243 (2)从方程Bv=P解出列向量v=(v,,…,wmn)=BP=(RP,RP,…,RP,)。这 样得到的列向量v必然满足vo>0且v,V2…,Vm中必有正数 事实上,v=R8P=max{RBP:j=1.2,…n+m}>0。假如v,"2,…Vm中没有正数,那 么P=B0V=V0+∑m1vBo给出P=(1/)P+∑m1(-v/v)B,从而增广矩阵f的首列 P是f的m+1个列的正线性组合;然而根据厂的定义,B不能表示成f的m+1个列的正线 性组合,出现矛盾。矛盾的结论说明η,V2,…,Vm中必有正数 (3)找出符合条件(1/vr)R=min{(1/v)R:(1≤i≤m)A(v>0)}的列Bor,这里的mn 是指在向量之间的字典序下求最小元,字典序是从向量的第—个分量开始比较的。如此找到的 列B必然是唯一的,即满足该条件的r是唯一的。r的唯一性保证了只要1≤i≤m,i≠r且 v>0,那么R6-(v/vr)R的第一个非零分量必为正数。 事实上,假如符合条件(1/vr)R=mn{(1/v)F6:(1≤i≤m)∧(v>0)的R6不唯一,比 如说R和都满足该条件且r≠t,那么根据字典序的定义可知必有(1/vr)R=(1/v),从 而B的行向量组R,Rb,…F线性相关,这是不可能的 (4)用F替换B的第r列Bo,并保持B的其他列不变,得到一个1+m阶方阵B1。这 个矩阵B1=(B10,B1…,B1m)必然也是基。 我们来证明B1=(B0,B1,…,B1m)是基,即证明B1满足基的三个条件(b1)、(b2)和(b3)。 首先,根据r的定义,r≥1。这说明B的首列未被替换,即B0和B1具有相同的首列P。 所以,B满足条件(b1)。 其次,既然P=V0B+∑m1v,B且v>0,从行列式的性质便可知|B1|=v|Bo|≠0。所 以,B1也满足条件(b2),即B1是可逆矩阵 最后检查条件(b3),即检査B1的逆矩阵各行(首行除外)的第一个非零元素是否为正数 R 为此,令Z R 其中R ∫R-(n,/v,)R,当≠r时 (/v)R R 首先来验证ZB1=E,这里E为1+m阶单位矩阵。注意,BB0=E告诉我们 RB0y=6对一切i,j=0,1,…,m成立。下面的验证过程中,这一事实将被多次应用。再注意 B0和B1仅仅在第r列上有区别:B1=P Bok;而当j≠r时,B= 考察ZB1的第i行、第j列的元素RB1 当r≠1≠j≠r时,RB1=(R-(v/v)F)B=6;-(v;/vr)=0 寸,R1B1=(R-(v/vr)R)P k(Ro-V,/vr))Be 当r=i≠j时,RB1=(1/vr)RB0=(1/V)6=0; 当i=j≠r时,RB1y=(R-(v/vr)R)Bo=6a-(v/wr)6r=1; 当i=j=r时,RB1=(1/wr)RP=(1/wr)R∑k=0 vk Bok=(1/v,)k=0Vk=r=1 总之,当i≠j时,RB1y=0;当i=j时,RBy=1。这就证明了ZB1=E,即Z是B的 逆矩阵:Z=B。 现在来从Z的第1行R到第m行R,考察各行第一个非零元素是否为正数。首先看Z的 第r行R:由于R=(1/vr)R5,vr>0且R的第一个非零元素为正数,因此R的第一个非零 元素也为正数。再看第i行(1≤i≤m,i≠n):R=R-(v/vr)。当v;≤0时,R1的第一个 非零元素确实为正数;当v;>0时,(3)已经说明了R1的第一个非零元素为正数。总之,除了 Z的首行外,其余各行的第一个非零元素都为正数。到此,条件(b3)得到验证。 (5)如果B1不是最优基,那么对B进行类似B的修正,即对B1重复以上步骤(1)至(4) 得到一个基B2;如果B2还不是最优基,就对B2重复以上步骤,得到又一个基B3;这样不断
