《电磁学》课程教学资源（知识要点）第八章 交流电路

第八章交流电路目的：1、理解并掌握交流电的三要素：振幅、频率、初相位以及交流电的瞬时值、有效值等基本概念。2、掌握交流电路中各类元件（纯电阻、纯电感、纯电容）的电压、电流及元件电性能之间的相位关系。3、掌握串、并联电路的矢量图解法，并能进行有关的计算。4、了解电压复有效值、电流有效值及阻抗的概念，并能进行有关计算。5、掌握交流电路的功率和功率因素的概念，了解提高功率因素的方法。$ 8-1交流电的基本性质大小和方向都在不断地随时间作周期性变化的电流、电压及电动势通称为交流电，通有交流电的电路称为交流电路。交流电流、交流电压及交流电动势的大小和方向都在不断地随时间作周期性变化，以电流为例可用数学式子表示为：i(t)=i(t+T)=i(t+2T)=...i(t)表t时刻电流的值．T是一个常数称为交流电的周期，上式表明i是时间t的周期函数，函数的形式有各种各样，表示了不同的交流电随时间的变化规律不同。交流电的波形虽然各种各样，但最基本也是最重要的是正弦（或余弦）交流电，其它各种交流电都可以看成是由若干不同频率的正弦（或余弦）交流电合成的结果，本章仅讨论余弦交流电。通常的发电机所产生的是余弦交流电，其产生的电动势随时间的函数关系式。e=8mcos(ot+p)..()由此式可以看出要确定任意时刻交流电的瞬时值，必须知道它的三个基本参数，即频率、峰值和相位。1、频率和周期交流电流（或电压、电动势）的大小和方向不断地随时间作周期性变化，它完成一次变化所需要的时间为交流电的周期，用T表示，单位是秒。1f"T

第八章 交流电路 目的： １、理解并掌握交流电的三要素：振幅、频率、初相位以及交流电的瞬时值、有效值等基本 概念。 ２、掌握交流电路中各类元件（纯电阻、纯电感、纯电容）的电压、电流及元件电性能之间 的相位关系。 ３、掌握串、并联电路的矢量图解法，并能进行有关的计算。 ４、了解电压复有效值、电流有效值及阻抗的概念，并能进行有关计算。 ５、掌握交流电路的功率和功率因素的概念，了解提高功率因素的方法。 §8-1 交流电的基本性质 大小和方向都在不断地随时间作周期性变化的电流、电压及电动势通称为交流电，通有 交流电的电路称为交流电路。 交流电流、交流电压及交流电动势的大小和方向都在不断地随时间作周期性变化，以电 流为例可用数学式子表示为： i(t) 表 t 时刻电流的值．Ｔ是一个常数称为交流电的周期，上式表明 i 是时间 t 的周期 函数，函数的形式有各种各样，表示了不同的交流电随时间的变化规律不同。 交流电的波形虽然各种各样，但最基本也是最重要的是正弦（或余弦）交流电,其它各 种交流电都可以看成是由若干不同频率的正弦(或余弦)交流电合成的结果,本章仅讨论余弦 交流电。 通常的发电机所产生的是余弦交流电,其产生的电动势随时间的函数关系式。 .(1) 由此式可以看出要确定任意时刻交流电的瞬时值，必须知道它的三个基本参数，即频率、 峰值和相位。 １、频率和周期 交流电流（或电压、电动势）的大小和方向不断地随时间作周期性变化，它完成一次变 化所需要的时间为交流电的周期，用 T 表示，单位是秒。 i(t)  i(t  T )  i(t  2T )     e   cos(t   ) m T f 1 

周期的倒数表示在单位时间内，交流电变化的次数，称为交流电的频率，用f表示：频率的单位是赫慈，简称赫，用符号Hz表示。(1)式中的称为园频率(也称角频率),它表示简谐交流电瞬时值变化的快慢,单位是弧度/秒(rad/s)。园频率与频率、周期的关系2元0=2元f =T2、峰值和有效值(1)式中表示电动势的最大值,又称为峰值或幅值,我们常用的是交流电的有效值来表示它的大小,余弦交流电的有效值等于峰值的5倍,例如电压的有效值：/U=L=0.707UmV23、相位?(1)式中のt+称为交流电的相位.它是决定任意时刻交流电瞬时状态的物理量,其中表t=0时刻的相位，称为初相位。相位和初相位在交流电路中起着十分重要的作用，因此，交流电路比直流电路具有更复杂更丰富的内容。$8-2三种理想电路交流电路的基本问题和直流电路一样，也是确定电路各元件上的电流和电压的关系以及电流、电压和功率在电路中的分配问题。这里讨论的电流称为似稳电流，似稳电流所激发的电磁场称为似稳电磁场，似稳电流的瞬时值服从直流电的基本规律。一、交流电路中的电阻设电阻两端的电压为：u=U.cos(のt)则电阻中的电流为：i=Imcos(のt)表明纯电阻电路中，电流i和电压u是同频率的余弦波，它们的有效值之间的关系满足欧姆定律，并且相位相同

