《高级微观经济学》第九章 一般均衡及其福利

第九章一般均衡及其福利 命题2.设Z1,Z2,…,z是R的任意有限个非空子集,z=∑1Z1°则cZ∑n1clZ c0Z=∑m1coZ。尤其是当Z为闭集时,z=∑m1clZ 证明:包含式cZ∑阳2cl1和coc∑2oZ1的成立是明显的,因而当Z为闭集时 Z=∑m1clZ。以下证明c0Z彐∑=1C0zk成立。从数学归纳法可进一步得知,实际上只需证 明n=2时这一包含式成立 设2∈Z2任意给定。则coZ1+z2=c0(Z1+z2)cc0(Z1+Z2)。既然2是任意给定的, 我们有coZ1+2Z2sco(z1+Z2)。同样,对任何1∈coZ1,都有x1+coZ2sco(Z1+Z2), 因而coZ1+coZ2≤co(Z1+Z2)。命题2得证。 命题3.设Y≤R是闭凸集,Y(-)=0且-RsY,则对任何b∈R及整数n>0, 存在常数c使得只要n,y2,…,yn∈Y且∑1y≥b,就有yl<c(=12,…,n) 证明:令K={∈F:|y=},则0gcoK。事实上,假如0∈coK,则存在K中有限个 向量 y,y2,…,yk 及加权数a1>0,a2>0, 使得0=∑6 既 然Y是凸集且0∈Y,我们有-ay1=a10+∑2ay∈Y,即ay∈-y。显然,a1y1≠0 另一方面 于是,0≠a1y∈Y∩(-1),这与y∩(-1)={0}相矛 盾。可见0∈coK不能成立,即只有0gcoK 注意,K是紧集。容易验证,紧集的凸包仍然是紧集,因此coK是紧集,从而是闭凸集 由凸集的分离性定理(见第二章)知,存在q∈R使得对一切y∈coK,都有qy<0。既然 因此qy<0对一切y∈-R成立。这就说明q>>0 令E=max(y:y∈},a=max{qy:lys1,则g<0,a>0。我们指出:对任何y∈Y, 都有q<a-E+y实际上,对于y∈y,当<1时,gysa<a-E+p:当21时 Y的凸性及0∈Y保证了∈K,从而/≤E,可见qy≤s<a-E+4y 现在可以完成命题3的证明了。设b∈R,n>0为整数。令c=(qb-m(a-E)/,则当 1,y2…,yn∈Y且∑1≥b时,bs∑;<∑1(a-E+圳y1)=m(a-)+∑my‖ 因此lyk|sSmy<(qb-m(a-E)kE=c(k=12,…m)。命题3得证 命题4.设Z是R的下有界子集,v∈R且m>0为任一整数。则存在常数a使得只要 ∈Z(=1,2…,m)且∑m1x≤v,就有|a(=12,…,m)。 证明:我们应用命题3来证明命题4。设w∈R(是集合Z的一个下界,即w≤z对一切z∈Z 成立。令Y=-R,易见Y满足命题3的条件,且对每个x∈Z,都有w-xeY。再令b=m-y 从命题3知,存在常数c=c(b,m)使得只要y,y2,…,ym∈Y且∑my≥b,就有 ly<c(=12,…m)。令a=c+l叫,则当x,x2,…,xm∈Z且∑mx≤v时,w-x∈Y (=12,…,m)且∑阳(-x)≥m-v=b,于是x-时shw-x<c,从而|<c+h=a (i=12,…,m)。命题4得证。 定义(闭凸化经济).阿罗德布罗经济E=(X1,=,,9,Y)mn的闭凸化是指经济 E=(X1,=,e1,9,y)mnO,其中Y,=ccoY(=12…,m)。 命题5.阿罗-德布罗经济￡与它的闭凸化E具有相同的总生产集合Y=∑k=1k和相同 的可达消费集合X1(i=1,2,…,m)。 证明:这是因为Y=∑=1Yk是闭凸集,从而由命题2可知Y=∑=1k,即E与E具有 相同的总生产集合。既然￡与E的总生产集合和消费集合都相同,从而也有相同的可达消费 命题6.阿罗-德布罗经济E的闭凸化E的可达消费集合X(i=1,2,…,m)和可达生产集 合y(j=1,2,…,n)都是R的有界子集,从而存在R的紧凸子集K使得 X cint K(=12 3…,m)且 Y cint K(=1,2,…,n)

