h S是一个半径为r的球的球冠的面积,该球冠的高为 h(r)=r-3+z(r) 求S 视S为“圆x2+y2=r上一段弧绕x轴旋转而得” S dI=1+y'dx 因为2x+2yy'=0 所以 从而 S yd=」2mdt=2h 球冠面积为(r)=2zF,I (15+6-r)=n(5+2r21 对r求导得S(r)=(5+4r-r2)=x(5-r)1+r) 令S'(r)=0,的区间(√24-3,√24+3)上的唯一驻点r=5 由于S"(r)=x(4-2r),S"(5)=-6丌<0
S 是一个半径为 r 的球的球冠的面积 ，该球冠的高为 (15 6 ) 6 1 ( ) 3 ( ) 2 h r = r − + z r = + r − r 求 S ： 视 S 为“圆 2 2 2 x + y = r 上一段弧绕 x 轴旋转而得” − = r r h S 2y dl dl y dx 2 = 1 + 因为 2x + 2 yy = 0 y x y = − 所以 y r + y = 2 1 从而 S y dl r dx rh r r h r r h = 2 = 2 = 2 − − 球冠面积为 ) 3 1 (15 6 ) (5 2 6 1 ( ) 2 2 2 3 S r = r + r − r = r + r − r 对 r 求导得 ( ) (5 4 ) (5 )(1 ) 2 S r = + r − r = − r + r 令 S(r) = 0 ，的区间 ( 24 − 3, 24 + 3) 上的唯一驻点 r = 5 由于 S(r) = (4 − 2r) ， S(5) = −6 0 • x y z o 24 3 C r x y o h r
所以,S()在唯一驻点r=5处取得最大值(5)≈100丌 故所求球面S,的半径为:r=5 所求球面S2的方程为:(x-3)2+(y-1)2+(z+1)2=25 、定积分证明 1.设f(x)在|a,b上连续,且∫x"∫(x)=0,(n=0,1,2,3) 问:f(x)在{a,b上至少有几个零点?并证明你的结论。 分析|如何寻求解答方案?一个自然的思路是考虑简单的情况。即 利用收编的手法,把问题简单化,去猜一个答案! (1)考虑“n=0”即f(x)在|a,1上连续,且Jf(x)ak=0 猜至少有一个零点 因为若∫(x)≡0,结论显然成立! 若f(x)≠0,由(x)=0,故f(x)在,1上不能 也不能恒负!又∫(x)在[a,b上连续,由介值定理,五x1∈(a,b), 使f(x1)=0 (2)再考虑“n=0,1”,即f(x)在{a,b]上连续,且 ∫(x)d=0,∫x(x)d=0 猜至少有两个零点 因为若x1是f(x)在(a,b)内的唯一零点,则 (x-x1)f(x)在{a,x1)U(x1,b上不变号,因此必有 ∫(x-x)/(x)d≠0 而由题设(x-x1)f(x)tx=」xf(x)dx-x1∫(x)dx=0 矛盾! 因而,至少存在x1,x2∈(a,b),x1≠x2,使 f(x1)=f(x2)=0 由上述讨论,猜想:当n=0,1,2,3时 f∫(x)在(a,b)内至少有四个零点 考虑更一般的情况:即 设∫(x)在|ab上连续,且∫xf(x)=0,(i=0,1,2,…,n) 证明f(x)在(a,b)内至少有(m+1)个零点 证|因为若∫(x)=0,结论显然成立! 设∫(x)≠0用反证法
所以， S(r) 在唯一驻点 r = 5 处取得最大值 3 100 (5) S = 故 所求球面 S2 的半径为 ： r = 5 所求球面 S2 的方程为 ： ( 3) ( 1) ( 1) 25 2 2 2 x − + y − + z + = 三、定积分证明 1．设 f ( x) 在 [a,b] 上连续，且 = b a n x f (x)dx 0 ，（ n = 0, 1, 2, 3 ） 问： f ( x) 在 [a,b] 上至少有几个零点？并证明你的结论。 [分析] 如何寻求解答方案？一个自然的思路是考虑简单的情况。即 利用收缩的手法，把问题简单化，去猜一个答案！ （1）考虑 “ n = 0 ”，即 f ( x) 在 [a,b] 上连续，且 = b a f (x)dx 0 猜至少有一个零点 因为若 f (x) 0 ，结论显然成立！ 若 f (x) 0 ，由 = b a f (x)dx 0 ，故 f ( x) 在 [a,b] 上不能恒正， 也不能恒负！又 f ( x) 在 [a,b] 上连续，由介值定理， ( , ) x1 a b ， 使 f (x1 ) = 0。 （2）再考虑 “ n = 0, 1 ”，即 f ( x) 在 [a,b] 上连续，且 = b a f (x)dx 0 ， = b a x f (x)dx 0 猜至少有两个零点 因为若 1 x 是 f ( x) 在 (a, b) 内的唯一零点，则 ( ) ( ) x − x1 f x 在 [ , ) ( , ] a x1 x1 b 上不变号，因此必有 − b a (x x1 ) f (x)dx 0 而由题设 ( − 1 ) ( ) = ( ) − 1 ( ) = 0 b a b a b a x x f x dx x f x dx x f x dx 矛盾！ 因而，至少存在 , ( , ) x1 x2 a b ， x1 x2 ，使 f (x1 ) = f (x2 ) = 0 由上述讨论，猜想：当 n = 0, 1, 2, 3 时， f ( x) 在 (a, b) 内至少有四个零点 考虑更一般的情况：即 设 f ( x) 在 [a,b] 上连续，且 = b a i x f (x)dx 0 ，（ i = 0, 1, 2, , n ） 证明 f ( x) 在 (a, b) 内至少有 (n + 1) 个零点。 [证] 因为若 f (x) 0 ，结论显然成立！ 设 f (x) 0 用反证法