周期的倒数表示在单位时间内，交流电变化的次数，称为交流电的频率，用 f 表示： 频率的单位是赫兹，简称赫，用符号 Hz 表示。 (1)式中的ω称为园频率(也称角频率),它表示简谐交流电瞬时值变化的快慢,单位是弧度 /秒(rad/s)。园频率与频率、周期的关系 ２、峰值和有效值 (1)式中 表示电动势的最大值,又称为峰值或幅值,我们常用的是交流电的有效值来表 示它的大小,余弦交流电的有效值等于峰值的 倍,例如电压的有效值： 3、相位 (1)式中 称为交流电的相位.它是决定任意时刻交流电瞬时状态的物理量,其中 表 t=0 时刻的相位，称为初相位。 相位和初相位在交流电路中起着十分重要的作用，因此，交流电路比直流电路具有更复 杂更丰富的内容。 §8-２ 三种理想电路 交流电路的基本问题和直流电路一样，也是确定电路各元件上的电流和电压的关系以及 电流、电压和功率在电路中的分配问题。 这里讨论的电流称为似稳电流，似稳电流所激发的电磁场称为似稳电磁场，似稳电流的 瞬时值服从直流电的基本规律。 一、交流电路中的电阻 设电阻两端的电压为： 则电阻中的电流为： 表明纯电阻电路中，电流 i 和电压 u 是同频率的余弦波，它们的有效值之间的关系满足 欧姆定律，并且相位相同． T f    2  2  m  2 1 m m U U U 0.707 2    t   i I cos( t)  m  u U cos( t)  m 

交流电的瞬时功率等于电压瞬时值u和电流瞬时值i乘积，而它在一个周期以内对时间的平均值，称为平均功率，利用电流和电压的有效值，平均功率可以表示：P = I'R= IU三、纯电感电路设通过纯电感电路的电感元件的电流：i=Imcos（@t）7推导可以得出电感元件两端的电压：u=U.cos(ot+2上式表明，纯电感两端的电压与通过电感的电流频率相同，但相位不同，电压相位比电流相T位超前2纯电感电压峰值U.和电流的峰值I.之间的关系为：U.=Lol.用有效值表示U=LのI式中Lの称为电感元件的阻抗或称感抗，通常用Z，表示，即Z, = L0=2元fL感抗Z，的大小不仅与L成正比，还与交流电的频率f成正比。三、纯电容电路设通过纯电容电路的电容元件的电压：u=U㎡cosのt)元）则通过电路两端的电流为：i=Imcos(ot+2n上式表明，纯电容两端的电压与电流频率相同，但相位不同，电流相位比电压相位超前2纯电容电路电压峰值U，和电流的峰值I之间的关系为：「=CのV用有效值表示1=CoU1式中称为电感元件的阻抗或称容抗，仍用Z。表示，即

交流电的瞬时功率等于电压瞬时值 u 和电流瞬时值 i 乘积，而它在一个周期以内对时 间的平均值，称为平均功率，利用电流和电压的有效值，平均功率可以表示： 二、纯电感电路 设通过纯电感电路的电感元件的电流： 推导可以得出电感元件两端的电压： 上式表明，纯电感两端的电压与通过电感的电流频率相同，但相位不同，电压相位比电流相 位超前 。 纯电感电压峰值 和电流的峰值 之间的关系为： 用有效值表示 式中 称为电感元件的阻抗或称感抗，通常用 表示，即 感抗 的大小不仅与 L 成正比，还与交流电的频率 f 成正比。 三、纯电容电路 设通过纯电容电路的电容元件的电压： 则通过电路两端的电流为： 上式表明，纯电容两端的电压与电流频率相同，但相位不同，电流相位比电压相位超前 。 纯电容电路电压峰值 和电流的峰值 之间的关系为： 用有效值表示 式中 称为电感元件的阻抗或称容抗，仍用 c Z 表示，即 P  I R  IU 2 i I cos( t)  m  ) 2 cos(  u  U t  m 2  U m m I m m U  LI U  LI L L Z Z L  L  2fL L Z u U cos( t)  m  ) 2 cos(  i  I m t  2  U m m I I  CV I  CU c 1

11Z. =0c2元f表明容抗Z的大小不仅与电容c大小有关，还与交流电的频率f成反比，容抗和感抗一样单位均为欧姆，与电阻单位是相同的。现将三种理想电路总结列表如下：电压和电流的关系元件电流电压阻抗Z=U/I相位差UZRi= I, cos(ot)u= V. cos(ot)电阻0Uu= U., cos(ot+ ")i=I.cos(ot)Zr ==OL*122电感U.=Lol.u=U.cos(ot)U2元oc电容i=I.cos(ot+-Im22U.OC$8-3尖量图解法一、矢量图解法余弦交流电除用函数式、余弦曲线图表示外，还可以用失量图解来表示，设某一交流电压u=U.cos(ot+p)我们以直角坐标的原点作一矢量U，令其长度等于交流电压的峰值V，在t=0时刻矢量的方向与x轴的夹角等于交流电压的初相位，并使失量U以角速度绕0点向逆时针方向旋转，矢量称为旋转矢量，这种方法论叫做旋转量法，任一时刻t，矢量U，与在x轴上的投影，就等于交流电压在该时刻的瞬时x轴的夹角为ot+β，而矢量值u=Ucos(ot+o9旋转矢量不过是一种表示余弦函数的方法，在我们的三维空间中，实际上并不存在什么电流失量或电压矢量等。采用失量图解法求解同频率的两交流电的选加