第九章 一般均衡及其福利 292 命题 2. 设 Z1 , Z2 ,  , Zn 是  R 的任意有限个非空子集， =  = n i Z 1Zi 。则   = n i clZ 1 clZi ， =  = n i coZ 1 coZi 。尤其是当 Z 为闭集时， =  = n i Z 1 clZi 。 证明：包含式   = n i clZ 1 clZi 和   = n i coZ 1 coZi 的成立是明显的，因而当 Z 为闭集时， =  = n i Z 1 clZi 。以下证明   = n coZ k 1 coZk 成立。从数学归纳法可进一步得知，实际上只需证 明 n = 2 时这一包含式成立。 设 z2 Z2 任意给定。则 co Z1 + z2 = co(Z1 + z2 )  co(Z1 + Z2 ) 。既然 z2 是任意给定的， 我们有 co Z1 + Z2  co(Z1 + Z2 ) 。同样，对任何 z1 co Z1 ，都有 z1 + co Z2  co(Z1 + Z2 ) ， 因而 co Z1 + co Z2  co(Z1 + Z2 ) 。命题 2 得证。 命题 3. 设  Y  R 是闭凸集， Y  (−Y) = 0 且 − R+  Y  ，则对任何  b R 及整数 n  0 , 存在常数 c 使得只要 y1 , y2 ,  , yn Y 且 y b n i  =1 i  , 就有 yi  c (i =1,2,  , n) 。 证明：令 K ={yY : y =1} ，则 0coK 。事实上, 假如 0coK ，则存在 K 中有限个 向量 y1 , y2 ,  , yk  K 及加权数 1  0,2  0,  ,k  0， 1  =1 = k i i ，使得 =  = k i 0 1i yi 。既 然 Y 是凸集且 0Y ，我们有 y y Y k i −1 1 =1 0 +  =2i i  ，即 1 y1 −Y 。显然， 1 y1  0 。 另一方面， 1 y1 = (1−1 )0 +1 y1 Y 。于是， 0 1 y1 Y  (−Y) ，这与 Y  (−Y) = 0 相矛 盾。可见 0coK 不能成立，即只有 0coK 。 注意， K 是紧集。容易验证，紧集的凸包仍然是紧集，因此 coK 是紧集，从而是闭凸集。 由凸集的分离性定理(见第二章)知，存在  qR 使得对一切 ycoK ，都有 qy  0 。既然 − R+  Y  ，因此 qy  0 对一切  y −R+ 成立。这就说明 q  0 。 令  = max{qy: yK}, = max{qy: y 1} ，则   0 ,  0 。我们指出：对任何 yY ， 都有 qy  −  +  y 。实际上，对于 y Y ，当 y 1 时， qy   −  +  y ；当 y 1 时； Y 的凸性及 0Y 保证了 (1 y )yK ，从而 qy y   ，可见 qy   y  −  +  y 。 现在可以完成命题 3 的证明了。设  b R , n  0 为整数。令 c = (qb − n( −  ))  ，则当 y1 , y2 ,  , yn Y 且 y b n i  =1 i  时，   =   = − + = − +  = n i i n i i n i qb qyi y n y 1 1 1 (   ) (  )  ， 因此 ( ( )) ( 1,2, , ) 1 y y qb n c k n n i k   = i  −  −   = =  。命题 3 得证。 命题 4. 设 Z 是  R 的下有界子集，  v R 且 m  0 为任一整数。则存在常数 a 使得只要 xi Z (i =1,2,  ,m) 且 x v m i  =1 i  ，就有 xi  a (i =1,2,  ,m) 。 