第一章信号与系统基础 1.1连续时间信号 连续时间信号是指在所讨论的时间间隔内,对于任意时间值(除若干个不连续点之 外)都可给出确定的函数值。一些基本连续信号的表达式和波形有 、指数信号 f(t= Ke (1.1-1) 式中,a是实数。a>0,信号幅值随t增加而增大,为增值函数;a<0,幅值随t增加而减少 为衰减函数。实际中,常遇到的信号为衰减指数信号,如图1.1所示。 图1.1衰减指数信号 二、正弦信号 f(t)=Ksin(at+0) 式中,K为振幅,ω为角频率,单位为弧度/秒,θ为初相位,单位为弧度,其波形如图1.2所 (t) 图1.2正弦信号 余弦信号和正弦信号仅在相位上相差π/2 正弦信号和余弦信号常借用复指数信号来表示,由欧拉公式可知 、单位阶跃信号 u(t)={9,:≤ (1.1-4)
信号的波形如图1.3所示 图1.3单位阶跃信号 信号在t=0时发生跳变。 四、单位斜坡信号 0,t<0 r(t)= t,t≥0 信号的波形如图1.4所 图1.4斜坡信号 五、正负号信号 sgn(t)={1, t>0 (1.1-6) 1,t<0 信号的波形如图1.5所示。 n(t) 图1.5正负号信号 六、脉冲信号 单位脉冲函数可定义为:在E时间内,某一方波S(t)的面积为1,即满足下式
S.(t) 0≤t≤ (1.1-7) 当E→0时,方波的极限就称为单位脉冲函数,常记作8(t),又称为8函数。用δ函数 所描述的信号为δ信号,如图1.6所示 图1.6♂函数 从函数的极限角度看 8(t)∞,t=0 (1.1-8) 从面积的角度看, δ函数的重要性质有: (1)采样特性 f(t)8(t)=f(0)8(t) (1.1-10) 或 f(t)8(t-to)= f(to)8(t-to) (2)积分特性 d(r)dt u(t) (1.1-11) f(t)8(t)=f(0) (1.1-12) f(t)8(t-to)dt s f(to) (3)卷积特性 f(t)*8(t)= f(r)8(t-r)dr=f(t) (1.1-13 (4)δ函数的变换 拉氏变换 ≌[a(t)]=8(t)e-dt=1 (1.1-14) 傅氏变换 [a()-」) (1.1-15)
任何信号f(t)可以在时域内近似分解成为具有不同延时的矩形脉冲信号分量的叠 加,如图1.7所示。当脉宽△x→0时,信号f(t)可认为是由无数脉冲信号(t)的叠加。即 f(t)= f(r)8(t-t)dr (1.1-16) 图1.7信号分解为脉冲信号叠加 七、sinc信号 由下面函数式描述: sinc(t) (1.1-17) 其信号波形如图1.8所示 图1.8sinc函数 注意到,该函数是一个偶函数,在t的正、负两个方向振幅都是逐渐衰减的,当t 士π,±2π,…,±nπ时,函数值等于0。 sinc(t)函数具有以下性质 o sinc(t)dt=I (1.1-18) sinc(t)dt=丌 1.1-19) 八、复指数信号 如果指数信号的指数因子为一复数,则称之为复指数信号,其表达式为 (1.1-20) 借助欧拉公式,式(1.1-20)变为 f(t)=e o+mut= e(cost jsinot (1.1-21) 其结果表明,一个复指数信号可分解为实部和虚部两部分。其中,实部包含余弦信号,虚部
包含正弦信号。指数因子实数σ表征了正弦、余弦函数振幅随时间变化的情况,而指数因 子虚部则表示正弦和余弦函数的角频率。实际工程中并不能产生复指数信号,但可利 用复指数信号来描述各种基本信号,因此它在信号分析中起了十分重要的作用。 1.2离散时间信号 如前所述,离散时间信号定义为一时间函数,它只在某些离散的瞬时给出函数值,而 在其他处无定义。因此,它是时间上不连续按一定先后次序排列的一组数的集合,故称为 时间序列,简称序列,通常表示为 或具体地写为 {x(n)}={x(-∞),…,x(-1),x(0),x(1),…,x(∞)} x(n)仅对整数n才有定义。序列值x(n)与位置n有关,正如连续信号x(t)与时间t有关 样 离散序列{x(n)}可由连续时间信号x(t)在nT时刻采样而得,T为采样周期 用序列(1.2-1)描述的离散时间信号可用图1.9表示 4-202 图1.9离散时间信号图形表示 式(1.2-1)表示的序列为无限长序列,而实际应用中,序列长度是有限的,为有限长序 列。式(1.2-1)中,n1≤n≤n,n1和n2均为整数 MATLAB是用向量表示序列的。由于 MATLAB矢t的第一个元素位置是x(1),因 此为了清楚表示序列{x(n)}要用两个向量,其中一个向量n表示序列元素的位置,而另 个向量x表示序列值,如 iT 一般情况下,序列值是从n=0开始的,因此一个长度为N的有限序列的 MATLAB 表示为 x(0)x(1 (N-1)]