c fc Z c  2 1 1   表明容抗 c Z 的大小不仅与电容 c 大小有关，还与交流电的频率 f 成反比． 容抗和感抗一样单位均为欧姆，与电阻单位是相同的。 现将三种理想电路总结列表如下： 元件 电 流 电 压 电压和电流的关系 阻抗Ｚ＝Ｕ／Ｉ 相位差 电阻 0 电感 电容 §8-3 矢量图解法 一、矢量图解法 余弦交流电除用函数式、余弦曲线图表示外，还可以用矢量图解来表示，设某一交流电 压 我们以直角坐标的原点作一矢量 ，令其长度等于交流电压的峰值 ，在 t=0 时刻矢量 的方向与 x 轴的夹角等于交流电压的初相位，并使矢量 以角速度ω绕０点向逆时针 方向旋转，矢量 称为旋转矢量，这种方法论叫做旋转矢量法，任一时刻 t，矢量 与 x 轴的夹角为 ，而矢量 在 x 轴上的投影，就等于交流电压在该时刻的瞬时 值 。旋转矢量不过是一种表示余弦函数的方法，在我们的三维空间中， 实际上并不存在什么电流矢量或电压矢量等。采用矢量图解法求解同频率的两交流电的迭加 i I cos( t)  m  i I cos( t)  m  ) 2 cos(  i  I t  m u V cos( t)  m  ) 2 cos(  u  U t  m m m U  LI u U cos( t)  m  C I U m m   R I U Z R   L I U Z L    I c U Z c  1   2   2   u  U cos(t   ) m U m V m V m U m V m U m t   V m u  U cos(t   ) m 1 i 2 i

PJ是极为方便的。两同频率交流电，和izi = Im cos(ot+o))iz = Im2 cos(ot +@2)这两个电流之和为：i=i,+i,=I,cos(ot+,)+Im,cos(ot+P,)用旋转矢量法可求得：i=1mcos(ot+β)式中1表示总电流i的峰值，它等于合矢量1的大小，则为i的初相位，即为=0时刻矢量与x轴的夹角，由图可以求得：1m=/+1m22+21.m2COS(P2-))Im, sin P, + Im2 sin P2β = arctanI mI COS P, + Im2 COS P2这就是利用量图来计算两同频率余弦交流电之和的方法。和直流电路一样，交流电路最基本的联接方式仍然是串联和并联两种。在串联电路中，任一时刻各点电流相同，总电压的瞬时值等于各段电路分电压的瞬时值之和，并联电路中，各支路两端电压相同，总电流的瞬时值等于各支路分电流的瞬时值之和。下面是采用矢量图解法求解串、并联电路所得的几个结论：一、串联电路1、RC串联电路RC串联电路的等效阻抗(亦称总阻抗)为：Z=Vz+Z。=R+(一)3该式表明,RC串联电路的等效阻抗不等于分阻抗的和,即ZZ+Z

是极为方便的。两同频率交流电 和 这两个电流之和为： 用旋转矢量法可求得： 式中 表示总电流 i 的峰值，它等于合矢量 的大小， 则为 i 的初相位，即为 t=0 时 刻矢量 与 x 轴的夹角，由图可以求得： 这就是利用矢量图来计算两同频率余弦交流电之和的方法。 和直流电路一样，交流电路最基本的联接方式仍然是串联和并联两种。在串联电路中， 任一时刻各点电流相同，总电压的瞬时值等于各段电路分电压的瞬时值之和，并联电路中， 各支路两端电压相同，总电流的瞬时值等于各支路分电流的瞬时值之和。 下面是采用矢量图解法求解串、并联电路所得的几个结论： 一、串联电路 １、RC 串联电路 RC 串联电路的等效阻抗(亦称总阻抗)为： 该式表明,RC 串联电路的等效阻抗不等于分阻抗的和,即 y m 2 I m I m1 I 0 x   1  2 cos( ) 1 1   1 i  I t  m cos( ) 2 2   2 i  I t  m cos( ) cos( ) 1 2 1   1 2   2 i  i  i  I t   I t  m m i  I cos(t   ) m m m I I  m I 2 ( ) 1 2 2 1 2 2 2 I m  I m1  I m  I m I m COS    1 1 2 2 1 1 2 2 cos cos sin sin arctan      m m m m I I I I    2 2 2 C 2 R ) c 1 Z Z Z R (      Z Z R Z c   1 i 2 i