在发☑ 令h→0，得 dB@=-λPn(t)+入Pn-1(t) dt 1951 两边同乘以et后移项整理得 dlePn(t】=AeNt Pr-1(t),（ (2) dt 当n=1,则 dep=AetP(t)=λete-t=入 dt 乃(0)=0 12/100 解得 乃(t)=λte-t 假设P1()=5e t成立.带入（2)式有 dlexPn(t) 入(At)n-1 dt _=XeNPn-1(t)= (m-1)川 ep.()=+c GoBack FullScreen Close Quit
12 /100 k J I k J I GoBack FullScreen Close Quit - h → 0, dPn ( t ) dt = −λPn ( t) + λPn − 1 ( t ) ¸ > ” ¶ ± e λt £ ë n d [ e λt Pn ( t)] dt = λeλt Pn − 1 ( t ) , (2) n = 1,K( d [ e λt P1 ( t)] dt = λeλt P0 ( t) = λeλt e −λt = λ P1(0) = 0 ) P1 ( t) = λte −λt . b Pn − 1 ( t) = (λt ) n − 1 ( n −1)! e −λt § ·. ë \ £ 2 § ™ k d [ e λt Pn ( t)] dt = λeλt Pn − 1 ( t) = λ (λt ) n − 1 ( n − 1)! → e λt Pn ( t) = (λt ) n ( n)! + c
在习 利用初始条件Pn(0)=0,可证得 1951 P()=A” (n)！ 对一切m≥0均成立。 定理证明反之亦然，得泊松过程的等价定义： 13/100 GoBack FullScreen Close Quit
13/100 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit |^–©^áPn(0) = 0,åy Pn(t) = (λt) n (n)! e −λt ÈòÉn ≥ 0˛§·" ½ny²áɽ,ß—tLß d½¬µ
数传在 定义5.0.6设计数过程{N(t),t≥0}满足下述条件： 1951 ●(1)N(0)=0; ●(2)N(t)是独立增量过程； ·(3)对一切0≤s<t,N(t)-N(s)~P((t-s),即 P[[N(t)-N(s)]=k)=(t-5)e-x-) k! (k=0,1,2,…) 14/100 注：特别有 P{N(t)=k}=P{[N(t)-N(O)]=k} te,(k=0,1,2,…） k 例5.0.7设{N(t),t≥0}是参数为入的泊松过程，事 件A在(0，T]时间区间内出现n次，试求： GoBack PIN(s)=k N(T)=n},0<k<n,0<s<T FullScreen Close Quit
14/100 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit ½¬ 5.0.6 OÍLß{N(t), t ≥ 0}˜ve„^áµ • (1)N(0) = 0; • (2) N(t)¥’·O˛L߶ • (3) ÈòÉ0 ≤ s < t, N(t) − N(s) ∼ P(λ(t − s)),= P{[N(t) − N(s)] = k} = (λ(t − s))k k! e −λ(t−s) (k = 0, 1, 2, · · · ) 5: AOk P{N(t) = k} = P{[N(t) − N(0)] = k} = (λt) k k! e −λt , (k = 0, 1, 2, · · · ) ~ 5.0.7 {N(t), t ≥ 0}¥ÎÍèλ—tLßßØ áA3(0, τ]ûm´mS—yngߣ¶µ P{N(s) = k|N(τ) = n}, 0 < k < n, 0 < s < τ
5有☑ 解： P{N(s)=k,N(T)=n} 1951 P{N(s)=k N(T)=n}= P{N(T)=n} =P{N(s)=k,N(T)-N(s)=n-k}nleT(AT)-m s))AT-5)a-k k! (n-)川 nle-A(Xr)n -1-习- n! 15/100 ()((1-)n-,k=01,2,…,n 例5.0.8事件A的发生形成强度为入的Poisson过程 {N(t),t≥0}.如果每次事件发生时以概率p能够被记 录下来，并以M(t)表示到t时刻被记录下来的事件总数，则 {M(t),t≥0}是一个强度为λp的Poisson过程. GoBack 事实上，由于每次事件发生时，对它的记录和不记 FullScreen Close Quit
15/100 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit ): P{N(s) = k|N(τ) = n} = P{N(s) = k, N(τ) = n} P{N(τ) = n} = P{N(s) = k, N(τ) − N(s) = n − k}n!e λτ (λτ) −n = e −λs(λs) k k! e −λ(τ−s) [λ(τ − s)]n−k (n − k)! n!e −λτ (λτ) −n = n! k!(n − k)!( s τ ) k (1 − s τ ) n−k = k n ( s τ ) k (1 − s τ ) n−k , k = 0, 1, 2, · · · , n ~ 5.0.8 ØáAu)/§r›èλPoissonLß {N(t), t ≥ 0}. XJzgØáu)û±V«pU P ¹e5ßø±M(t)L´tûèP¹e5ØáoÍ,K {M(t), t ≥ 0}¥òár›èλpPoissonLß. Ø¢˛ßduzgØáu)ûßÈßP¹⁄ÿP
在 录都与其他的事件能否被记录独立，而且事件发生服 1951 从Poisson分布.所以M(t)也是具有平稳独立增量的，故只 需验证M(t)服从均值为λpt的Poisson分布.即对t>0,有 P(M()=m)=(Apt)"e m! 16/100 GoBack FullScreen Close Quit
16/100 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit ¹—ÜŸ¶ØáUƒP¹’·ß ÖØáu)— lPoisson©Ÿ. §± M(t)襉k²’·O˛ßê IyM(t)—l˛äèλptPoisson©Ÿ. =Èt > 0, k P(M(t) = m) = (λpt) m m! e −λpt