第四章 MATLAB的数值计算功能 Chapter 4: Numerical computation of MATLaB 、多项式( Polynomial 多项式的表达与创建( Expression and Creating of polynomia (1)多项式的表达( expression of polynomial) Maab用行矢量表达多项式系数 Coefficient,各元素按变量的降 幂顺序排列,如多项式为: P(x)=aox"+ajx -+a2x-2.an-1x+an 则其系数矢量 ectorof coefficient)为:P=|a0a1… an-1 an 如将根矢量( lector ofroc)表示为: ar=arar2…arnl 则根矢量与系数矢量之间关系为: (x-ar1)(x-ar2).(x-arn)=aox+ajx -+a2x -2...an-1x+an (2)多项式的创建( polynomial creating) a)系数矢量的直接输入法 利用poly2sym函数直接输入多项式的系数矢量,就可方便的建立 符号形式的多项式。 例:创建多项式x3-4x2+3x+2 poly 2sym([1-43 2]) ans x^3-4*x^2+3*x+2 POLY Convert roots to polynomial POLY(A), when a is an n by n matrix, is a row vector with N+l elements which are the coefficients of the characteristic polynomial, DET(lambda"EYE(SIZE(A))-A) POLY(V), when V is a vector, is a vector whose elements are the coefficients of the polynomial whose roots are the elements of v. for vectors rootS and poly are inverse functions of each other, up to ordering, scaling, and
第四章 MATLAB 的数值计算功能 Chapter 4: Numerical computation of MATLAB 一、多项式(Polynomial)` 1．多项式的表达与创建(Expression and Creating of polynomial) (1) 多项式的表达（expression of polynomial）_ Matlab 用行矢量表达多项式系数(Coefficient)，各元素按变量的降 幂顺序排列，如多项式为： P(x)=a0x n+a1x n-1+a2x n-2…an-1x+an 则其系数矢量(Vector of coefficient)为：P=[a0 a1 … an-1 an] 如将根矢量(Vector of root)表示为： ar=[ ar1 ar2 … arn] 则根矢量与系数矢量之间关系为： （x-ar1）(x-ar2) … (x- arn)= a0x n+a1x n-1+a2x n-2…an-1x+an (2)多项式的创建（polynomial creating） a)系数矢量的直接输入法 利用 poly2sym 函数直接输入多项式的系数矢量，就可方便的建立 符号形式的多项式。 例：创建多项式 x 3 -4x2+3x+2 poly2sym([1 -4 3 2]) ans = x^3-4*x^2+3*x+2 POLY Convert roots to polynomial. POLY(A), when A is an N by N matrix, is a row vector with N+1 elements which are the coefficients of the characteristic polynomial, DET(lambda*EYE(SIZE(A)) - A) . POLY(V), when V is a vector, is a vector whose elements are the coefficients of the polynomial whose roots are the elements of V . For vectors, ROOTS and POLY are inverse functions of each other, up to ordering, scaling, and
roundoff error b)由根矢量创建多项式 通过调用函数p=poly(ar产生多项式的系数矢量,再利用 poly2sym函数就可方便的建立符号形式的多项式 注:(1)根矢量元素为n,则多项式系数矢量元素为n+1; (2)函数poly2sym(pa)把多项式系数矢量表达成符号形式的多项 式,缺省情况下自变量符号为x,可以指定自变量。 (3)使用简单绘图函数 ezplot可以直接绘制符号形式多项式的曲线。 例1:由根矢量创建多项式。将多项式(x-6)(x-3)(x-8)表示为系数形式 a=|638 %根矢量 pa=poly(a) %求系数矢量 ppa=poly2sym(pa) %以符号形式表示原多项式 ezplot(ppa, -50,50D) 1790-144 X^3-17*x^2+90*x-144 注:含复数根的根矢量所创建的多项式要注意: (1)要形成实系数多项式,根矢量中的复数根必须共轭成对; (2)含复数根的根矢量所创建的多项式系数矢量中,可能带有很小的 虚部,此时可采用取实部的命令(rea)把虚部滤掉。 进行多项式的求根运算时,有两种方法,一是直接调用求根函数 roots, poly和 roots互为逆函数。另一种是先把多项式转化为伴随矩阵,然后再 求其特征值,该特征值即是多项式的根。 例3:由给定复数根矢量求多项式系数矢量。 r-0.5-0.3+0.4i-0.3-0.4i; p=poly(r) pr-real(p) ppr=poly2sym(pr)
