管束的振动与S和Re有关. Regong等人基于漩涡脱落机 D 理,用S(S=∫n,fn为管子的固有频率)和Re标绘,以带状区域 指出了管子振动的可能范围,见图2.11 从图中可以看到,只有在雷诺数和以管子固有频率为依据的 Strouhal数的特定结合下,管子才可能振动.当Re<7×103时,管 束不会振动,而Re>105之后,振动也不会产生 0.6 0.5 较低的临界雷诺数 0.4 0.3 较高的 无振动 临界雷诺数 0.2 5b如,bb Re 图2.11漩涡脱落诱发的振动位置图 1·3尾流振荡模型 为了求解由于漩涡脱落而引起的系统振动,必须首先求解纳 维尔-斯托克斯方程,求得作用于系统上的表面力.代入有关振动 方程,最终求得系统振动的频率和振幅.但这仅是一种理想的方 法,因为理论求解纳维尔-斯托克斯方程尚无法完成目前,分析由 于漩涡脱落而诱发的振动,主要应用尾流振荡模型和相关模型 尾流振荡模型由 Bishop和 Hassan于1964年首先提出,后由 Hartlen和Skop等人改进,可以用于计算雷诺数在103到105范 围内弹性支撑的圆柱体的漩涡脱落诱发振动,但不适用于非圆截 面 考察图2.12所示的支撑在弹簧和阻尼器上的刚性圆柱体在 24
横掠流动产生的漩涡作用下所引起的振动.假设流动是二维的,且 在邻近尾流以外的流场中流体粘性可以忽略.漩涡只产生在圆柱 体的附面层内.漩涡仅以一种频率脱落,圆柱体表面除流动所产生 的力之外无其他外力,该系统是一个单自由度的二元流动的模型 振动方程为 a +25 (2.4) t 式中,y——圆柱体的振动位移,m; an系统固有角频率,Hz; —系统的阻尼系数; —流体密度,kg/m3; U—来流速度,m/s; CL—漩涡引起的升力系数; m0——包括流体附加质量的圆柱体质量,kg; 圆柱体直径 位移(y) 长度 直径(D) 4 均匀速度 图2.12刚性圆柱体振动系统 升力系数CL是时间的函数,按Skop的模型,C1可用下式描 述
a20 w,1-2HCLCI y F D (2.5) 式中,=2D,是 Strouhal I圆频率;Ci是圆柱体固定不动时 升力系数C1的最大值,由实验确定;G,H和F是待定参数 式(2.4)和(2.5)组成了流固耦合振动的非线性方程组,可用 Van der pol渐近解法求解.其解可以写成 b CLoCa,(ot )sinat +a2(at )cost] (2.6) CL= CLola3(at )sinat a (at)cost] (2.7) 其中,振动频率ω和振幅分量a,(ωt)(i=1,2,3,4)都是待求的 按 Van der pol的解法,可设a,(ot)是时间t的慢变函数. 和2的数量级分别为 (C1.o) aa(C (C02) 按下式引入两个频率失调率: δ=2 (2.8) (2.9) δ和△也是C102的量级.对于圆柱体来说,可以认为C02<1,因此 由以上两式可以导出近似关系式: 1+δ (2.10) 26·
c,2 ≈1+△ (2.11) 将式(2.6)、(2.7)代入式(2.4)、(2.5),略去量级比C。2更小 的项,令方程两侧的 sindt和cost项的系数相等,即可得到下列 四个微分方程: 2a1+a2+p 250 2 F C102(a3+a2-1)a (2.12) △-δ-HC102(a3+a2) Fa2+[△--HC102(a3+a2)] GC1.2(a3+ 式中,=87Sm,是一个常数,称为约化质量系数 对于稳定解,漩涡的发放频率与结构系统的频率锁定在同 个频率.此时,=0(=1,2,3,4),即a是与时间无关的常数 于是,式(2.6)、(2.7)可以表示成 CLo Ca sinat a2cosat (2.13) CL= CLo(a sinat+ a,cos wt (2.14) 因为是稳定解,与时间t的起始点的选取无关,故可取t的原 点使a2=0,同时令y与C的相位差为y,a1=a则可将以上两式 进一步简化为 CoSIne C CLosin (wt+s) (2.16) 按上式,a3=Acos,a4=Asin.A=」C,是振动圆柱的C的
幅值|Cr与固定圆柱体的CL的幅值C0之比 将式(2.15)、(2.16)代入方程组(2.12)中,整理后得 Ea+ uSing da+ uAcosy Fa-GCLo2(A2-1)Acosy (2.17) (A-8-HCLO2 A2)Asind=0 GC1O2(A2-1)Asiny +(A-8- HCLO2A2)Acos=0 上列方程组是一个线性齐次方程组,利用齐次方程有非零解 的条件,即系数行列式等于零,导出计算失调率δ的方程组为 δ3-(△-HC102)8+(442-pHF6 2(2:△-2:HCL02-pF)=0 (2.18) 求得该方程的实根,并代入式(2.10)中,即可求得漩涡脱落诱发振 动的频率o 联立求解式(2.17),即可求得a, Asin和Acosψ.利用 Asin 和 Acos/的平方和为A2,比值为tgy,最终得到解析结果: A (82+4÷2)2 4 F(d+42) GC 20 (2.20) 28 t 式中,H,G,F均由实验确定 为了验证上述近似解, Griffin和Skop进行了物理模型的风 洞试验,Urs是基准流速.试验结果如图2.13所示.从图上不难看 出,由尾流振荡模型得出的结果与实验数据较为吻合 心甲:中小中