第八章 博弈论 243 (2) 从方程 B0v = Ps 解出列向量 ( , , , ) ( , , , ,) 0 1 0 0 0 1 0 1 0 s m s s s T v = v v vm = B P = R P R P R P − 。这 样得到的列向量 v 必然满足 v0 0 且 v1, v2 , , vm 中必有正数。 事实上， max{ : 1,2, , } 0 0 0 0 v0 = R0 Ps = R Pj j = n + m 。假如 v1, v2 , , vm 中没有正数，那 么 = = + = m i Ps B0v v0P0 1 viB0i 给出 = + = − m i P0 v0 Ps 1 vi v0 )B0i (1/ ) ( / ，从而增广矩阵 f 的首列 P0 是 f 的 m + 1 个列的正线性组合；然而根据 f 的定义， P0 不能表示成 f 的 m + 1 个列的正线 性组合，出现矛盾。矛盾的结论说明 v1, v2 , , vm 中必有正数。 (3) 找出符合条件 (1/ ) min{(1/ ) :(1 ) ( 0)} 0 = 0 i i i r vr R v R i m v 的列 B0r ，这里的 min 是指在向量之间的字典序下求最小元，字典序是从向量的第一个分量开始比较的。如此找到的 列 B0r 必然是唯一的，即满足该条件的 r 是唯一的。 r 的唯一性保证了只要 1 i m, i r 且 vi 0 ，那么 r i r i R0 v v R0 − ( / ) 的第一个非零分量必为正数。 事实上，假如符合条件 (1/ ) min{(1/ ) :(1 ) ( 0)} 0 = 0 i i i r vr R v R i m v 的 r R0 不唯一，比 如说 r R0 和 t R0 都满足该条件且 r t ，那么根据字典序的定义可知必有 t t r vr R0 v R0 (1/ ) = (1/ ) ，从 而 1 0 − B 的行向量组 m R R R0 1 0 0 0 , , , 线性相关，这是不可能的。 (4) 用 Ps 替换 B0 的第 r 列 B0r ，并保持 B0 的其他列不变，得到一个 1 + m 阶方阵 B1。这 个矩阵 B1 = (B10 , B11, , B1m ) 必然也是基。 我们来证明 B1 = (B10 , B11, , B1m ) 是基，即证明 B1 满足基的三个条件(b1)、(b2)和(b3)。 首先，根据 r 的定义， r 1 。这说明 B0 的首列未被替换，即 B0 和 B1 具有相同的首列 P0 。 所以， B1 满足条件(b1)。 其次，既然 = + = m i Ps v0P0 1 viB0i 且 vr 0 ，从行列式的性质便可知 B1 = vr B0 0 。所 以， B1 也满足条件(b2)，即 B1 是可逆矩阵。 最后检查条件(b3)，即检查 B1 的逆矩阵各行(首行除外)的第一个非零元素是否为正数。 为此，令 = m R R R Z 1 1 1 0 1 ，其中 = − = 当 时 当 时 v R i r R v v R i r R r r r i r i i (1/ ) , ( / ) , 0 0 0 1 。 首先来验证 Z B1 = E ，这里 E 为 1 + m 阶单位矩阵。注意， B B = E − 0 1 0 告诉我们， j i j i R0B0 = 对一切 i, j = 0,1, ,m 成立。下面的验证过程中，这一事实将被多次应用。再注意， B0 和 B1 仅仅在第 r 列上有区别： = = = m B1r Ps k 0 vk B0k ；而当 j r 时， B1 j = B0 j 。 