roundoff error. b) 由根矢量创建多项式 通 过 调 用 函数 p=poly(ar) 产 生 多项 式 的系 数 矢 量 , 再利用 poly2sym 函数就可方便的建立符号形式的多项式。 注：（1）根矢量元素为 n ，则多项式系数矢量元素为 n+1； （2）函数 poly2sym(pa) 把多项式系数矢量表达成符号形式的多项 式，缺省情况下自变量符号为 x，可以指定自变量。 （3）使用简单绘图函数 ezplot 可以直接绘制符号形式多项式的曲线。 例 1：由根矢量创建多项式。将多项式(x-6)(x-3)(x-8)表示为系数形式 a=[6 3 8] %根矢量 pa=poly(a) %求系数矢量 ppa=poly2sym(pa) %以符号形式表示原多项式 ezplot(ppa,[-50,50]) pa = 1 -17 90 -144 ppa = x^3-17*x^2+90*x-144 注：含复数根的根矢量所创建的多项式要注意： （1）要形成实系数多项式，根矢量中的复数根必须共轭成对； （2）含复数根的根矢量所创建的多项式系数矢量中，可能带有很小的 虚部，此时可采用取实部的命令(real)把虚部滤掉。 进行多项式的求根运算时，有两种方法，一是直接调用求根函数 roots， poly 和 roots 互为逆函数。另一种是先把多项式转化为伴随矩阵，然后再 求其特征值，该特征值即是多项式的根。 例 3： 由给定复数根矢量求多项式系数矢量。 r=[-0.5 -0.3+0.4i -0.3-0.4i]; p=poly(r) pr=real(p) ppr=poly2sym(pr)
1.00001.10000.55000.1250 pr 1.00001.10000.55000.1250 ppr- x^3+11/10*x^2+11/20*x+1/8 c)特征多项式输入法 用poly函数可实现由矩阵的特征多项式系数创建多项式。 条件:特征多项式系数矢量的第一个元素必须为一。 例2:求三阶方阵A的特征多项式系数,并转换为多项式形式 a=1638:;756;135 Pa=poly(a) %求矩阵的特征多项式系数矢量 Ppa=poly2sym(pa) 1.0000-160000380000-83.0000 X^3-17x^2+90*x-144 注:n阶方阵的特征多项式系数矢量一定是n+1阶的。 注:(1)要形成实系数多项式,根矢量中的复数根必须共轭成对; (2)含复数根的根矢量所创建的多项式系数矢量中,可能带有很小的 虚部,此时可采用取实部的命令(rea)把虚部滤掉。 进行多项式的求根运算时,有两种方法,一是直接调用求根函数 roots poly和 roots互为逆函数。另一种是先把多项式转化为伴随矩阵,然后再 求其特征值,该特征值即是多项式的根。 例4:将多项式的系数表示形式转换为根表现形式 求x3-6x2-72x-27的根 1-6-72-27 roots(a)
p = 1.0000 1.1000 0.5500 0.1250 pr = 1.0000 1.1000 0.5500 0.1250 ppr = x^3+11/10*x^2+11/20*x+1/8 c) 特征多项式输入法 用 poly 函数可实现由矩阵的特征多项式系数创建多项式。 条件：特征多项式系数矢量的第一个元素必须为一。 例 2： 求三阶方阵 A 的特征多项式系数，并转换为多项式形式。 a=[6 3 8;7 5 6; 1 3 5] Pa=poly(a) %求矩阵的特征多项式系数矢量 Ppa=poly2sym(pa) Pa = 1.0000 -16.0000 38.0000 -83.0000 Ppa = x^3-17*x^2+90*x-144 注：n 阶方阵的特征多项式系数矢量一定是 n +1 阶的。 注：（1）要形成实系数多项式，根矢量中的复数根必须共轭成对； （2）含复数根的根矢量所创建的多项式系数矢量中，可能带有很小的 虚部，此时可采用取实部的命令(real)把虚部滤掉。 进行多项式的求根运算时，有两种方法，一是直接调用求根函数 roots， poly 和 roots 互为逆函数。另一种是先把多项式转化为伴随矩阵，然后再 求其特征值，该特征值即是多项式的根。 例 4： 将多项式的系数表示形式转换为根表现形式。 求 x 3 -6x2 -72x-27 的根 a=[1 -6 -72 -27] r=roots(a)
12.1229 -0.3884 MATLAB约定,多项式系数矢量用行矢量表示,根矢量用列矢量表示。 1.多项式的乘除运算 Multiplication and division of polynomial) 多项式乘法用函数conv(a,b)实现,除法用函数 decoy(a,b)实现。 例1:a(s)=s2+2s+3,b(s)=4s2+5s+6计算a(s)与b(s)的乘积 a=123;b=456; c=conv(a, b) cs=poly2sym(c,’s) 413282718 4*s^4+13*s^3+28*s^2+27*s+18 例2:展开(s2+2s+2)(s+4s+1)(多个多项式相乘) c=conv(1,2,2],conv(1,41,1,1) cs=poly2sym(c,’s %(指定变量为s) 71618 s^4+7s^3+16s^2+18s+8 例2:求多项式S^47*s^3+16^2+18*s+8分别被(s+4),(s+3)除后的结 果 c=1716188 q1r1 decoy(c,1,4)%q—商矢量,r余数矢量 92, r2]=decon(c, [1, 3) cc=conv(q2, 1, 3D) %对除(s+3)结果检验 test=((c-r2)=cc)
