重庆大学：《通信网络中的排队论基础》研究生课程（讲义）第2章 平衡状态下的生灭过程

现在令(25)式中的i=1,并代入P()的表达式,得 即 dP +1P(t 这是一个一阶非齐次线性微分方程,其通解为: 代入初始条件P(0)=0,C=0,所以,P()=Ae 根据数学归纳法可得 P()=2e i≥0,t≥0 这就是著名的泊松过程。上面推导表明,如果一个“纯生”过程的出生率为常数λ, 则该过程一定是一个泊松过程。 2、排队过程 在排队过程中,把顾客的到达理解为生灭过程中的人口出生,把在某个时刻t人口 数为i的概率P()理解为在某个时刻【排队系统有i个顾客的概率P(),把在人口数为 i的情况下的出生率λ,理解为在顾客数为i的情况下顾客的到达率λ1。同样,把顾客服 务完毕离开排队系统理解为生灭过程的人口死亡,把在人口数为i的情况下的死亡率 理解为在顾客数为i的情况下顾客接受服务完毕离开排队系统的离开率μ1。 因此,在一定条件下,随机服务系统所处状态随着事件变化的进程常可用生灭过程 描述。 22生灭过程的一般平衡解 22.1生灭过程在极限情况下的概率分布 通过对生灭过程的研究,我们得到了描述排队系统微分差分方程 g0=-(2+A)0+22O+1,2,0)1≥1 dp( A2P()+4P(0 这个方程的解,将给出任意时刻t系统中有任意i个顾客的概率P()。由于P()是一

468 现在令（2.5）式中的i  1，并代入 P t 0 的表达式，得     t P t e dt dP t       1  1 即     1 1 t dP t P t e dt       这是一个一阶非齐次线性微分方程，其通解为： 1   dt dt t P t e e e dt C                 t e dt C            t e tC      代入初始条件P10  0，C  0，所以，   t P t te    1  根据数学归纳法可得     t i i e i t P t    ! i  0 ，t  0 这就是著名的泊松过程。上面推导表明，如果一个“纯生”过程的出生率为常数 ， 则该过程一定是一个泊松过程。 2、排队过程 在排队过程中，把顾客的到达理解为生灭过程中的人口出生，把在某个时刻t 人口 数为 i 的概率 P  t i 理解为在某个时刻t 排队系统有 i 个顾客的概率 P  t i ，把在人口数为 i 的情况下的出生率i 理解为在顾客数为 i 的情况下顾客的到达率i 。同样，把顾客服 务完毕离开排队系统理解为生灭过程的人口死亡，把在人口数为 i 的情况下的死亡率 i 理解为在顾客数为 i 的情况下顾客接受服务完毕离开排队系统的离开率 i 。 因此，在一定条件下，随机服务系统所处状态随着事件变化的进程常可用生灭过程 描述。 2.2 生灭过程的一般平衡解 2.2.1 生灭过程在极限情况下的概率分布 通过对生灭过程的研究，我们得到了描述排队系统微分差分方程：                               0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 P t P t i dt dP t P t P t P t i dt dP t i i i i i i i i       这个方程的解，将给出任意时刻t 系统中有任意i 个顾客的概率P  t i 。由于 P  t i 是一

个依赖于时间的概率表达式,它实际上表示了过程的瞬态特性。在本节中,我们研究方程 在趋于无穷时的极限形式,以获得生灭过程在达到动态平衡状态下的稳态特性。 如果当1趋于无穷时,P()趋于一个常数P,则称P()存在极限概率,记为 P=limP( (27) (27)式的含义是:当排队系统工作了相当长的时间以后,系统的瞬态变化过程 消失,到达了一种平衡状态。在这个平衡状态下,系统中有i个顾客的概率是一个只与 i有关的常数P,而与时间t的取值无关。 例如,我们在一个小时内的4个时间点上对排队系统进行观察,观察结果表明在这 个点中的任何一个点上,出现i个顾客的概率都为P,与这4个点的选取无关。 必须注意,系统到达平衡状态并不是说系统的状态不再变化,实际上,系统中顾客 数仍然是随时间变化而变化的,仅是系统中出现i个顾客的概率不再随时间变化,而是 保持一个常数P 对(27)式两端求导,可得 li 0 222生灭过程平衡状态下的方程 现在我们对(23)和(24)式的两端取t→>∞时的极限,并代入(27)和(28) 式,就得到平衡状态下生灭过程的状态方程 0=-(1+)P+=P1+un1Pn 0=-10P0+P (12+,)P=A=P1+n1P (29) 10P=P 0 (2.10) 如果我们注意到 1=0,0=0,P1=0 则可把(210)归并到(29)中。 为了求P解的表达式,我们还必须注意到:SP