考察 Z B1 的第 i 行、第 j 列的元素 j i R1B1 ： 当 r i j r 时， ( ( / ) ) 0 ( / ) 0 1 1 = 0 − 0 j = i j − i r r j = r i r i j i R B R v v R B v v ； 当 i j = r 时， ( ( / ) ) ( ( / ) ) / 0 1 1 = 0 − 0 = =0 0 − 0 0 = i − r i r = m k k r i r i s k r i r i j i R B R v v R P v R v v R B v v v v ； 当 r = i j 时， (1/ ) 0 (1/ ) 0 1 1 = 0 j = r r j = r j r i R B v R B v ； 当 i = j r 时， ( ( / ) ) 0 ( / ) 1 1 1 = 0 − 0 i = ii − i r ri = r i r i j i R B R v v R B v v ； 当 i = j = r 时， j i R1B1 (1/ ) (1/ ) (1/ ) 1 = 0 = 0 =0 0 = =0 = rr = m r k k r k m k k k r s r r vr R P v R v B v v 。 总之，当 i j 时， 1 0 1 j = i R B ；当 i = j 时， 1 1 1 j = i R B 。这就证明了 Z B1 = E ，即 Z 是 B1 的 逆矩阵： 1 1 − Z = B 。 现在来从 Z 的第 1 行 1 R1 到第 m 行 m R1 ，考察各行第一个非零元素是否为正数。首先看 Z 的 第 r 行 r R1 ：由于 r r r R1 v R0 = (1/ ) , vr 0 且 r R0 的第一个非零元素为正数，因此 r R1 的第一个非零 元素也为正数。再看第 i 行 (1 i m, i r) : r i r i i R1 R0 v v R0 = − ( / ) 。当 vi 0 时, i R1 的第一个 非零元素确实为正数；当 vi 0 时，(3)已经说明了 i R1 的第一个非零元素为正数。总之，除了 Z 的首行外，其余各行的第一个非零元素都为正数。到此，条件(b3)得到验证。 (5) 如果 B1 不是最优基，那么对 B1 进行类似 B0 的修正，即对 B1 重复以上步骤(1)至(4)， 得到一个基 B2 ；如果 B2 还不是最优基，就对 B2 重复以上步骤，得到又一个基 B3 ；这样不断
244 做下去,必然到某一步,比如第N步时,得到的基BN就是最优基 为什么不断重复修正下去就能得到最优基呢?为了说明这个问题,我们来看一下从基B0 到基B1有什么改进。注意,被B吸收进来的列P满足条件:RP>0且RP=RB=0。 被B排除出去的列Bo满足条件:R8Bo=0且RPB0<0。RBB0=0是因为PBo是矩阵 BB的第0行、第r列(r>0)的元素:RBor<0是因为RPB=(R8-(vo/v)R)Bo -v/vr<0。 如果B不是最优基,那么对B进行类似于B那样的修正,得到另一个基B2。Bo被B1排 除出去,B2就不会把它重新吸收进来,因为被B2新吸收进来的列P满足RP>0,而Bo不 满足这个条件,事实上RB0<0 如果B2还不是最优基,那么再次重复以上过程,得到又一个基B3。可以证明,B3不会 把以前从基中排除出去的列重新吸收进来。这样不断进行下去,各次得到的基是互不相同的 而且每次更换基中的某列时,都不会把以前各次中被排除出基的列重新吸收进来,可见迭代至 多进行n次。最后一次构造出来的基BN必然是最优基。 第三步:从最优基得出混合扩充G的均衡。 设B=(B0,B1,…,Bm)=(B,Pk1…,Pn)为一最优基,不妨假定0<k<k2<…<km 用Ro=(a,-x1,…,-xm)表示B-1的首行,Co=(b,yk1…yom)表示B-1的首列。令x* (x,x2,…,xmn),并定义y*=(,y2,…,y)如下:对任何j≤n,当j∈{k1,k2…,km}时 y=y;而当j{k1,k2,…km}时,y=0。我们断定:(x*,y+)是混合扩充G的均衡 其实这一断言基于这样两个事实:(Dx*∈X且a=L(x*);(I1)y∈Y且b=U(y*)。