第三章射影几何与几何元素表达在计算机视觉中需要一些几何方面的知识，包括欧几里德几何（或欧氏几何），仿射几何，射影几何与微分几何.由于国内工科大学一般不讲射影几何，本章前一部分将介绍射影几何的一些常用结论，一般不给证明，有兴趣的读者可参考任何一本有关射影几何的书，例如文献[Semple1949，Mei1983］.如果不阅读本章，或没有射影几何的知识，对阅读本书的绝大多数内容也不会有障碍，因此，读者也可不读本章射影几何的内容.本章第二部分给出本书以后各章常用的几何元素表达方法。3.1仿射变换与射影变换的几何表达如图3.1所示，与l与一交于O点的直线束分别交于A，B,C,D，与A，B'C'，D，.对于I，上的任何一点，例如A点，总可在L上找到对应点，A的对应点定义为OA与1的交点A.如果正好OA与l，平行，则定义OA与l的交点为12上的无穷远点.在以上的规定下，实际给出了1与12之间的个一一对应的变换，我们称这个变换为一维中心射影.如图3.1所示，l上的点列A,B,C,D，…变换为L2上的点列A',B'，C'，D'，….同样，l2上的点列A,B',C'，D'，又可以通过以另一点O"为中心的线束变换为l上的点列A",B",C",D"，.我们称l到I之间的变换为以上两个中心射影变换的积，于是有如下定义：cD'B图3.1一维射影变换定义3.1由有限次中心射影的积定义的两条直线间的一一对应变换称为一维射影变换，类似地，我们还可以定义二维（或更高维）射影变换，以二维为例，如图3.2所示，在三维空间中的两个平面元，元，可以建立由以○点为交点的线束定义的一一对应关系，称为
373.1仿射变换与射影变换的几何表达二维中心射影.于是有：定义3.2由有限次中心射影的积定义的两个平面之间的一一对应变换称为二维射影变换，图3.2中，元，元，间或元2，元3间为中心射影，元，元，间为射影变换，01B图3.2二维射影变换为了保证一一对应，在射影几何中定义了无穷远点与无穷远直线，在一条直线上，存在唯一的一个无穷远点，在两维平面上，存在无穷多个不同的无穷远点，但所有这些无穷远点共线，都位于一条唯一的无穷远直线上.关于无穷远点与无穷远直线更详细的介绍可参阅有关射影几何的书对于射影变换，有一个基本的不变量，称为交比不变量，它可以用点列来定义，也可以用线束来定义，定义3.3若A，B，C,D为直线l上任意四点，则下式定义的R称为交比（crossra-tio).ACAD(3.1)R(A,B,C,D) =BCBD这里，我们可以暂时把AC（或BC，AD，BD等）理解为两点间的距离，事实上，在理解了射影坐标系后，它们也可以是两点的射影坐标的差，交比是射影变换的不变量，我们有以下定理：定理3.1射影变换保持点列的交比不变，该定理表示，若存在射影变换将直线L，变换到L2，A,B,C,D为直线I上任意四点，A,B,C",D'为它们在Lz上的对应点，则R(A,BC,D)=R(A',B'C",D')仿射变换是射影变换的特殊情况，当定义中心射影的线束为互相平行的直线时，变换称为仿射变换，（见图3.3).由于线束中的直线互相平行，显然，仿射变换保持简比（posi-ACA'C'tionratio）不变即，由式（3.1）知，仿射变换也保持交比不变，即BCB'C我们还可定义平面上两个线束的射影变换及线束的交比.如图3.4所示，平面上有两个线束O，O".若它们所有对应线的交点共线，则称这两个线束的对应为中心射影.类似点列的射影变换，有限次中心射影的积称为线束间的射影变换
