第十章网络的流 此时=)+日.显然子仍流-个可行流，但较之原来的可行流手，这时网络中从源 s到汇t的流量增大了一个值。因此，若于一个给定的网络可行流，经过儿次调整，直至 找不出增流链，就得到因大流。 这也就是说，若网络中的流量已达到因大值，则该网络中不可能再找出增流链。若 给定的流∫，减处构造 个点的集合，定义： 1.8∈V1: 2.若，∈和f<则e∈：若∈和fm>0,则∈. 根据的定义，可以证明t∈了1.否则，将有一条从s到t的增流链，此链的全部前 向边(，+1)满足 f（,+1)<c(,+1 而其全部后向边(+1，)满足 f+1,)>0. 这样，这条能将是可增流的，与假设矛盾。因此必有t∈了. 由此，K,7)网络的一个制，该制的容量元c(K,了)。同时，按的定义通过 这个制的流 f,)=∑=∑c=c%,7) (10.10) (iJ)E(V.V;) f7,)=∑ j=0 (10.11) 00E,7) 因减处假定网络中流量已达到因大，有 f)=fM,T)=c(,)2c(K (10.12) 由(10.9).(f)≤c(K). (10.9)与(10.12)式同时满足，一定有v(f*)=c(K). 根据上述注证减处可得因大流因小割定理： 定理10.1.1在运输网络中，最大流的流值等于最小割的容量 §10.2求网络最大流的标记算法 一、算法思路 标记法求因大流是从一个可行流出发（若网络G中没有给定的初始可行流，可由零 流出发)，经过标记和调整两个过程. 标记过程：这是用来寻找增流链的过程 先从源开始，若源能正向输送流到顶点，就说明顶点是可标的。 壁中，网络中的原点或莜标记按标记的先后顺序需逐点检在所以又分检查和襄粉才过 种)，或者未被标记，每个顶点给两种不同的记号：第一个表示它的标记是从哪一顶点得到 的顶点表示是巧中的点，没有标记的不是巧中的点，一目汇得颤中有标远 的。以便找出增流絳第二个标记是确宗增流铩的调格量日用的. 了标记，表明找到了
6 ✎✑✏✓✒✕✔✓✖✑✗✓✘ ✶✖➘ v(f 0 ) = v(f) + θ✜ ✣✁❉ f 0 ➥✘✖✳✖②✖✓✁✆✖✛, ➦ ❢✖è✁➧❬✍✖✓✁✆✖✛ f, ❻➘❲✟✚✠❲✦✓❃✖Û s Ð✖Ü t ✍✖✛✖➱✁➒✖➋✖Ú✖✳✖② θ ❄✖✜➨✩✁✶, ❂ ✲✳✖②✖➵✖➍✖✍❲✟✚✠✖✓✁✆✖✛, ➋✖♣✁➩✁➫✁➭❅ , ♠ ❆ ✂❏ ❩ ➒✖✛✁➓, â✁❧✖Ð✖✩✖➋✖✛✖✜ ❻ ✯ â✰✯ , ❂✟✚✠❲✦✚✍✖✛✖➱✑➯❍ Ð✖✩✖➋✁❄, ✃✖⑩✁✟✚✠❲✦❏✓✖û➡ ✂❩ ➒✖✛➲➓✖✜➄❂ ➵✖➍✖✍✖✛ f, ❼✖❽✖❫✁➳✖✳✖②✖r✖✍➯✁☞ V1, ➍✁☛: 1. s ∈ V1; 2. ❂ vi ∈ V1 ➇ fi,j < cij , ✃ vj ∈ V1; ❂ vi ∈ V1 ➇ fji > 0, ✃ vj ∈ V1 ✜ ❾✁❿ V1 ✍✖➍✁☛, ✓✖✔✁➵✑➸ t ∈ V 1 ✜✵➺✃, ❤✖❪✖✳➷❃ s Ð t ✍✁➒✖✛✁➓, ✶✁➓✖✍✁✇✁⑩➉ ➥s (vi , vi+1) ✷✁✸: f(vi , vi+1) < c(vi , vi+1). ✷✖❵✁✇✁⑩✁↔❲➥s (vi+1, vi) ✷✁✸: f(vi+1, vi) > 0. ❻✖á, ❻✖➷➓✁❤✰✓✁➒✖✛✖✍, ➔❮ ➤✁➻✁➼✜✵✩✁✶✁✳✖❪ t ∈ V 1 ✜ ❚ ✶ ,K(V1, V 1) ✘❲✟✚✠✖✍✖✳✖②✖➈, ➈✖✍✖➆✖➱✖✘ c(V1, V 1)✜ ④➘ , ➽ V1 ✍✖➍✁☛, ♦✖♣ ❻②✖➈✖✍✖✛✖✘: f(V1, V 1) = X (i,j)∈(V1,V 1) fij = X (i,j)∈(V1,V 1) cij = c(V1, V 1) (10.10) f(V 1, V1) = X (j,i)∈(V1,V 1) fji = 0 (10.11) ✩✖❼✖❽❮ ➍❲✟✚✠❲✦✚✛✖➱✑➯❍ Ð✖✩✖➋, ❪ v(f ∗ ) = f(V1, V 1) = c(V1, V 1) ≥ c(K∗ ) (10.12) ❚ (10.9),v(f ∗ ) ≤ c(K∗ ). (10.9) ➔ (10.12) ■ ④➘✁✷✁✸, ✳✖➍✖❪ v(f ∗ ) = c(K∗ )✜ ❾✁❿✮①⑦➵ , ❼✖❽✖✓✁❧✖✩✖➋✖✛✖✩✖➌✖➈✖➍✖➎: ➾✁➚ 10.1.1 ➪✁➶✁➹✑➘✓➴✑➷ , ➬✁➮✁➱✁✃✁➱✁❐✁❒✁❮✁➬✁❰✁Ï✁✃✁Ð✁Ñ✜ §10.2 ÒÔÓÔÕÔÖÔ×ÔØÔÙÔÚÔÛÔÜ❷Ý Þ❞✵ß✁à✁á✁â ➐◆➑◆●◆▲◆✩◆➋◆✛✰❃◆✳◆②◆✓➲✆◆✛❩ ✰ (❂ ✟➔✠ G ✦➔Ó◆❪◆➵◆➍◆✍➲ã➲ä◆✓➲✆◆✛, ✓ ❚ ★ ✛❩ ✰), ➋✖♣✖➐✖➑✖➇✁➭❅✥✖②✖♣✁å✖✜ æ✁ç✁è✁é: ❻✰❊❬❡✁✂✁➒✖✛✁➓✖✍✖♣✁å. r➲❃◆Û s ê ä , ❂Û s û➲➠➓➥➔❿◆Ï◆✛◆Ð◆q◆r vi , â➲✯ë➸➔q◆r vi ✰✓◆➐◆✍◆✜ ⑩❻②◆♣ å➓✦, ✟➔✠➓✦➔✍◆q◆r❄➲ì➐◆➑ (➽ ➐◆➑◆✍➲r➲↔➲í➲↕➲q➲î◆r➲ï➲ð, ✝✔◆✺➲ñ➲ï➲ð◆➇➲ò➲ï➲ð➲✥ ❫ ), ❄✁óòì➐✖➑✖✜ ➸✖②✖q✖r✖➵✁✥❫ ❏✁④✍✖➑✁ô: ✢✖✳✖②➦✖➧➂✖✍✖➐✖➑✰❃✁õ✖✳✖q✖r✁❧✖Ð ✍ , ✔✧❦✧✂❩ ➒☞✛✧➓; ✢✧✢☞②☞➐☞➑✰✘ ➏➍✧➒☞✛✧➓✖✍✧➭❅➱ θ ❊☞✍☞✜ ⑩ ➐☞➑☞♣✧å✙✦, ❪☞➐☞➑ ✍✖q✖r➦✖➧✰ V1 ✦✚✍✖r, Ó✖❪✖➐✖➑✖✍❏✰ V1 ✦✚✍✖r✖✜➄✳✁ö✖Ü t ❧✖Ð✖Ú✖➐✖➑, ➦ ➸✓✂✖Ð✖Ú