实 上,a和b都是B-的首行、首列元素,因而a=b。这样,事实(I)和(I就说明了(x*,y*) 是G的均衡。可见,我们只需证明事实(I)和事实(I)。 事实(Ⅰ)的证明 从R0=1可知∑m1x=1。B是最优基又说明RP≤0 n+m),尤其是对于 n+i,有R0Pn=-x≤0(=1,2,…,m)。这就证明了x*∈X。 ∑m1x=1说明x,x2,…,x不会全为零。结合R0Pm+=-x(=12,…,m),我们便知 R0Bn+,R0Pn+2,…,R0Pnm不会全为零。 当1≤j≤n时,R0P=a-∑mx∫≤0。这说明a≤∑m1xf(=1,2,…,n)。再注意 R0R,…,R0Pn,R0Pn+1,…,R0Pn+m中至少有m个为零,但现在已知后面m个不会全为零,因而 前面n个中至少有一个为零,即必有某个j满足:1≤j。≤n且R0P=a-∑m1xm=0。所 以,a=mn{∑m1xfy:j=1,2,…,n}=L(x°)。 事实(ⅠI)的证明: 首先,yk是B-的第i行的首元素,而第0行才是B-的首行。根据基的性质(b3)可知 yk≥0对一切i=1,2,…m成立,这就保证了y≥0(=12,…,m) 再注意,BB-1=E说明了B的首行向量与B-的首列向量Co的内积为1,而根据增广矩 阵f首行的特点,这个内积等于∑sny1=∑my。因此Σm=y=1,从而y*∈Y。 B的第i行(≥1)与B-的第0列C0的内积为零,这个内积等于 b+∑+∑可n+则=-b+∑y+∑ 0 因此b=+∑可m2y(=12 再注意,Pk1,Pk2,…,Pm不会全是增广矩阵∫的后m个列向量(因为假如这样的话,B就 不可逆了)。这说明∫的后m列中必有一列不在B中出现,比方说Pn+不在B中出现,即 1≤。≤m且n+。g1,k2…km}。现在考虑B的第行与Co的内积,这个内积当然要等于
第八章 博弈论 244 做下去，必然到某一步，比如第 N 步时，得到的基 BN 就是最优基。 为什么不断重复修正下去就能得到最优基呢？为了说明这个问题，我们来看一下从基 B0 到基 B1 有什么改进。注意，被 B1 吸收进来的列 Ps 满足条件： 0 0 R0 Ps 且 1 0 0 1 0 R1 Ps = R B r = 。 被 B1 排除出去的列 B0r 满足条件： 0 0 0 R0 B r = 且 0 0 0 R1 B r 。 0 0 0 R0 B r = 是因为 R B0r 0 0 是矩阵 0 1 B0 B − 的第 0 行、第 r 列 (r 0) 的元素； 0 0 0 R1 B r 是因为 = − r = r R B r R v0 vr R0 B0 0 0 0 0 1 ( ( / ) ) − v0 / vr 0 。 如果 B1 不是最优基，那么对 B1 进行类似于 B0 那样的修正，得到另一个基 B2 。B0r 被 B1 排 除出去， B2 就不会把它重新吸收进来，因为被 B2 新吸收进来的列 Pj 满足 0 0 R1 Pj ，而 B0r 不 满足这个条件，事实上 0 0 0 R1 B r 。 如果 B2 还不是最优基，那么再次重复以上过程，得到又一个基 B3 。可以证明， B3 不会 把以前从基中排除出去的列重新吸收进来。这样不断进行下去，各次得到的基是互不相同的， 而且每次更换基中的某列时，都不会把以前各次中被排除出基的列重新吸收进来，可见迭代至 多进行 n 次。最后一次构造出来的基 BN 必然是最优基。 第三步：从最优基得出混合扩充 G 的均衡。 设 ( , , , ) ( , , , ) B = B0 B1 Bm = P0 Pk1 Pkm 为一最优基，不妨假定 0 k1 k2 km 。 用 ( , , , ) * * R0 = a −x1 −xm 表示 −1 B 的首行， T k km C (b, y , , y ) 0 = 1 表示 −1 B 的首列。