38第三章射影几何与几何元素表达FCB'A图3.3仿射变换OBCA图3.4线束间的射影变换定义3.4线束O中任意4条直线的交比为R（l，l2,l3，l）sin(i,le), sin(li,l)R(,l2,ls,l)=(3. 2)sin(l,ls)sin(lz,l,)其中（I，）表示直线l.与直线1间的夹角，容易证明R(,12,ls,l)=R(A,B,C,D)类似与点列的射影变换，有定理3.2射影变换保持线束的交比不变，3.2仿射坐标系与射影坐标系为了用代数方法处理仿射几何与射影几何的问题，与欧氏几何中建立坐标系一样，我们可以定义仿射坐标系与射影坐标系，使空间点的位置可用坐标来表示，先回忆一下欧氏几何中的笛卡尔直角坐标系，以一维与两维为例，如图3.5所示，一维欧氏几何的坐标系由原点O，单位点E与坐标轴X及其正方向所定义.图中直线上任何一点A的坐标定义为OA/OE，其中OA与OE均为长度，OE称为单位长，在二维平面上，坐标系由X，Y轴（互相正交)及其正方向，原点O与单位点E定义.图中E,=E，即X与Y轴上的单
393.2仿射坐标系与射影坐标系OA,OA,位长度相等，平面上任意一点A的坐标定义为工OEyOE,ytA.人EEA.YQFAX图3.5欧氏几何的坐标系不同的几何研究不同的变换群及与之对应的不变量，坐标系的定义应与不变量相对应，由以上仿射变换的几何定义，仿射变换保持简比不变，但不保持两条直线的夹角不变，仿射坐标系定义如下（以二维为例）：平面上的仿射坐标系由相交于○点的任意两条直线及其方向，与平面上不在两条直线上的任意一点E（称为单位点）定义（见图3.6），平面上任意一点A的仿射坐标为=OA-OA,OEy=OE,"E.A.0图3.6仿射坐标系射影变换保持交比不变，射影坐标系定义如下，直线1上的一维射影坐标系由原点0，单位点E与无穷远点I定义（如图3.7所示），任意一点A的坐标由交比=R（A，E，O,I)定义.由交比定义得，E，O,I点的坐标分别为1,0,oo.二维平面上的射影坐标系由不共线的四点定义，即O（原点），E（单位点），I（α轴上的无穷远点）与I，（y轴上的无穷远点）定义，平面上任意一点A的射影坐标由两个交比定义，=R(A，E，O,I)，y=R（AEO,I)，其中E为直线IE与OI的交点，E为直线IE与OI的交点，A为直线IA与直线OI的交点，A,为直线IA与OI,的交点，由定义知，O，E，I,l,的坐标分别为（0,1)，（1,1)，（80，0)，（0,80）从射影坐标系的定义可知，直线或平面上的任意一点都可以定义为无穷远点，而从坐标的定义上可以看到，它的坐标值为无穷大
40第三章射影几何与几何元素表达0oE1EA图3.7一维与两维射影坐标系由于在各直线上有不同的无穷远点（例I.，I），为了表示这种情况，引进齐次坐标，而将以上定义的坐标称为非齐次坐标.定义3.5在n维射影空间中，若某点的非齐次坐标为x=（，2，，,），则x=(12，，，+）称为它的齐次坐标，如果=;/+1(i=1～n）.显然由定义可知，x与kx（k为任意不等于零的标量）的非齐次坐标相等，表示空间同一点.由定义可知，在一维射影坐标系中，E，O，I的齐次坐标分别为（1,1)，（0,1)，（1,0）（或乘以任何常数），在二维射影坐标系中，E，O,I，I，的齐次坐标分别为（1，1，1），（0,0，1），（1,0,0），（0，1,0）（或乘以任何常数）以上关于齐次坐标的定义对仿射坐标系与欧氏坐标系也是适用的，3.3仿射变换与射影变换的代数表达有了空间坐标系的定义后，可以给出射影变换与仿射变换的代数表达，这些表达与变换的几何表达是一致的，定义3.6n维射影空间的点变换若满足py=Mx，则称变换为射影变换，其中，p为标量，x与y分别为变换前后空间点的齐次坐标，x=（ai,t2,,an+1)T,y=（yi,y2"，ya+1)T,M为满秩的(n+1)×(n+1)矩阵.我们以一维射影变换为例写出上述变换：[(3.3)+由上式得(3.4)Py) = miii +m1242(3.5)py2=m21t+m227z将以上两式相除得到变换前后点的非齐次坐标的关系：mz+m12(3.6)yum21元+m22由式（3.6)可知，射影变换中，非齐次坐标的变换关系是非线性的.一般地，n维射影变换的矩阵等式中包含了n+1个方程，消去β后，得到变换前后非齐次坐标的n个方程