$10.2录网络最大流的标记算法 7 必条从。到的增作能如果标记过程无使进行下去，满t尚未标记则表明典存在s到： 的增作能 得裂因大作，同时这得到必个因小刺看 调整过程：这零米增大作过程 根据顶点的二必个标记反向追踪找出增作链Q看龄调当量)发仙，即t点的二二 个标记看在增作链的必行前向边增加日，后向边减少日，其它边的作量保持 变看这 样得的可行到的可行网转入标记当设美啊的培作时甲 汇t得典到标记时，算“终络看 指模型法问题 可一以：开始给源s标 「未标记点看按得到标记的先后顺序，取必个已标记满未 检查的点，若相邻的必行未景记的点： ,f:,>0.给v,标记(-v:,l(v:)这里l(v,)=min{l().f:1看 日标想满未检查的点看 可为以：成已标记已检在过的顶点，在标记下面任必横组重复二必流，必旦汇 被标记表明得到必条从：到1的增能链Q,进行二：流看要有被标记的顶点意已检查 过，满标记过程进行 束，这时的可行作就 义因大作看 一一可第数象的最-只配取穿于心化爬教于 线性规划9=)，即平t的最衡只标记4线： +对从8 f=了，-0， )从Q的 箕它 一整个的等津袖作 外2. 共10-4 且（一标记念另 (1).先给源S标上(0，+∞) (2).不S求行检查，从S点于发的边(s,)上，f1-c1-8故1
§10.2 ÷✁✔✓✖✁ø✁ù✁✘✑✗✓ú✁û✁ü✑ý 7 ✳➷❃ s Ð t ✍✁➒✖✛✁➓; ÷✁➙➐✖➑✖♣✁å✁þ✖●✭ ✆✁✹✖❧, ✷ t ❴ò✖➐✖➑, ✃✖➦ ➸❏✁❈✖⑩ s Ð t ✍✁➒✖✛✁➓, ✲✰❧✖Ð✖✩✖➋✖✛, ④➘ ✯ ❧✖Ð✖✳✖②✖✩✖➌✖➈✖✜ ÿ✁è✁é: ❻✰❊❬➒✖➋✖✛✖➱✖✍✖♣✁å. ❾✧❿☞q☞r☞✍☞✢☞✳☞②☞➐☞➑,“➣❲➥✄✂✁☎” ✂❩ ➒☞✛✧➓ Q✜ ➢ ➭❅➱ θ ✰ l(t), ý t r☞✍☞✢✧✢ ②✖➐✖➑✖✜ ⑩ ➒✖✛✁➓✮ ✍✖✳✁✆➉➥s✖✮➒➤ θ, ↔❲➥s✖✮❼ ❇ θ, ❵✖➂s ✍✖✛✖➱✁✝✁✞❏✁❳✜ ❻ áâ✁❧✖Ð✁✟✖✍✖✓✁✆✖✛✖✜➄❂✁✟✖✍✖✓✁✆✖✛◆⑧✁✟✖➫◆Õ✖➐◆➑✖♣➲å, ❅✁➡✖✯✂❏ Ð✁✟✖✍✁➒✖✛✁➓✖➘, ý Ü t ❧ ❏ Ð✖➐✖➑✖➘, ❘✖●✈✁✠✜ ✡☞☛✍✌✏✎✏✑✏✒ ✓Þ✁✔: ê ä✖➵✖Û s ➐ ✮ (0, +∞)(⑨ ô❲✦✚✢✖✳✖②✖✹✖ö, ✩ S ✰Û , ✕ ➑✖✘ 0), ❻➘ S ✰ ➯✚➐✖➑✖✷✁ò✁ï✁ð✖✍✖r, ❵✁✖✿✰ò✖➐✖➑✖r✖✜ ➽ ❧✖Ð✖➐✖➑✖✍✁r✁↔➲í✁↕, ⑥ ✳✖②✑➯✚➐✖➑✖✷✁ò ï✁ð✖✍✖r vi , ❂✁✮✁✗✖✍✖✳✁✆✁ò✖➐✖➑✖✍✖r vj : 1. ❂ ⑩☞s (vi , vj ) ✮, fi,j < ci,j , ✃➵ vj ➐☞➑ (+vi , l(vj ))✜ ❻❺ l(vj ) = min{l(vi), ci,j − fi,j}✜ ❻➘✖q✖r vj þ✖✘✑➯✚➐✖➑✖✷✁ò✁ï✁ð✖✍✖r✖✜ 2. ❂ ⑩✖s (vj , vi) ✮,fj,i > 0, ✃➵ vj ➐✖➑ (−vi , l(vj ))✜ ❻❺ l(vj ) = min{l(vi), fj,i}✜ ❻➘✖q✖r vj þ✖✘✑➯✚➐✖➑✖✷✁ò✁ï✁ð✖✍✖r✖✜ ✓✁✘✔: vi þ✖✘✑➯✚➐✖➑✑➯✓ï✁ð✖♣✖✍✖q✖r, ⑩ ➐✖➑✁✹✖⑨✾✳✁✙✻✜ ⑧✁✚✖✢✖✳✁✛, ✳✁ö✖Ü t ì➐✖➑, ➦ ➸✓❧✖Ð✖✳➷❃ s Ð t ✍✁➒✖✛✁➓ Q, ✭ ✆✖✢✁✜✁✛✖✜ ❂✝❪ì➐✖➑✖✍✖q✖r✿ ➯✓ï✁ð ♣ , ✷✖➐✖➑✖♣✁å✭ ✆ ❏✹✖❧✖➘, ✃❘✖●✖✗✁❲, ❻➘✖✍✖✓✁✆✖✛✖â✰✩✖➋✖✛✖✜ ✓✣✢✔: ➽ Ü t ➁✣✤✣✥✣✦✣✧✣★✣✩✣✪✣✫✣✬✣✭,“➣✯✮✰✂✣☎” ✱✣✲✣✳✣✴✣✵ Q, ✶✣✷✣✸✣✹✣✲✣✺ ✻✁✼✁✽✁✾ θ = l(t), ✿✁❀ t ★✁✩✁❁✁✫✁✬✁✭✺ ✻ : f 0 i,j = fi,j + θ, ❂ (i, j) ❃ Q ★✁❄❅✮❇❆ fi,j − θ, ❂ (i, j) ❃ Q ★✁❈❅✮❇❆ fi,j , ✤✁✥ ❉✁❊★✁❋✁●✴✁✹✁✲❅❍❇■ G, ❏ ❊ ✴ (❊ G) ❑ ❊✁▲✁▼✬✁✭✁◆✁❖✺ P 2. ✶✬◗✭◗❘◗❙◗❚ 10–4 ❯◗❱❲❍❳■★◗❨◗❩✴, ❬◗✱◗✲❨◗❭◗❪✺ ❆◗❫◗★◗❴◗❵❃ (ci,j , fi,j )✺ ❚ 10–4 ❛ : (✪ )❜ ✬✁✭✁◆✁❖ (1). ❝✁❞✁❡ S ✬✁❢ (0, +∞) (2). ❏ S ▲●✁❣✁❤, ✐ S ✧ ✲✁❥★✁❆ (s, v1) ❢ , fs,1 = cs,1 = 8 ❦ v1 ❧✁♠✁♥✬✁✭✺ ❆ (s, v2) ❢ ,fs,2 < cs,2, ❦ v2 ★✁✬✁✭✁♦ (+s, l(v2)), ✤❅♣,l(v2) = min{l(s),(cs,2 − fs,2)} =