令 x* = ( , , , ) * * 2 * x1 x xm ，并定义 * ( , , , ) * * 2 * y = y1 y yn 如下：对任何 j n ，当 j {k1 , k2 , , km } 时， y j = y j * ；而当 j {k1 , k2 , , km } 时， 0 * y j = 。我们断定： (x*, y*) 是混合扩充 G 的均衡。 其实这一断言基于这样两个事实：(I) x* X 且 a = L(x*) ；(II) y*Y 且 b =U(y*) 。实 际上， a 和 b 都是 −1 B 的首行、首列元素，因而 a = b 。这样，事实(I)和(II)就说明了 (x*, y*) 是 G 的均衡。可见，我们只需证明事实(I)和事实(II)。 事实(I)的证明： 从 R0P0 =1 可知 1 1 * = = m i xi 。 B 是最优基又说明 R0Pj 0 ( j =1,2, ,n + m) ，尤其是对于 n + i ，有 0 ( 1,2, , ) * R0Pn+i = −xi i = m 。这就证明了 x* X 。 1 1 * = = m i xi 说明 * * 2 * x1 , x , , xm 不会全为零。结合 ( 1,2, , ) * R0Pn+i = −xi i = m ，我们便知 R0Pn+1, R0Pn+2 , , R0Pn+m 不会全为零。 当 1 j n 时， 0 1 * 0 = − = m i j i i j R P a x f 。这说明 ( 1,2, , ) 1 * a x f j n m i = i i j = 。再注意， R0P1 , , R0Pn , R0Pn+1 , , R0Pn+m 中至少有 m 个为零，但现在已知后面 m 个不会全为零，因而 前面 n 个中至少有一个为零，即必有某个 j 满足： 1 j n 且 0 1 * 0 = − = = m i j i i j R P a x f 。所 以， min{ : 1,2, , } ( *) 1 * a x f j n L x m i = = i i j = = 。 事实(II)的证明： 首先， k i y 是 −1 B 的第 i 行的首元素，而第 0 行才是 −1 B 的首行。根据基的性质(b3)可知， yk i 0 对一切 i =1,2, ,m 成立，这就保证了 0 ( 1,2, , ) * y j j = n 。 再注意， BB = E −1 说明了 B 的首行向量与 −1 B 的首列向量 C0 的内积为 1, 而根据增广矩 阵 f 首行的特点，这个内积等于 = = n j k n yk y j i i 1 * 。因此 1 1 * = = n j y j ，从而 y*Y 。 B 的第 i 行 (i 1) 与 −1 B 的第 0 列 C0 的内积为零，这个内积等于 0 1 * − + + = − + + = + = + k n n i k k n j j k n n i k k k n i k k j j j j j j j j j b f y y b y y 因此 ( 1,2, , ) 1 * 1 b y * f y y f i m n j j i j k n n i k k n j j i j j = + j j = = + = 。 再注意， Pk Pk Pkm , , , 1 2 不会全是增广矩阵 f 的后 m 个列向量(因为假如这样的话， B 就 不可逆了)。这说明 f 的后 m 列中必有一列不在 B 中出现，比方说 Pn+i 不在 B 中出现，即 1 i m 且 n + i k1 , k2 , , km 。现在考虑 B 的第 i 行与 C0 的内积，这个内积当然要等于
