§3-2结合力的一般性质 虽然不同晶体的结合类型不同，但在任何晶体中，两个原子之间的相互作用力或相互 作用势能随原子间的变化趋势却相同。木节从两个原子之间的相互作用出发，给出品体的内 能及结合能的一般表述。 3.2.1原子问的相互作用 晶体中粒子的相互作用中分为吸引和和排斥作用两大类。粒子间距较大时，吸引起主 要作用：间距较小时，排斥作用起主要作用：在某一适当的距离，两种作用相抵消，使晶体 处于稳定状态。其中吸引作用来源于异性电荷之间的库仑引力，而排斥作用则来自两个方面： 一方面同同性电荷之间的库仑斥力：另一方面是泡利不相容原理所引起的排斥力。 两个原子的相互作用势能 曲线如图3-2-1(a)所示，根据 势能与中心力之间的关系， 即f)=-dur） .(3-2-1) 可以得到相互作用力的关 系，如图3-21(b)所示。显然， 当两原子间距较大时，吸引力 随间距的减小而迅速增大，排 斥力很小，总作用力r0 表现为引力，从而将原子聚集 起来：当间距很小时，排斥力 就显著的表现出来，并随r的减 小有比吸引力更快的增大，总 (b) 的作用力r0,主要表现为 斥力，以阻止原子间的兼并。 图22！品体相互作用势能曲线 在某适当距离r=6时，引力利 斥力相抵消，fG)=0,即 d=0 dr n (3-2-2) 由此式可以确定原子间的平衡距离 另一重要参量是有效引力最大时原子间距厂。，即
6 §3-2 结合力的一般性质 虽然不同晶体的结合类型不同，但在任何晶体中，两个原子之间的相互作用力或相互 作用势能随原子间的变化趋势却相同。本节从两个原子之间的相互作用出发，给出晶体的内 能及结合能的一般表述。 3．2．1 原子间的相互作用 晶体中粒子的相互作用中分为吸引和和排斥作用两大类。粒子间距较大时，吸引起主 要作用；间距较小时，排斥作用起主要作用；在某一适当的距离，两种作用相抵消，使晶体 处于稳定状态。其中吸引作用来源于异性电荷之间的库仑引力，而排斥作用则来自两个方面： 一方面同同性电荷之间的库仑斥力；另一方面是泡利不相容原理所引起的排斥力。 两个原子的相互作用势能 曲线如图 3-2-1（a）所示，根据 势能 u(r)与中心力之间的关系， 即 dr du r f (r) . .（3-2-1） 可以得到相互作用力的关 系，如图 3-2-1（b）所示。显然， 当两原子间距较大时，吸引力 随间距的减小而迅速增大，排 斥力很小，总作用力 f( r )<0， 表现为引力，从而将原子聚集 起来；当间距很小时，排斥力 就显著的表现出来，并随 r 的减 小有比吸引力更快的增大，总 的作用力 f( r )>0，主要表现为 斥力，以阻止原子间的兼并。 在某适当距离 0 r r 时，引力和 斥力相抵消， 0 f r( ) 0 ，即 0 0 r dr du r .（3-2-2） 由此式可以确定原子间的平衡距离 0 r 。 另一重要参量是有效引力最大时原子间距 m r ，即 r r u(r) r0 rm f(r) (a) (b) O O 图 2-2-1 晶体相互作用势能曲线
0 (3-2-3) 这一距离。处于势能曲线的转折点。 两个原子间的相互作用势能常用幂函数来表达，即 )=-+月 .(3-2-4) 式中，r为两个原子间的距离，m、n皆为大于0的常数。式(3-24)中第一项表示吸 引引能，第二项表示排斥能。必须假设在较大的间距上，推斥力比吸引力弱的多，这样才能 使原子聚集起来，成为周体：而在很小的间距上，排斥力又必须占优势，否则就不能出现稳 定平衡，因此>m。对于不同的结合类型，引起的吸引和排斥作用不相同，n、m的数值也 不同。 3.2.2品体的内能 用经典方法处理能量问题，则品体中总的相互作用势能可以视为原（离）子对之间的 相互作用势能之和。因此，可以通过计算两个原子之间的相互作用势能，同时考虑品格结构 的因素，从而求得品体的总势能。 设晶体中1，j两原子的间距为为4()，则在由N个原子组成的晶体中，原子1与品体 中所有原子的相互作用势能为 4=2心，)0≠) (3-2-5) 所以由N个原子组成的品体其总的相互作用势能可以写为 ≠) .(3-2-6) 由于山，)和。)是同一相互作用势能，故以第i个原子与以第j个原子分别作参考点 各自计算相互作用势能时计及了二次，因此式中引入12因子。 另外，晶体表面层的任一原子与所有原子的总相互作用势能，同晶体内部任一原子与 所有原子的总相互作用势能有差别，但是，由于晶体表面层的原子数目比晶体内部的原子数 目要少得多，所以，这种差别完全可以忽略，而不会对讨论结果的精度产生影响。取第1 个原子为参考原子，则式(2-2-6)可以进行简化，得到由个粒子所组成的晶体的总相互 作用势能为： U=2∑t,）(lj=23,N) .(3-27) 上述总相互作用势能实际上就是品体的内能
7 0 2 2 m rm r dr d u r dr df r .（3-2-3） 这一距离 m r 处于势能曲线的转折点。 两个原子间的相互作用势能常用幂函数来表达，即 m n r B r A u(r) .（3-2-4） 式中，r 为两个原子间的距离，m、n 皆为大于 0 的常数。式（3-2-4）中第一项表示吸 引引能，第二项表示排斥能。必须假设在较大的间距上，排斥力比吸引力弱的多，这样才能 使原子聚集起来，成为固体；而在很小的间距上，排斥力又必须占优势，否则就不能出现稳 定平衡，因此 n>m。对于不同的结合类型，引起的吸引和排斥作用不相同，n、m 的数值也 不同。 3．2．2 晶体的内能 用经典方法处理能量问题，则晶体中总的相互作用势能可以视为原（离）子对之间的 相互作用势能之和。因此，可以通过计算两个原子之间的相互作用势能，同时考虑晶格结构 的因素，从而求得晶体的总势能。 设晶体中 i，j 两原子的间距为为 ( )ij u r ，则在由 N 个原子组成的晶体中，原子 i 与晶体 中所有原子的相互作用势能为 N j i ij u u r 1 ( ) j i.(3-2-5) 所以由 N 个原子组成的晶体其总的相互作用势能可以写为： N i N j ij N i i U u u r 1 2 1 1 1 2 1 i j.（3-2-6） 由于 ij u r 和 ji u r 是同一相互作用势能，故以第 i 个原子与以第 j 个原子分别作参考点， 各自计算相互作用势能时计及了二次，因此式中引入 1/2 因子。 另外，晶体表面层的任一原子与所有原子的总相互作用势能，同晶体内部任一原子与 所有原子的总相互作用势能有差别，但是，由于晶体表面层的原子数目比晶体内部的原子数 目要少得多，所以，这种差别完全可以忽略，而不会对讨论结果的精度产生影响。取第 1 个原子为参考原子，则式（2-2-6）可以进行简化，得到由 N 个粒子所组成的晶体的总相互 作用势能为： j ij u r N U 2 j 1, j 2,3,, N.（3-2-7） 上述总相互作用势能实际上就是晶体的内能