系的判别及应用、相交关系中求交点及交线方法、可见性判 别。 难点一求平面与平面的交线、垂直关系及其应用 4.1平行关系 4,1.1直线与平面平行 几何条件:如果一直线与平面上的某一直线平行,则此直线与该平面互相平 行。由此可知,直线与平面平行的问题可转化为两直线平行的问题。根据几何条 件及两直线平行的投影性质,就能解决其作图问题。 例4—1已知CEF和直线AB(p67图4-1(a),判断AB和∠CEF是否平行 图4-1 分析若能够在ACFF上作出与AB平行的直线,则可判定它们相互平行(因为, 若直线与平面平行,则必将与平面中一组直线平行,所以肯定能找到其中一条与 已知直线平行的直线
第4章 几何元素间的相对位置 几何元素间的相对位置关系可以分为从属、平行、相交(包括正交) 几种情形。在前一章中已研究了点、线、面之间的从属关系，两直线 间的平行、相交、交叉关系。本章仅研究直线与平面、平面与平面间 的平行、相交关系。 学时划分：本章两讲4学时。第一讲：§4.1～§4.2，第二讲：§4.3 ～§4.4。（若将§4.1放在第三章讲，第二讲后面可用于讲解习题） 重点—平行关系的判别及应用、相交关系中求交点及交线方法、可见性判 别。 难点—求平面与平面的交线、垂直关系及其应用。 4．1 平行关系 4，1．1 直线与平面平行 几何条件：如果一直线与平面上的某一直线平行，则此直线与该平面互相平 行。由此可知，直线与平面平行的问题可转化为两直线平行的问题。根据几何条 件及两直线平行的投影性质，就能解决其作图问题。 例4—1 已知⊿CEF和直线AB(p67图4—1(a))，判断AB和⊿CEF是否平行。 分析 若能够在⊿CEF上作出与AB平行的直线，则可判定它们相互平行（因为， 若直线与平面平行，则必将与平面中一组直线平行，所以肯定能找到其中一条与 已知直线平行的直线）
作图 (1)在CEF上作一辅助线CD。先作出cdab,再作出正面投影cd"; (2)观察cd与ab是否平行。因为cd与ab不平行,所以CD与AB不平行,因 而直线AB与ACEF不平行。 例4—2已知直线AB及点C,过点C作平面平行于AB(P68图4-2(a)) 分析只要过C作直线CDAB,则包含CD所作的任一平面均与AB平行,本题 为多解题,求出一解即可。 作图 (b) (1)过c作cdab、过c作cdab(因而CD|AB); (2)过C作直线CE,则CD与CE所确定的平面即为所求平面(E为空间任意 点 4.1.2平面与平面平行 几何条件:如果一个平面内的相交两直线对应地平行于另一个平面内的相交 两直线,则这两个平而互相平行(P68图43)。 如左图所示,因ABA1B1、BCB1C1,所以PQ 根据上述的几何条件和两直线平行的作图方法,就 可解决平行两平面的作图问题。 例4-3判别由ABC和∠DEF所表示的两平面是否 相互平行(P69图4-4(a))
作图 (1)在⊿CEF上作一辅助线CD。先作出cd∥ab，再作出正面投影c'd'； (2)观察c'd'与a'b'是否平行。因为c'd'与a'b'不平行，所以CD与AB不平行，因 而直线AB与⊿CEF不平行。 例4—2 已知直线AB及点C，过点C作平面平行于AB(P68图4—2(a))。 分析 只要过C作直线CD∥AB，则包含CD所作的任一平面均与AB平行，本题 为多解题，求出一解即可。 作图 (1) 过c'作c'd'∥a'b'、过c作cd∥ab（因而CD∥AB）； (2) 过C作直线CE，则CD与CE所确定的平面即为所求平面(E为空间任意一 点)。 4．1．2 平面与平面平行 几何条件：如果一个平面内的相交两直线对应地平行于另一个平面内的相交 两直线，则这两个平面互相平行(P68图4—3)。 如左图所示，因AB∥A1B1、BC∥B1C1，所以P∥Q。 根据上述的几何条件和两直线平行的作图方法，就 可解决平行两平面的作图问题。 例4—3 判别由⊿ABC和⊿DEF所表示的两平面是否 相互平行(P69图4—4(a))