证明：我们应用命题 3 来证明命题 4。设  w R 是集合 Z 的一个下界，即 w z 对一切 zZ 成立。令  Y = −R+ ，易见 Y 满足命题 3 的条件，且对每个 x Z ，都有 w − xY 。再令 b = mw − v 。 从命题 3 知 ， 存 在 常 数 c = c(b,m) 使 得 只 要 y1 , y2 ,  , ym Y 且 y b m i  =1 i  ，就有 yi  c (i =1,2,  ,m) 。令 a = c + w ，则当 x1, x2 ,  , xm Z 且 x v m i  =1 i  时， w− xi Y (i =1,2,  ,m) 且  = −  − = m i w xi mw v b 1 ( ) ，于是 xi − w  w − xi  c ，从而 xi  c + w = a (i =1,2,  ,m) 。命题 4 得证。 定义(闭凸化经济). 阿罗-德布罗经济  ( , = X i )( , , ) , , , i ei i j Yj m n  的闭凸化是指经济 E ( , = X i )( , , ) , , , i ei i j Yj m n  ，其中 Yj = clcoYj ( j =1,2,  ,n) 。 命题 5. 阿罗-德布罗经济  与它的闭凸化 E 具有相同的总生产集合 =  = n Y k 1 Yk 和相同 的可达消费集合 Xi ˆ (i =1,2,  ,m) 。 证明：这是因为 =  = n Y k 1 Yk 是闭凸集，从而由命题 2 可知 =  = n Y k 1 Yk ，即  与 E 具有 相同的总生产集合。既然  与 E 的总生产集合和消费集合都相同，从而也有相同的可达消费 集合。证完。 命题 6. 阿罗-德布罗经济  的闭凸化 E 的可达消费集合 Xi ˆ (i =1,2,  ,m) 和可达生产集 合 Yj ~ ( j =1,2,  ,n) 都是  R 的有界子集，从而存在  R 的紧凸子集 K 使得 X ˆ i int K (i =1,2, 3,  ,m) 且 Yj int K ~  ( j =1,2,  ,n)

第九章一般均衡及其福利 293 证明:事实上,诸消费集合X1(i=1,2,…,m)有公共下界,设w∈R为它们的一个公共下 界。这样,mn便是总消费集合X=∑mX,的下界 用e表示经济E的总资源向量,即e=∑me1,并令b=mn-e。从命题3知,对于b和 整数n,存在常数c使得只要y,y2…,yn∈Y且∑1yk≥b,就有p川<c(=12,…m)。 现在,设(x,…,xm,y,…,yn)是闭凸化E的任一可达状态。则y∈Y(这是因为0∈y 从而yYcY)(=12,…,m),并且∑m1yk≥∑m1x1-∑me≥m-e=b。结合刚刚得出 的结论可知,l川<c(=12,…n)。这说明各个可达生产集合y都是有界的,从而集合 ∑Fk也是有界的,设d∈R为∑1的一个上界。 考虑集合Z={∈R:z≥w,令v=e+d。从命题4可知,对于这个向量v和正整数m, 存在常数a使得只要1,=2,…,m∈Z且∑m=;≤v,就有|ka(=12…m)。显然,可达 状态(x1,…,xm,y,…,yn)中的(x1,x2,…,xm)满足这些条件,即x1,x2…,xm∈Z(因为w是诸 x1(=12,…,m)的公共下界),并且∑m1x≤e+∑yk≤e+d=,因此|x|<a对一切 i=12…,m成立。这说明可达消费集合X是有界的(=1,2,…,m) 既然x,(=12.…,m)和y(j=12.…,m)都是R的有界子集,因而必存在R的紧凸子集 K使得 Xi cint K(=1.2,3…,m)且 Y: cint K(j=12…,n)。命题6得证。 