8 顶点边网络的流 不到走迷重醛）=winttoa).ha)=min2,-在 (-2,1(m) 个寿检查过 ②，上9不海足起家件不到起进2 件里 .检查，继至，购上，a=4<e13=9,给起进为(+，》见过 minl(3.f4,3}=min2,1}=1m在上(，t)上t=c3,t=5,t不 ⑥.检查u,在至(，)：=8<t=10,故t 1() nia.eg-}=mm1,2=l,因平‘去到起 什柳足性 下一步限制过程件 (仁)、调 反霜宿踪，然超点零因一只起 足所示 净到一条必总链Q=购4，如图10-满 f2=f.2+0=5+1=6 1.3=1.3+0=4+1=5 f4-f4+-8+1-9 f12=12-0-4-1=3 f.3=f,3-9=1-1=0 见两上g任保特不大民制香去到达大图上一只零零可 总如图10-5所示 图10-5 人上述起进 起进在图0检查给，起进仁，卷拳 程寻 点链开标给起进(0，+四，检查，给 给你起进（+1,1)，检记.主（巴4，） f3=0. 上，人,均不符合起进条件起号过程无算进，算算结束故 图10-5给收零可 总意为该达武零最出总件最出总任为炉 (f)=f1+f2=ft+ft=14. 现已起进零超点集合巧=s,,未起进零超点集合了=小，故面 K(,了)={2，(，t}该达零最小有，两零容任c(,)-14 至由比可向，最小有零容任金小影最出总零值最小有达 月最紧张零那给 为提高最出启值必须多出有过零容程4是过来如果最外看过惑季这力被降低时 会最出零总降低件
8 q❅r❇s✉t❇✈❅✇❇① min{+∞, 2} = 2✺ S ② ♦❅③❇❣✁❤✁◆✁★✁✧✺ (3). ④ ③✰✬✣✭✣⑤✣⑥✣❣✣❤✣★✣✧ v2, ❣✣❤ v2, ⑦❆ (v1, v2) ❢ ,f1,2 = 4 > 0, ❦✣❏ v1 ✬✣✭ (−v2, l(v1)), ❬✁⑧✁⑨:l(v1) = min{l(v2), f1,2} = min{2, 4} = 2✺⑩⑦❆ (v3, v2) ❢ ,f3,2 = 0, ❦ v3 ❧✁♠✁♥✬✁✭✺⑩⑦❆ (v2, v4) ❢ , f2,4 = c2,4 = 9, ♠✁❶✁❷✬✁✭✁❸✁❹,v4 ❺✁❧✁♠✁♥✬✁✭✺ v2 ❺ ② ♦❅③❇❣✁❤✁◆✁★✁✧✺ (4). ❣✣❤ v1, ⑦❆ (v1, v3) ❢ , f1,3 = 4 < c1,3 = 9, ❞ v3 ✬✣✭✣♦ (+v1, l(v3)), ✤✯♣, l(v3) = min{l(v1),(c1,3 − f1,3)} = min{2, 5} = 2✺ (5). ❣✁❤ v3, ⑦❆ (v4, v3) ❢ ,f4,3 = 1 > 0, ❦✁❞ v4 ✬✁✭✁♦ (−v3, l(v4)), ✤❅♣ l(v4) = min{l(v3), f4,3} = min{2, 1} = 1✺⑩⑦❆ (v3,t) ❢ ,f3,t = c3,t = 5,t ♠✁❻✬✁✭✺ (6). ❣✣❤ v4, ⑦❆ (v4,t) ❢ ,f4,t = 8 < c4,t = 10, ❦ t ✧❧✣♥✬✣✭ (+v4, l(t)), ✤✯♣ l(t) = min{l(v4),(c4,t − f4,t)} = min{1, 2} = 1, ❼✁❀ t ❧✁♥✬✁✭, ▲●✁❽✁✪✁❾✼✁✽◆✁❖✺ (❿)❜⑩➀✁➁✁➂✁➃ (1). “➄ ✮❇➅✁➆”, ❉✦✁✧✁★✁✩✁✪✁✫✁✬✁✭✱♥✪✁❸✳✁✴✁✵ Q = sv2v1v3v4t, ➇ ❚ 10–4 ✷ ✸✁❯✁❱✁✺ (2). ❉ θ = l(t) = 1 ✼✁✽✳✁✴✁✵❢✁➈✁❆✁★✴✾ : f 0 s,2 = fs,2 + θ = 5 + 1 = 6 f 0 1,3 = f1,3 + θ = 4 + 1 = 5 f 0 4,t = f4,t + θ = 8 + 1 = 9 f 0 1,2 = f1,2 − θ = 4 − 1 = 3 f 0 4,3 = f4,3 − θ = 1 − 1 = 0 ✤✁✥✁❆✁❢✴✾✁➉✁➊♠✁➋✺ ✼✁✽❈❧✁♥ ❍❇■❚✁❢✁✪✁✫❊★✁❋✁●✴, ➇ ❚ 10-5 ❯✁❱: ❚ 10–5 ⑦ ❚ 10–5 ♣❑✁➌❢✁➍✁✬✁✭✁◆✁❖, ➎✁✱✁✳✁✴✁✵✁✺⑩➏✁➐✁❞ S ✬✁✭ (0, +∞), ❣✁❤ S, ❞ v2 ✬✁✭ (+s, 1), ❣✁❤ v2, ❞ v1 ✬✁✭ (−v2, 1), ❣✁❤ v1, ❞ v3 ✬✁✭ (+v1, 1), ❣✁➑ v3, ❆ (v4, v3) ❢ f4,3 = 0, ❆ (v3,t) ❢ , f3,t = c3,t, ➒♠✁➓✁➔✬✁✭✁❸✁❹, ✬✁→✁◆✁❖✁➣✁❘▲● , ↔❘✁↕✁➙✺➛❦ ❚ 10–5 ❞✁✲ ★✁❋✁●✴✁✿♦✁➜❍❇■★✁❨✁❩✴✁✺ ❨✁❩✴✾♦ : v(f ∗ ) = fs,1 + fs,2 = f3,t + f4,t = 14. ➝ ③➞✬➟✭➟★➟✦➟✧➟➠➔ V1 = {s, v1, v2, v3}, ⑥➟✬➟✭➟★➟✦➟✧➟➠➔ V 1 = {v4,t}, ❦➟⑨ K(V1, V 1) = {(v2, v4),(v3,t)} ❃➜ ❍❇■★✁❨✁❭✁❪, ✥✁★✁➡✾ c(V1, V 1) = 14✺ ➢✄➤❋➦➥, ❨➦❭➦❪➦★➦➡✾❩➦❭➦➧➦➨➦❨➦❩✴ ★✴➦➩✁✺ ❨✁❭➦❪❃➫❍❇■♣❻✁➭❨✁➯➦➲✁★➦➳✁➵ ❆ ✺ ♦✁➸✁➺✁❨✁❩✴✁➩, ➻✁➼✁✳❩✁❪❅♣❇❆✁★✁➡✾ ✺➽➄◆✁➾, ➇✁➚❨✁❭✁❪❅♣❇❆✁★❻✁➭✁➪✁➶✁➹, ➘ ➴✁➷❨✁❩✴ ★✴✁➩➶✁➹✺