r = 12.1229 -5.7345 -0.3884 MATLAB 约定，多项式系数矢量用行矢量表示，根矢量用列矢量表示。 >> 1. 多项式的乘除运算(Multiplication and division of polynomial) 多项式乘法用函数 conv(a,b)实现， 除法用函数 deconv(a,b)实现。 例 1：a(s)=s2+2s+3, b(s)=4s2+5s+6,计算 a(s)与 b(s)的乘积。 a=[1 2 3]; b=[4 5 6]; c=conv(a,b) cs=poly2sym(c,’s’) c = 4 13 28 27 18 cs = 4*s^4+13*s^3+28*s^2+27*s+18 例 2： 展开(s2+2s+2)(s+4)(s+1) （多个多项式相乘） c=conv([1,2,2],conv([1,4],[1,1])) cs=poly2sym(c,’s’) %（指定变量为 s） c = 1 7 16 18 8 cs = s^4+7*s^3+16*s^2+18*s+8 例 2：求多项式 s^4+7*s^3+16*s^2+18*s+8 分别被(s+4),(s+3)除后的结 果。 c=[1 7 16 18 8]; [q1,r1]=deconv(c,[1,4]) %q—商矢量， r—余数矢量 [q2,r2]=deconv(c,[1,3]) cc=conv(q2,[1,3]) %对除(s+3)结果检验 test=((c-r2)==cc)
rI= 0 r2 000 7161818 1.其他常用的多项式运算命令( Other computation command of polynomial) pa= polyval(p,s)按数组运算规则计算给定s时多项式p的值。 pm= polyram(p2s)按矩阵运算规则计算给定s时多项式p的值。 r;p,k= residue(b,a)部分分式展开,b,a分别是分子分母多项式系数 矢量,rp,k分别是留数、极点和直项矢量 p= polyfit(x,y,n)用n阶多项式拟合x,y矢量给定的数据 polder(p) 多项式微分 注:对于多项式b(s)与不重根的n阶多项式a(s)之比,其部分分式 展开为:如=1+5+L+--+(s) a(s) s-p s-p2 S-pm 式中:p1,p2…,pm称为极点( poles),r1,r2y…,rn称为留数( residues), k(s称为直项( direct terms),假如a(s)含有m重根p则相应部分应 写成:++L+ P, (s-P) (s-P, RESIDUE Partial-fraction expansion(residues) R, P, K= RESIDUE(B, A) finds the residues, poles and direct term of a partial raction expansion of the ratio of two polynomials b(SA(s). If there are no multiple
q1 = 1 3 4 2 r1 = 0 0 0 0 0 q2 = 1 4 4 6 r2 = 0 0 0 0 -10 cc = 1 7 16 18 18 test = 1 1 1 1 1 1. 其 他常 用的多 项式运 算命 令(Other computation command of polynomial) pa=polyval(p,s) 按数组运算规则计算给定 s 时多项式 p 的值。 pm=polyvalm(p,s) 按矩阵运算规则计算给定 s 时多项式 p 的值。 [r,p,k]=residue(b,a) 部分分式展开，b,a 分别是分子分母多项式系数 矢量，r,p,k 分别是留数、极点和直项矢量 p=polyfit(x,y,n) 用 n 阶多项式拟合 x，y 矢量给定的数据。 polyder(p) 多项式微分。 注： 对于多项式 b(s)与不重根的 n 阶多项式 a(s)之比，其部分分式 展开为： ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 k s s p r L s p r s p r a s b s n n + − + + − + − = 式中：p1,p2,…,pn 称为极点(poles)，r1,r2,…,rn 称为留数(residues)， k(s)称为直项(direct terms)，假如 a(s)含有 m 重根 pj，则相应部分应 写成： m j j m j j j j s p r L s p r s p r ( ) ( ) 1 2 1 − + + − + − + + − RESIDUE Partial-fraction expansion (residues). [R,P,K] = RESIDUE(B,A) finds the residues, poles and direct term of a partial fraction expansion of the ratio of two polynomials B(s)/A(s). If there are no multiple