《大学物理》课程电子教案（讲义）第二章 波 动

2.弹性绳上的横波 ·波动方程: as Ta n ax 波速 T-绳的初始张力 n-绳的线密度 3.固体棒中的纵波 波动方程 波速:=,P-杨氏弹性模量-体密度 F ·相应形变:长变 F ↑F切 F切 V0+△ 面积S l0+△ P 长变(拉、压) 切变 容变 4.固体中的横波

2.弹性绳上的横波 ·波动方程： 2 2 2 2 x T t   =      ·波速：  T u = ， T -绳的初始张力  -绳的线密度 3.固体棒中的纵波 ·波动方程： 2 2 2 2 x Y t   = −      ·波速：  Y u = ， Y -杨氏弹性模量  -体密度 ·相应形变：长变 0 l l Y S F  = 4.固体中的横波 长变(拉、压) l0 l0 + l F F F 切 F 切 面积 S  切变 容变 p p p p V0+V

波动方程:ar2pax 一 波速:l G-切变模量 G<Y,固体中u横波<L纵波 相应形变:切变<=G0 固体棒中纵波的波动方程(推导) 思路:·由胡克定律(应力、应变关系 由牛顿第二定律 某截面处的应力、应变关系 x士△x 自由状态 x截面 x+△x截面 t时刻8 )5(x+△x,0 在棒上取长为Δx的一小段质元, κ时刻,x处截面的位移:5(x,t)x+△x处截面的位移:2(x△x, ·波引起的△x段的平均应变 (x+△x,t)-2(x,)

·波动方程： 2 2 2 2 x G t   =      ·波速：  G u = ， G -切变模量 ∵ Ｇ <Ｙ，固体中 u 横波< u 纵波 ·相应形变：切变 G S F = 二.固体棒中纵波的波动方程(推导) 思路：·由胡克定律(应力、应变关系) ·由牛顿第二定律 1.某截面处的应力、应变关系 在棒上取长为x 的一小段质元， ·t 时刻，x 处截面的位移：(x, t)x +x 处截面的位移：(x+x, t) ·波引起的x 段的平均应变： x x x t x t   ( +  , ) −  ( , ) x 自由状态 · o · · x x + x x t 时刻 (x,t) (x+x, t) x 截面 x+x 截面

当Δx→>0时,得x处截面t时刻的应变 为 F(,t) x处截面的应力为 S 由胡克定律有 x处截面的应力、应变关系 F yas 2.波动方程 2 ○。 截面Sx1截面5x,0 截面 在棒上取质元Δx,其质心位移为(x,t) 由牛顿定律有, SA ·将前述应力、应变结果代入有

·当x→0 时，得 x 处截面 t 时刻的应变 为 x  ·x 处截面的应力为 S F(x,t) ·由胡克定律有 x 处截面的应力 、应变关系 x Y S F   =  2.波动方程 ·在棒上取质元x，其质心位移为(x, t) ·由牛顿定律有， 2 2 1 2 ( ) F F t S x = −      x S F S F t  − =   2 1 2 2   ·将前述应力、应变结果代入有 x 2 x · x o ·x1 ·x · (x, t) F1 F2 截面 S x1 截面 x2 截面 ··

as 令△x→)0,并取极限即得所求波动方程 Y as §4波的能量 前已讲:波是振动状态的传播相位的传播,外观上有波形在 传播。 现讨论:随着波的传播能量也在传播。 ·对于“流动着”的能量,要由能量密和能流密度两个概念来 描述。 弹性波的能量,能量密度 波在弹性媒质中传播时,各质元都在振动。 ·对一块弹性媒质, 因振动→有振动动能 因形变→>有形变势能, 两者之和称此媒质中弹性波的能量。 (一)弹性波的能量密度 1.动能密度 取细长棒上质元Δx,其动能为 S△x( ·动能密度ck S△x as

x x x Y t    −   =   2 1 2 2 ( ) ( )     ·令x→0，并取极限即得所求波动方程 2 2 2 2 x Y t   =      §4 波的能量 ·前已讲：波是振动状态的传播相位的传播，外观上有波形在 传播。 ·现讨论：随着波的传播 能量也在传播。 ·对于“流动着”的能量，要由能量密和能流密度两个概念来 描述。 一.弹性波的能量,能量密度 波在弹性媒质中传播时，各质元都在振动。 ·对一块弹性媒质， 因振动 → 有振动动能； 因形变 → 有形变势能， 两者之和称此媒质中弹性波的能量。 (一)弹性波的能量密度 1.动能密度 ·取细长棒上质元 x，其动能为 2 2 ( ) 2 1 2 1 t W mV S x k    =  =    ·动能密度 S x Wk k    = 2 ( ) 2 1 t wk   =  

2.势能密度 考虑一棒的长变, 棒长:1,截面:S ·两端拉力:由0→>F 相应形变:增至Δl,形变∝拉力。 拉力作功:F△!,它等于棒形变Δl时的弹性势能。 势能密度: 棒中有纵波时,各小段反复地拉、压,某时某地的w由当时 当地的应力和应变决定。由胡克定律有, 3.能量密度 ()2+Y()2 (二)平面简谐波的能量密度 设沿x轴传播的平面简谐波为 t)=Acos ot-kx 1.能量密度 可得 Wx=poa sin(ot-kx 〃2Asn(ot-kx W lE=wk+wp=pa A sin(at-kx) (计算时利用了 Y 和2=)

2.势能密度 考虑一棒的长变， ·棒长：l ，截面：S ·两端拉力：由 0 → F ·相应形变：增至l，形变  拉力。 ·拉力作功： Fl 2 1 ， 它等于棒形变l 时的弹性势能。 ·势能密度： ( )( ) 2 1 ( ) 2 1 l l S F Sl F l p  =   = ·棒中有纵波时，各小段反复地拉、压，某时某地的 wp由当时 当地的应力和应变决定。由胡克定律有， 2 ( ) 2 1 x wp Y   =  3.能量密度 2 2 k p ) x Y( 2 1 ) t ( 2 1 w w   +   = + =   w能  (二)平面简谐波的能量密度 ·设沿 x 轴传播的平面简谐波为 (x, t) = Acos(t - kx) 1.能量密度 ·可得 A sin ( t kx) 2 1 w 2 2 2 k =   − A sin ( t kx) 2 1 w 2 2 p =   − w 能 = wk+wp =  2A 2 sin2 (t - kx) 2 u k 2 2 = 和 u 2 = Y  ( 计算时利用了 )