$10.3最大流最小割定理的推广 9 §10.3最大流最小割定理的推广 在这一节里，我们介绍一下最大流最小割定理的推广， 一、多源多汇的运输网络 一个运输网络上可能有多个源s1,s2,…,sm和多个汇t1,2,,tn.如图10-6所示 图10-6 顶点和都是课和都是汇6是中转点，间题是使从源1和 输送到汇和2的总流量最大。为了能利用上述定理和求章法，我们 流流式 成、源， 一个第的源s和汇t, 草路的 男的为十，这解枕有了图所不的典 ,来的， 大流问题网络。 图10-7 ·、第九中介绍短的运输网络 本如在一个网络G上不质边有容封夏早顶成也有容武限瓷于也器和工求从 源平的最大流时，可能会是到顶紧容量的 是顶点有容量 ,而边上的容量 。对这流的网络不难， 且恩有可对顶点边都一 为到对哈而 高音以名所际风来批可安网点 模有容量的网络上 求最大瓷问题转的我们已数线过的网络向题了
§10.3 ➬✁➮✁①✁➬✁➱❅✃❇❐✁❒❅✇❇❮✁❰ 9 §10.3 ÏÑÐÑÒÑÏÑÓÑÔÑÕÑÖÑ×ÑØÚÙ ⑦✁Û✪✁Ü✁Ý, Þ✁ß✁à✁á✪✁❽✁❨✁❩✴❨✁❭✁❪✁â✁ã✁★✁ä✁å✺ æèçêéèëèéèìîíðïðñîòðó ✪✁✫✁ô✁õ ❍❇■❢✁❋❻⑨✁ö✫❡ s1, s2, . . . , sm ÷ö✫ ❀ t1,t2, . . . ,tn ✺⑩➇❚ 10–6 ❯✁❱: ❚ 10–6 ✦✣✧ s1 ÷ s2 ø❃✣❡,t1 ÷ t2 ø❃✣❀,v1,v2,. . .,v6 ❃ ♣✰ù✣✧✺ûú✣ü✣❃➷✐✣❡ s1 ÷ s2 õ✁ý♥❀ t1 ÷ t2 ★✁þ✴✾❨✁❩✺ ♦✁ÿ❻✁✁✂✶❢✁➍✁â✁ã÷❙✁✄↔❘ , Þ✁ß✁☎✁✆✁ú✁üù✁✝ ②✟✞✣❡, ✞✣❀✟✠✟✡✣✺☞☛✟✌➾✟✍, ✎✟✏✪✣✫✟✑✟✒✣★❡ s ÷❀ t, ✓✟✔❊★✣❆ (s, s1),(s, s2) ÷ (t1,t),(t2,t), ✕✁✖✁✗â✁✘ß ★✁➡✾ ➒♦ +∞ ✺⑩Û✁✙, ➘✁⑨ÿ✁✪✁✫➇ ❚ 10–7 ❯✁❱★✁✚✁✛✁❨ ❩ ✴✁ú✁ü❅❍❇■✁✺ ❚ 10–7 ✜ç✣✢✥✤✥✦✥✧✩★✫✪ðíðïîñðòîó ✬ ➇✣⑦✪✣✫ ❍✰■ G ❢ ♠✟✭❆ ☛✣⑨➡✾⑤⑧ ✦✣✧❺☛✣⑨➡✾ , ✦✣✧✟✮✟✯❡÷❀✣✺ ❙✐ ❡♥❀ ★✁❨✁❩✴✁✖, ❋ ❻➴✁✰♥✦✁✧✁➡✾★✁✱✁✲, ✳✁✴✁❃✦✁✧⑨ ➡✾✱✁✲✺ ⑤✁❆✁❢✁★✁➡✾ ➣✁✱✁✲✺⑩❏✁✵✁Û✁✶✁✷✛✁★ ❍❇■♠✁✸☎ ✘✁ù✁✝✁♦Þ✁ß ③✺✹✁✻✁◆✁★ ❍❇■, ☛✁✌✁✼❘ ❃: ☎✁⑨➡✾★✁✦✁✧ vi ✽ ♦✁✾✁✫✁✦✁✧ v 0 i ÷ v 00 i , ✕✁✖✁⑦ v 0 i ÷ v 00 i ✿✁❀✓ ✪✁❸✁❆ (v 0 i , v 00 i ), ❬ ⑧✟❁â❯✣⑨❋✟❂✣✦✣✧ vi ★✣❆ø✟❃♦ ♥❂ v 0 i ; ⑤☎✣❯✣⑨★✣❆ (vi , vj ) ❃ ♦ (v 00 i , vj ), ❬✣❞❆ (v 0 i , v 00 i ) ❄ ➡✾ c(v 0 i , v 00 i ) = c(vi), ➇ ❚ 10-8 ❯✁❱✁✺ Û✁✙, ➘ ❋ ❄✁☎✦✁✧❺☛✁⑨➡✾★ ❍❇■❢ ❙✁❨✁❩✴✁ú✁üù✁✝✁♦Þ✁ß ③✺✹✁✻✁◆✁★ ❍❇■✁ú✁üÿ ✺
10 第十章网络的流 图10-8 三、边用举例 例3. 用一资有量个网络。1和2，对个销络和和.运箱网络塑109所示 其中和高个中转站。所标数字是线过的最大输送能力.试求从 到销“的最 大运送量，并找出最小割。 图10-9 E高整孤位风东任专不中杂中发男 大流 寄到：的边。边代)的容批取作所有以。为始尚的边的容#之或为 +6,这里取10+5+是=27.同样，边(，s2)的容量可取作15+12=27.而边(1，)的 容量取作所有以1为点的边的容量之和或为+，边(2，)和(3，t)的容量类同，这样 就得到网络图10-10.求解的结果也标在图10-10上，边旁的数字是(c,f), 图10-10
10 q❅r❇s✉t❇✈❅✇❇① ❚ 10–8 ❅ç✣❆✥❇✥❈✥❉ P 3. ❊✟✶✟❋✟●✣⑨✾✣✫✟❍✟■ s1 ÷ s2, ❏ ✫✟❑✟■ t1,t2 ÷ t3 ✺ ô✣õ ❍✰■✣➇❚ 10-9 ❯✣❱, ▲ ♣ v1 ÷ v2 ❃ ✾✣✫✯♣✰ù✟▼✺⑩❯✬✣❴✣❵❃✣✸✟◆★✣❨✣❩✣õ✣ý❻✣➭✺P❖❙✐ ❍✟■♥ ❑✟■✣★✣❨ ❩✁ô✁ý✾ , ❬✁✱✁✲ ❨✁❭✁❪✺ ❚ 10–9 ❛ : Û✣❃✪✣✫ö✣❡✣ö✣❀★✣ô✣õ ❍✰■✣✺ ♦✣ÿ ❻✟✶✟◗✟❘✩✣❁✣Ü✍♣à✣á★↔❘✣❙✟✘★✣❨ ❩ ✴, ❙✟❚✟☎✘✟❯②✟✞✣❡✟✞✣❀★ ❍✰■✣✺⑩Þ✣ß✣⑦✯❍✰■ ♣❱✑✟✒✣✪✣✫❡ s ÷✪✣✫❀ t ❄✟❲ s ♥ s1,s2 ★✁❆,t1,t2,t3 ♥ t ★✁❆✺ ❆ (s, s1) ★✁➡✾ ④✁❳✁❯✁⑨✁❄ s1 ♦➐ ✧✁★✁❆✁★✁➡✾ ✿÷✳ ♦ +∞ , Û Ý ④ 10 + 5 + 12 = 27✺❨✕✁✙, ❆ (s, s2) ★✁➡✾❋ ④✁❳ 15 + 12 = 27✺ ⑤✁❆ (t1,t) ★ ➡✾ ④❩❳➦❯➦⑨❩❄ t1 ♦❩❬➦✧➦★➦❆➦★➦➡✾ ✿÷✳ ♦ +∞, ❆ (t2,t) ÷ (t3,t) ★➦➡✾ ✷❩✕➦✺ Û❩✙ ➘❧✁♥ ❍❇■❚ 10–10✺ ❙✁✄✁★✁↕➚❺ ✬ ⑦ ❚ 10–10 ❢ , ❆✁❫✁★✁❴✁❵❃ (cij , fij )✺ ❚ 10–10