245 零,同时按照定义又要等于: b+∑yf+∑δ y 因而b=∑y,。结合b2∑y(=12,…,m),我们得到b=mx∑y=U(y)。 到此,矩阵博弈古诺均衡的存在性得到证明 矩阵博弈均衡的简化.设G=(S1,S2,∫)为矩阵博弈S1={s,…,sm},S2=、s…,sm}, G=(X,,E厂)为G的混合扩充,(x*,y)∈XxY,v为一实数。则下面两个条件等价: (1)(x*,y)是G的均衡且v=Ef(x*,y) Ef(x*,s)对—切 和 成立 证明:(1)→(2)是显然的。下面来证明(2)→(1)。为此,假定(2)成立 注意,E(s,P)=∑my且E(x*,s")=∑阳1x。因此对任何x∈X及y∈Y,都 有E(x,y+)=∑m1xE(s)s,E(x*y)=∑=yE(x*,s)2”。对x*和*也不例外: E(x*,y+)≤v≤E(x*,y*),从而v=E(x*,y*)= maxxex Ef(x,y*)= min yer Ef(x*,y)。这说 明(x*,y*)是G的均衡。(1)得证 最优解的性质 矩阵博弈混合均衡的存在性,保证了等式 max min Ef(x,y)= min max Ef(x,y)成立。今 后,我们把数值v(G)= maxmin Ef(x,y)= mn max Ef(x,y)叫做矩阵博弈G=(S1,S2,)的博 eYx∈X 弈值 (value of the game),简称G的值。显然,矩阵博弈的值是局中人甲在博弈达到均衡时 的预期收益。即,若(x*,y*)是G的最优混合解,那么(G)=Ef(x*,y*)。 为了研究博弈值的性质,也为了计算博弈之解,需要对构成最优解的混合策略的性质进 行研究。首先,如果我们能够通过某种方法知道矩阵博弈G的值V(G),那么通过下面的性质 1就容易求得局中人的最优混合策略 性质1.设G=(X,Y,E是矩阵博弈G=(S1,S2,∫)的混合扩充,(x*,y*)∈XxY,为 实数,并且已知v=I(G) (1)x*是局中人甲的最优混合策略当且仅当v≤Ef(x*,y)对一切y∈Y成立: (2)y*是局中人乙的最优混合策略当且仅当v≥Ef(x,y*)对一切x∈X成立。 进一步,由于E(x*,s")=∑mx且E(s,y*)=∑=1y,从而有更简明的特征 (3)x*是甲的最优混合策略当且仅当vs∑m1xf对一切j=1,2,…,n成立 (4)y*是乙的最优混合策略当且仅当v≥∑=yJ对一切i=12…,m成立 证明:我们来证明(1),其余留给读者来完成 必要性.设x*是局中人甲的最优混合策略。由定义可知,存在y’∈Y使得(x*,y')为G的 最优解,从而v=Ef(x*,y)≤Ef(x*,y)对一切y∈Y成立 充分性设v≤E(x*,y)对一切yeY成立。既然G一定有最优解且v=(G),存在 (x',y)∈X×Y使得E(x,y)≤v=Ef(x2y)≤E(xy)对一切x∈X和y∈Y成立。这说明 Ef(x,y)≤Ef(x2y)=v≤E(x*,y)对一切x∈X和y∈Y成立,当然对x*和y也成立,即 Ef(x*,y)≤E(x',y')=v≤Ef(x*,y),从而v=Ef(xy)=Ef(x*,y)。由此可知,对任何
第八章 博弈论 245 零，同时按照定义又要等于： = + = − + + = n j j i j k n n i k k n j j i j b y f y y f j j j 1 * 1 * 因而 = = n j j i j b y f 1 * 。结合 ( 1,2, , ) 1 b y * f i m n j j i j = = ，我们得到 max ( *) 1 * 1 b y f U y n j j i j i m = = = 。 到此，矩阵博弈古诺均衡的存在性得到证明。 矩阵博弈均衡的简化．设 G = (S1 , S2 , f ) 为矩阵博弈, S1 ={s1 , ,sm } , S2 ={s1 , ,sm } ， G = (X,Y,Ef ) 为 G 的混合扩充， (x*, y*) X Y ，v 为一实数。