分析根据两平面相互平行的条件,如果能在一平面内作出与另一平面内的一对 相交直线对应平行的一对相交直线,则表明这两个平面互相平行 作图 (1)作fnla'c,作fmn‖bc; (2)求FN及FM的水平投影n和fm。因为 In'llac'、 fellas,而fm'bc、fm‖bc, 所以FNAC、FM‖BC。这说明两平面内有一对相交直线对应平行,故 ∠ABC‖∠DEF。 4.2相交关系 直线与平面若不平行,则一定相交,且直线与平面只能交于一点。该点是 直线和平面的共有点,既在直线上,又在平面内。因此,在求交点的作图过程 中,将涉及在平面内取点、取直线的作图。 平面与平面若不平行,则一定相交。两平面的交线一定是一条直线,这条直 线为两平面所共有。因此,如果能设法求出两平面的两个共有点,或是一个共有 点和交线的方向,就可求出两平面的交线 4.2.1直线或平面有积聚性 当直线或平面处于特殊位置时,此时直线或平面的投影有积聚性,因此可利 用其积聚性从图上直接求出其交点或交线 1.平面有积聚性 平面有积聚性,意味着相交的平面是特殊位置平面,如投影面垂直面或投影 面平行面 如P70图45所示,直线EF与水平面AABC相交。fe与abc的交点k便是交 点K的正面投影。交点K属于ABC,也属与直线EF。根据这一几何条件,可在
分析 根据两平面相互平行的条件，如果能在一平面内作出与另一平面内的一对 相交直线对应平行的一对相交直线，则表明这两个平面互相平行。 作图 (1)作f'n'∥a'c'，作f'm'∥b'c'； (2)求FN及FM的水平投影fn和fm。因为f'n'∥a'c'、fn∥ac，而f'm'∥b'c'、fm∥bc， 所以FN∥AC、FM∥BC。这说明两平面内有一对相交直线对应平行，故 ⊿ABC∥⊿DEF。 4．2 相交关系 直线与平面若不平行，则一定相交，且直线与平面只能交于一点。该点是 直线和平面的共有点，既在直线上，又在平面内。因此，在求交点的作图过程 中，将涉及在平面内取点、取直线的作图。 平面与平面若不平行，则一定相交。两平面的交线一定是一条直线，这条直 线为两平面所共有。因此，如果能设法求出两平面的两个共有点，或是一个共有 点和交线的方向，就可求出两平面的交线。 4．2．1 直线或平面有积聚性 当直线或平面处于特殊位置时，此时直线或平面的投影有积聚性，因此可利 用其积聚性从图上直接求出其交点或交线。 1．平面有积聚性 平面有积聚性，意味着相交的平面是特殊位置平面，如投影面垂直面或投影 面平行面。 如P70图4—5所示，直线EF与水平面⊿ABC相交。f'e'与a'b'c'的交点k'便是交 点K的正面投影。交点K属于⊿ABC，也属与直线EF。根据这一几何条件，可在
ef上找出其水平投影k。点K(k,k)即为直线E与水平面AABC的交点。 为了使图形明晰,图中常用粗实线和虚线来区别可见和不可见部分的投影, 并利用重影点来判别其可见性 图4-5 如P70图45所示,正面投影中由于平面∠ABC的投影积聚为一直线,重合部分 只有交点k,所以没有可见性问题。在水平投影中,直线与平面的投影有部分重 合,相重合的部分有可见性问题。并且交点k是可见与不可见部分的分界点。这 里只有两种可能:FK在AABC上方,而K在下方;或者相反 现在利用重影点判别其可见性。水平投影中与已知直线FE相关的重影点有 两处。现取重影点12来判别直线的可见性。 属于直线上的点为I、属于平面AABC上的点为I显然I、Ⅱ是位于同一条 铅垂投射线上的一对重影点。可以看出:位于EF上的点比位于AABC上的点I 的z坐标值大。因此,对水平投影而言,FK可见,而KE上被△ABC遮住的部分 不可见。 务必意:正面投影与水平投影的可见性不一定相同,所以各个投影中的可 见性一定要分别进行判另别 dlg) n'lm/ 图4-6