命题6保证了下面给出的阿罗-德布罗经济的伴随经济定义的合理性。 定义(伴随经济).设K是商品空间R的紧凸子集,满足X1gntK(i=12,…,m)且 cntK(=12…,n)其中X(=12,…,m)是阿罗-德布罗经济E的闭凸化E的可达消费 集合,y(=1,2…n)是E的可达生产集合。令X1=X1∩K(i=1.2,…,m),H=Y∩K J=1 E )(m。这个经济E叫做E的伴随经济 命题7.阿罗德布罗经济￡的伴随经济E=(X1,≤,e,,Y\mno具有服从瓦尔拉定律 的自由处置均衡。 证明:我们来验证伴随经济E满足德布罗定理的条件。首先,由于X;和y都是闭凸集, 因而x与Y都是R的紧凸子集(=12,…,mj=12…,n),条件(1)得到满足。其次,原来 在上连续、凸的偏好关系≤;,现在在X1上当然也是连续凸的,更是连续弱凸的 (i=1,2,…,m),条件(D2)得到满足。条件(D4)和(D5)是明显得到满足的。以下来看条件①3) 和(6)。 由E所满足的条件(AD3)知,存在可∈X使得O1<e1(i=1,2,…,m)。再从条件(AD4) 知,0∈y(=12…,m)。因此,状态(a,…,m0…,0)是经济E和E的可达状态,这说明 ;∈X(i=1,2,…,m),条件(3)得到满足。 对于条件(D6),由于经济E、闭凸化E及伴随经济E具有相同的可达消费集合,并且已 知偏好是凸的,因此只需说明任何可达消费向量x1∈X都不是消费者i在X中的满足消费 为此,设x∈X,是任一可达消费方案。从偏好=,的无满足性知,x不是消费者i在X1中的满 足消费,即存在x∈X使得x1<x。从≤的凸性知,tx+(1-1)x1>;x对一切t∈(0,1)成 立。注意x1∈ X cint K(K为定义伴随经济E的紧集),因此必然存在实数r’∈(0,1)使得 t'x+(1-t')x;∈X1∩K=X1。记x"=tx+(1-t)x,则x∈M且x">;x,这说明x不是 消费者i在X中的满足消费。条件(D6)得到满足。 既然伴随经济E满足德布罗定理的全部条件,因此E具有服从瓦尔拉定律的自由处置均 衡。命题7得证

第九章 一般均衡及其福利 293 证明：事实上，诸消费集合 Xi (i =1,2,  ,m) 有公共下界，设  w R 为它们的一个公共下 界。这样， mw 便是总消费集合 =  = m i X 1 Xi 的下界。 用 e 表示经济  的总资源向量，即 =  = m i e 1 ei ，并令 b = mw − e 。从命题 3 知，对于 b 和 整数 n ，存在常数 c 使得只要 y1 , y2 ,  , yn Y 且 y b n k=1 k  ，就有 y j  c ( j =1,2,  ,n) 。 现在，设 (x1 ,  , xm , y1 ,  , yn ) 是闭凸化 E 的任一可达状态。则 y j Y (这是因为 0Yj ， 从而 Yj  Yj  Y ) ( j =1,2,  ,n) ，并且 y x e mw e b m i i m i i n k=1 k   =1 −  =1  − = 。结合刚刚得出 的结论可知， y j  c ( j =1,2,  ,n) 。这说明各个可达生产集合 Yj ~ 都是有界的，从而集合  = n k 1Yk ~ 也是有界的，设  d  R 为  = n k 1Yk ~ 的一个上界。 考虑集合 Z ={zR :z  w}  ，令 v = e + d 。从命题 4 可知，对于这个向量 v 和正整数 m ， 存在常数 a 使得只要 z1,z2 ,  ,zm Z 且 z v m i  =1 i  ，就有 zi  a (i =1,2,  ,m) 。