则下面两个条件等价： (1) (x*, y*) 是 G 的均衡且 v = Ef (x*, y*) ； (2) Ef (si , y*) v Ef (x*,s j ) 对一切 i =1,2, ,m 和 j =1,2, , n 成立。 证明：(1) (2)是显然的。下面来证明(2) (1)。为此，假定(2)成立。 注意， = = n j i j i j Ef s y y f 1 * ( , *) 且 = = m i j i i j Ef x s x f 1 * ( *, ) 。因此对任何 x X 及 yY ，都 有 Ef x y x Ef s y v m i ( , *) = =1 i ( i , *) ， Ef x y y Ef x s v n j ( *, ) = =1 j ( *, j ) 。对 x* 和 y* 也不例外： Ef (x*, y*) v Ef (x*, y*) ，从而 v = Ef (x*, y*) = maxxX Ef (x, y*) = min yY Ef (x*, y) 。这说 明 (x*, y*) 是 G 的均衡。(1)得证。 二．最优解的性质 矩阵博弈混合均衡的存在性，保证了等式 max min Ef (x, y) min max Ef (x, y) xX yY yY xX = 成立。今 后，我们把数值 ( ) maxmin ( , ) min max ( , ) def V G Ef x y Ef x y xX yY yY xX = = 叫做矩阵博弈 G = (S1, S2 , f ) 的博 弈值(value of the game)，简称 G 的值。显然，矩阵博弈的值是局中人甲在博弈达到均衡时 的预期收益。即，若 (x*, y*) 是 G 的最优混合解，那么 V(G) = Ef (x*, y*) 。 为了研究博弈值的性质，也为了计算博弈之解，需要对构成最优解的混合策略的性质进 行研究。首先，如果我们能够通过某种方法知道矩阵博弈 G 的值 V(G) ，那么通过下面的性质 1 就容易求得局中人的最优混合策略。 性质 1． 设 G = (X,Y,Ef ) 是矩阵博弈 G = (S1 , S2 , f ) 的混合扩充， (x*, y*) X Y ，v 为 一实数，并且已知 v =V(G) 。 (1) x* 是局中人甲的最优混合策略当且仅当 v Ef (x*, y) 对一切 yY 成立； (2) y* 是局中人乙的最优混合策略当且仅当 v Ef (x, y*) 对一切 x X 成立。 进一步，由于 = = m i j i i j Ef x s x f 1 * ( *, ) 且 = = n j i j i j Ef s y y f 1 * ( , *) ，从而有更简明的特征： (3) x* 是甲的最优混合策略当且仅当 = m i i i j v x f 1 * 对一切 j =1,2, , n 成立； (4) y* 是乙的最优混合策略当且仅当 = n j j i j v y f 1 * 对一切 i =1,2, ,m 成立。 证明：我们来证明(1)，其余留给读者来完成。 必要性．设 x* 是局中人甲的最优混合策略。由定义可知，存在 y Y 使得 (x*, y ) 为 G 的 最优解，从而 v = Ef (x*, y ) Ef (x*, y) 对一切 yY 成立。 充分性．设 v Ef (x*, y) 对一切 yY 成立。既然 G 一定有最优解且 v =V(G) ，存在 (x , y ) X Y 使得 Ef (x, y ) v = Ef (x , y ) Ef (x , y) 对一切 x X 和 yY 成立 。这说明， Ef (x, y ) Ef (x , y ) = v Ef (x*, y) 对一切 x X 和 yY 成立，当然对 x* 和 y 也成立，即 Ef (x*, y ) Ef (x , y ) = v Ef (x*, y ) ，从而 v = Ef (x , y ) = Ef (x*, y ) 。由此可知，对任何