469 个依赖于时间的概率表达式，它实际上表示了过程的瞬态特性。在本节中，我们研究方程 在趋于无穷时的极限形式，以获得生灭过程在达到动态平衡状态下的稳态特性。 如果当t 趋于无穷时， P  t i 趋于一个常数 Pi ，则称 P t i 存在极限概率，记为 P P  t i t i   lim （2.7） （2.7）式的含义是：当排队系统工作了相当长的时间以后，系统的瞬态变化过程 消失，到达了一种平衡状态。在这个平衡状态下，系统中有i 个顾客的概率是一个只与 i 有关的常数 Pi ，而与时间t 的取值无关。 例如，我们在一个小时内的 4 个时间点上对排队系统进行观察，观察结果表明在这 4 个点中的任何一个点上，出现i 个顾客的概率都为 Pi ，与这 4 个点的选取无关。 必须注意，系统到达平衡状态并不是说系统的状态不再变化，实际上，系统中顾客 数仍然是随时间变化而变化的，仅是系统中出现i 个顾客的概率不再随时间变化，而是 保持一个常数 Pi 。 对（2.7）式两端求导，可得   lim  0  dt dP t i t （2.8） 2.2.2 生灭过程平衡状态下的方程 现在我们对（2.3）和（2.4）式的两端取t   时的极限，并代入（2.7）和（2.8） 式，就得到平衡状态下生灭过程的状态方程：   1 1 1 1 0   i  i Pi  i Pi  i Pi i 1 0 0 1 1 0   P   P i  0 即   i  i Pi  i1Pi1  i1Pi1 i 1 （2.9） 0P0  1P1 i  0 （2.10） 如果我们注意到： 0 1  ， 0  0 ， 0 P1  则可把（2.10）归并到（2.9）中。 为了求 Pi 解的表达式，我们还必须注意到： 1 0    i Pi

22.3排队系统的状态转移率图 为了能够更加简单地列写排队系统的平衡方程,下面介绍一种描述排队系统动态的 状态转移率图,如图22所示。图中圆圈中的数字i表明系统处于i状态,或者说排队系 统中有i个顾客。圆圈间的有向支路表明了状态的转移,、山代表转移率。 图22状态转移率图 例如,状态i-1和i间的有向支路表明:在i-1状态下,若有一个顾客以到达率 到达,则系统由状态i-1转移到状态i。同理,在状态i下,若有一个顾客以服务率H1离 开系统,则状态由i转移到i-1 我们采用直观的方法,根据状态转移率图来列写平衡方程。在平衡状态下,进入状 态i的速率与高开状态i的速率是相等的。 进入状态i有两种可能性,一是在状态i-1一个顾客以到达率1到达系统;二是在 状态i+1下一个顾客以服务率1离开系统。 同样,离开状态i有两种可能性,一是一个顾客以到达率λ到达系统,使状态转移 到i+1,二是一个顾客以服务率离开系统,使状态转移到i-1。 故,进入状态i的速率=-P-1+pn1P1 离开状态i的速率=AP+P 令两式相等,我们就得到了前面的平衡方程(29)和(2.10)式 (a +u)P=a-P-+up i≥1 Ao P=u,P 用状态转移率图来列写系统的平衡方程是非常方便的。以后我们都采用这种方法。 224平衡方程的解 下面,我们求解(29)式 首先把方程改写为: 1=1P1-1P=2P-HPt i≥0 (2.11)

470 2.2.3 排队系统的状态转移率图 为了能够更加简单地列写排队系统的平衡方程，下面介绍一种描述排队系统动态的 状态转移率图，如图 2.2 所示。图中圆圈中的数字i 表明系统处于i 状态，或者说排队系 统中有i 个顾客。圆圈间的有向支路表明了状态的转移，i 、  i 代表转移率。 i-1 i i+1 i1 i 1 2    1 0  0  1  2  i i1  3  i  2  2 i1 图 2.2 状态转移率图 例如，状态i 1和i 间的有向支路表明：在i 1状态下，若有一个顾客以到达率i1 到达，则系统由状态i 1转移到状态i 。同理，在状态 i 下，若有一个顾客以服务率 i 离 开系统，则状态由i 转移到i 1。 我们采用直观的方法，根据状态转移率图来列写平衡方程。在平衡状态下，进入状 态 i 的速率与离开状态 i 的速率是相等的。 进入状态i 有两种可能性，一是在状态i 1一个顾客以到达率i1到达系统；二是在 状态i 1下一个顾客以服务率  i1离开系统。 同样，离开状态i 有两种可能性，一是一个顾客以到达率i 到达系统，使状态转移 到i 1，二是一个顾客以服务率 i 离开系统，使状态转移到i 1。 故，进入状态i 的速率＝i1Pi1  i1Pi1 离开状态i 的速率＝iPi  iPi 令两式相等，我们就得到了前面的平衡方程（2.9）和（2.10）式：   i  i Pi  i1Pi1  i1Pi1 i 1 0P0  1P1 i  0 用状态转移率图来列写系统的平衡方程是非常方便的。以后我们都采用这种方法。 2.2.4 平衡方程的解 下面，我们求解（2.9）式。 首先把方程改写为： i1Pi1  iPi  iPi  i1Pi1 i  0 （2.11）