显然，可达 状态 (x1 ,  , xm , y1 ,  , yn ) 中的 (x1 , x2 ,  , xm ) 满足这些条件，即 x1, x2 ,  , xm Z (因为 w 是诸 Xi (i =1,2,  ,m) 的公共下界)，并且 x e y e d v n k k m i  =1 i  +  =1  + = ，因此 xi  a 对一切 i =1,2,  ,m 成立。这说明可达消费集合 Xi ˆ 是有界的 (i =1,2,  ,m) 。 既然 Xi ˆ (i =1,2,  ,m) 和 Yj ~ ( j =1,2,  ,n) 都是  R 的有界子集，因而必存在  R 的紧凸子集 K 使得 X ˆ i int K (i =1,2, 3,  ,m) 且 Yj int K ~  ( j =1,2,  ,n) 。命题 6 得证。 命题 6 保证了下面给出的阿罗-德布罗经济的伴随经济定义的合理性。 定义(伴随经济). 设 K 是商品空间  R 的紧凸子集，满足 X ˆ i int K (i =1,2,  ,m) 且 Yj int K ~  ( j =1,2,  ,n) ，其中 Xi ˆ (i =1,2,  ,m) 是阿罗-德布罗经济  的闭凸化 E 的可达消费 集合， Yj ~ ( j =1,2,  ,n) 是 E 的可达生产集合。令 Xi = Xi  K  (i =1,2,  ,m) , Yj = Yj  K  ( j =1,2,  ,n), ( , E Xi   = )( , , ) , , ,   i ei i j Yj m n 。这个经济 E  叫做  的伴随经济。 命题 7. 阿罗-德布罗经济  的伴随经济 ( , E Xi   = )( , , ) , , ,   i ei i j Yj m n 具有服从瓦尔拉定律 的自由处置均衡。 证明：我们来验证伴随经济 E  满足德布罗定理的条件。首先，由于 Xi 和 Yj 都是闭凸集， 因而 Xi  与 Yj  都是  R 的紧凸子集 (i =1,2,  ,m; j =1,2,  , n) ，条件(D1)得到满足。其次，原来 在 Xi 上连续、凸的偏好关系 i ，现在在 Xi  上当然也是连续凸的，更是连续弱凸的 (i =1,2,  ,m) ，条件(D2)得到满足。条件(D4)和(D5)是明显得到满足的。以下来看条件(D3) 和(D6)。 由  所满足的条件(AD3)知，存在  i  Xi 使得  i  ei (i =1,2,  ,m) 。再从条件(AD4) 知， 0Yj ( j =1,2,  ,n) 。因此，状态 ( 1 ,  , m ,0,  ,0) 是经济  和 E 的可达状态，这说明 i Xi    (i =1,2,  ,m) ，条件(D3)得到满足。 对于条件(D6)，由于经济  、闭凸化 E 及伴随经济 E  具有相同的可达消费集合，并且已 知偏好是凸的，因此只需说明任何可达消费向量 xi Xi  ˆ 都不是消费者 i 在 Xi  中的满足消费。 为此，设 xi Xi  ˆ 是任一可达消费方案。从偏好 i 的无满足性知， xi 不是消费者 i 在 Xi 中的满 足消费，即存在 xi  Xi  使得 xi i xi   。从 i 的凸性知， i xi i xi t x  + (1− t)  对一切 t (0,1) 成 立。注意 xi  X ˆ i  int K ( K 为定义伴随经济 E  的紧集)，因此必然存在实数 t(0,1) 使得 i xi Xi K Xi t x t    + (1− )   = 。记 i i xi x  = t x  + (1− t) ，则 xi Xi   且 xi i xi  ，这说明 xi 不是 消费者 i 在 Xi 中的满足消费。条件(D6)得到满足。 既然伴随经济 E  满足德布罗定理的全部条件，因此 E  具有服从瓦尔拉定律的自由处置均 衡。命题 7 得证