21海明码 海明码是一种可以纠正一比特错误的编码。 基本设计思想 编码:在k比特信息上附加r比特的校验位,构成nη=k+r 比特的码字,其中每个校验比特和某几个特定的信息比 特构成偶校验的关系。 检验:接收端检验r^个偶校验关系,即将每个校验比特 和与它关联的信息比特相加(异或),相加结果称为校 正因子。若「个校正因子全为0,认为没有错误;否则, 校正因子指出发生错误的比特位
2.1 海明码 海明码是一种可以纠正一比特错误的编码。 基本设计思想： 编码：在k比特信息上附加r比特的校验位，构成n=k+r 比特的码字，其中每个校验比特和某几个特定的信息比 特构成偶校验的关系。 检验：接收端检验r个偶校验关系，即将每个校验比特 和与它关联的信息比特相加（异或），相加结果称为校 正因子。若r个校正因子全为0，认为没有错误；否则， 校正因子指出发生错误的比特位
校验比特的位数 为利用r个校正因子区分无差错和码字中n 个不同位置的一比特错(共n+1种情况), 校验比特的位数r应满足: 2r>n+1=k+r+1 比如:7-4海明码,11-7海明码
校验比特的位数 为利用 r 个校正因子区分无差错和码字中n 个不同位置的一比特错（共n+1种情况）， 校验比特的位数 r 应满足： 2 r ≥ n + 1 = k + r + 1 比如：7-4海明码，11-7海明码
信息比特与校验比特的位置 信息比特与校验比特的位置:2位置上是校验比特r,其 余位置是信息比特I1,以117海明码为例 01110 1234567891011 将信息比特的位置写成的幂次之和的形式,则该信息比 特应参与这些校验比特的生成,如: 3=2+21,则应参与I0和r1的生成
信息比特与校验比特的位置 信息比特与校验比特的位置：2 k 位置上是校验比特 rk，其 余位置是信息比特 Ii，以11-7海明码为例： r0 r1 I0 r2 I1 I2 I3 r3 I4 I5 I6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 将信息比特的位置写成2的幂次之和的形式，则该信息比 特应参与这些校验比特的生成，如： 3 = 20 +21，则 I0 应参与 r0 和 r1 的生成
编码与检验的方法 海明码的构造: 发送端计算校验位:接收端计算校正因子: 3=20+2 Io=l0+1+13+14+16S0=Io+b0+1+13+14+l 5=22+20 r1=l0+12+13+15+16 r1+D0+12+13+1s+L6 6=22+21 I2=1+12+1 S2=I2+1+l2+13 7=22+21+2 I3=14+ls+l6 S3=r3+l4+l5+l 9=23+20 10=23+2 11=23+21+20 海明码的检验 若S=S3S2SS0=000无错;否则,错误比特的位置由(S3S2S1S。)指示
编码与检验的方法 海明码的构造： 发送端计算校验位： 接收端计算校正因子： 3 = 20 +21 r0 = I0 + I1 + I3 + I4 + I6 S0 = r0 + I0 + I1 + I3 + I4 + I6 5 = 22 +20 r1 = I0 + I2 + I3 + I5 + I6 S1 = r1 + I0 + I2 + I3 + I5 + I6 6 = 22 +21 r2 = I1 + I2 + I3 S2 = r2 + I1 + I2 + I3 7 = 22 +21 + 20 r3 = I4 + I5 + I6 S3 = r3 + I4 + I5 + I6 9 = 23 +20 10 = 23 +21 11 = 23 +21 + 20 海明码的检验： 若S = S3S2S1S0 = 0000，无错；否则，错误比特的位置由 ( S3S2S1S0 ) 指示
编码举例 信息比特为1001000 Io 52l I2 i3 I4 I5 16 1001000 ro=0+1+13+L4+L6=1+0+1+0+0=0 0+L2+13+l5+l6=1+0+1+0+0=0 I2=l1+12+13=0+0+1=1 r3=L4+l5+l6=0+0+0=0 海明码为0011001000: 0111012 00110010000
编码举例 信息比特为1001000: r0 r1 I0 r2 I1 I2 I3 r3 I4 I5 I6 1 0 0 1 0 0 0 r0 = I0 + I1 + I3 + I4 + I6 = 1 + 0 + 1 + 0 + 0 = 0 r1 = I0 + I2 + I3 + I5 + I6 = 1 + 0 + 1 + 0 + 0 = 0 r2 = I1 + I2 + I3 = 0 +0 +1 = 1 r3 = I4 + I5 + I6 = 0 + 0 + 0 = 0 海明码为0011001000： r0 r1 I0 r2 I1 I2 I3 r3 I4 I5 I6 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0