ef上找出其水平投影k。点K(k'，k)即为直线EF与水平面⊿ABC的交点。 为了使图形明晰，图中常用粗实线和虚线来区别可见和不可见部分的投影， 并利用重影点来判别其可见性。 如P70图4—5所示，正面投影中由于平面⊿ABC的投影积聚为一直线，重合部分 只有交点k'，所以没有可见性问题。在水平投影中，直线与平面的投影有部分重 合，相重合的部分有可见性问题。并且交点k是可见与不可见部分的分界点。这 里只有两种可能：FK在⊿ABC上方，而KE在下方；或者相反。 现在利用重影点判别其可见性。水平投影中与已知直线FE相关的重影点有 两处。现取重影点12来判别直线的可见性。 属于直线上的点为Ⅰ、属于平面⊿ABC上的点为Ⅱ。显然Ⅰ、Ⅱ是位于同一条 铅垂投射线上的一对重影点。可以看出：位于EF上的点I比位于⊿ABC上的点Ⅱ 的z坐标值大。因此，对水平投影而言，FK可见，而KE上被ΔABC遮住的部分 不可见。 务必注意：正面投影与水平投影的可见性不一定相同，所以各个投影中的可 见性一定要分别进行判别
P70图46表示一个正垂面DEFG与一个水平面△ABC相交。因为这两个平面均 与V面垂直,可以确定其交线为正垂线,故其正面投影积聚为一点,水平投影为 mn。图中的虚线表示了不可见部分(分析交线的求法、可见性的判别)。 图47表示一般位置平面DEG与一个水平面AABC相交。因为∠ABC的正 面投影有积聚性,所以可直接求出DEFG的两个边DG和EF与ABC的交点 Mm,m)和N(n',n),直线MN即为两平面的交线 显然,只有水平投影有可见性问题。从正面投影很容易确定:平面DEFG有 部分(MGFN)在ABC的上面,其水平投影可见,可见与不可见部分的分界 线就是交线MN 2.直线有积聚性 当直线为投影面垂直线时,由于它的一个投影有积聚 性,因此可利用积聚性确定平面与直线的交点 P71图48表示铅垂线AB与4CD相交,由于AB 的水平投影积聚为一点,所以交点的水平投影k与该点重 影,借助面内的辅助线CF(cf,cf可求出k,可见性判别 如图际示 4.2.2直线或平面与一般位置平面相交 1.一般位置的直线与平面相交
P70图4—6表示一个正垂面DEFG与一个水平面ΔABC相交。因为这两个平面均 与V面垂直，可以确定其交线为正垂线，故其正面投影积聚为一点，水平投影为 mn。图中的虚线表示了不可见部分(分析交线的求法、可见性的判别)。 图4—7表示一般位置平面DEFG与一个水平面⊿ABC相交。因为⊿ABC的正 面投影有积聚性，所以可直接求出DEFG的两个边DG和EF与⊿ABC的交点 M(m'，m)和N(n'，n)，直线MN即为两平面的交线。 显然，只有水平投影有可见性问题。从正面投影很容易确定：平面DEFG有 一部分（MGFN）在⊿ABC的上面，其水平投影可见，可见与不可见部分的分界 线就是交线MN。 2．直线有积聚性 当直线为投影面垂直线时，由于它的一个投影有积聚 性，因此可利用积聚性确定平面与直线的交点。 P71图4—8表示铅垂线AB与⊿CDE相交，由于AB 的水平投影积聚为一点，所以交点的水平投影k与该点重 影，借助面内的辅助线CF(c'f'，cf)可求出k'，可见性判别 如图所示。 4．2．2 直线或平面与一般位置平面相交 1．一般位置的直线与平面相交